2021-2022學(xué)年安徽省六安市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年安徽省六安市第一中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘 滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知集合，則等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分別求出集合，然后求交集.【詳解】因?yàn)榧希?故選：D.2. 3位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，共有（ ）種站法A. 144B. 360C. 480D. 720【答案】D【解析】【分析】利用捆綁法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，所以共有種站法，故選：D3. 二

2、項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)等于（ ）A. 60B. C. 240D. 【答案】A【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于3，即可求得答案.【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得：，所以的系數(shù)等于, 故選：A4. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若則實(shí)數(shù)a的值等于（ ）A. 1B. C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求解即可【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，解得故選：A5. 袁隆平院士是我國(guó)的雜交水稻之父，他一生致力于雜交水稻的研究，為解決中國(guó)人民的溫飽和保障國(guó)家糧食安全做出了重大的貢獻(xiàn)某雜交水稻研究小組先培育出第一代雜交水稻，再由第一代培育出第二代，第

3、二代培育出第三代，以此類(lèi)推，且親代與子代的每穗總粒數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：代數(shù)代碼x1234總粒數(shù)y197193201209（注：親代是產(chǎn)生后一代生物的生物，對(duì)后代生物來(lái)說(shuō)是親代，所產(chǎn)生的后一代叫子代）通過(guò)上面四組數(shù)據(jù)得到了x與y之間的線性回歸方程是，預(yù)測(cè)第五代雜交水稻每穗的總粒數(shù)為（ ）A. 211B. 212C. 213D. 214【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)可得，再計(jì)算時(shí)值即可【詳解】由題， ，又由線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)可得，解得.故線性回歸方程是，故第五代雜交水稻每穗的總粒數(shù)為故選：A6. 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨

4、機(jī)抽取，并測(cè)零件的直徑尺寸，根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件直徑尺寸服從正態(tài)分布，若落在內(nèi)的零件個(gè)數(shù)為，則可估計(jì)所抽取的這批零件中直徑高于的個(gè)數(shù)大約為（ ）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)原則可求得，根據(jù)概率計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由正態(tài)分布可知：，直徑高于的個(gè)數(shù)大約為.故選：D.7. 長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)，這些人的近視率約為現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)出

5、未知數(shù)，利用全概率公式列出方程，求出答案.【詳解】設(shè)從每天玩手機(jī)不超過(guò)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率為，由題意得：，解得：故選：C8. 因演出需要，身高互不相等的8名演員要排成一排成一個(gè)“波浪形”，即演員們的身高從最左邊數(shù)起：第一個(gè)到第三個(gè)依次遞增，第三個(gè)到第六個(gè)依次遞減，第六、七、八個(gè)依次遞增，則不同的排列方式有（ ）種A. 181B. 109C. 84D. 96【答案】A【解析】【分析】依題意，重點(diǎn)要先排好3號(hào)位和6號(hào)位，余下的分類(lèi)討論分析即可.【詳解】依題意作圖如下：上面的數(shù)字表示排列的位置，必須按照上圖的方式排列，其中3號(hào)位必須比12456要高，1，6兩處是排列里最低，3，8兩

6、處是最高點(diǎn)， 設(shè)8個(gè)演員按照從矮到高的順序依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，則 3號(hào)位最少是6，最大是8，下面分類(lèi)討論：第3個(gè)位置選6號(hào)：先從1，2，3，4，5號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的3個(gè)號(hào)中放入4，5，6號(hào)順序是確定的只有一種情況，然后7，8號(hào)放入最后兩個(gè)位置也是確定的，此時(shí)共種情況；第3個(gè)位置選7號(hào)：先從1，2，3，4，5，6號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的4個(gè)號(hào)中最小的放入6號(hào)位置，剩下3個(gè)選2個(gè)放入4，5兩個(gè)位置，余下的號(hào)和8號(hào)放入最后兩個(gè)位置，此時(shí)共種情況；第3個(gè)位置選8號(hào)：先從1，2，3，4，5，6，7號(hào)中選兩個(gè)放入前兩個(gè)位置，余下的5個(gè)號(hào)中最小的放入6號(hào)位置，剩下

7、4個(gè)選2個(gè)放入4，5兩個(gè)位置，余下的2個(gè)號(hào)放入最后兩個(gè)位置，此時(shí)共種情況；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得共有種排列方式；故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9. 下列敘述正確的是（ ）A. 命題“”的否定是“”B. “”是“”的充要條件C. 在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好D. 樣本線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：通過(guò)命題的否定規(guī)則，即可進(jìn)行判斷；對(duì)

8、于B：通過(guò)求出，即可得到“”與“”的關(guān)系，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于C：理解殘差平方和就是描述模型的擬合效果，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于D：樣本線性相關(guān)系數(shù)就是描述兩個(gè)變量的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可進(jìn)行判斷.【詳解】命題的否定是條件不變，但是條件中的量詞要發(fā)生改變，然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，所以命題“”的否定是“”，故選項(xiàng)A正確；，則“”是“”的必要不充分條件，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，故選項(xiàng)C正確；樣本線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10. 下列說(shuō)法正確的是（

9、 ）A. 若隨機(jī)變量，則B. 若隨機(jī)變量，則C. 以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則c，k的值分別是，0.5D. 從10名男生，5名女生中隨機(jī)選取4人，則其中至少有一名女生的概率為【答案】AC【解析】【分析】四個(gè)選項(xiàng)分別利用正態(tài)曲線的性質(zhì)，二項(xiàng)分布方差的有關(guān)性質(zhì)，非線性回歸方程線性化的方法，考慮對(duì)立事件即可求概率，即可判斷正誤.【詳解】隨機(jī)變量，正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則,即，故正確；隨機(jī)變量，則，故，故錯(cuò)誤；，兩邊取對(duì)數(shù)得，令，可得，故正確；從10名男生，5名女生中隨機(jī)選取4人，則其中至少有一名女生的對(duì)立事件為選取的4人中沒(méi)有一名女生，其概率為,則其中至少有一

10、名女生的概率為，故不正確；故選:11. 一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. 若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為B. 若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為C. 若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為D. 若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用古典概型的概率公式判斷選項(xiàng)A、B和D，用條件概率公式判斷選項(xiàng)C.【詳解】若不放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為，故A正確；若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概

11、率為，故B錯(cuò)誤；若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為，故C正確；若有放回的摸球3次，僅有前2次摸到紅球的概率為，故D正確.故選：ACD.12. 在1261年，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列從第1行開(kāi)始，第n行從左至右的數(shù)字之和記為，如：的前n項(xiàng)和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的新數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，記為，的前n項(xiàng)和記為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）A. B. 的前n項(xiàng)和為C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由題意分析出數(shù)列為等比數(shù)

12、列，再求其前n項(xiàng)和記為，然后對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】從第一行開(kāi)始，每一行的數(shù)依次對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式系數(shù)，所以，為等比數(shù)列，所以，故A正確；，所以的前n項(xiàng)和為，故B正確；依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的項(xiàng)數(shù)分別為0，1，2，3構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)之和為，的最大整數(shù)為10，楊輝三角中取滿了第11行，第12行首位為1，在中去掉，取的就是第12行的第2項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；，這11行中共去掉了22個(gè)1，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13. 老師要從6篇課文中隨機(jī)抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格某位同學(xué)只能背出其中的4篇，則該同

13、學(xué)能及格的概率是_【答案】#0.8【解析】【分析】考慮對(duì)立面，用1減去只能背出1篇的概率即可.【詳解】.故答案為：.14. 在三次獨(dú)立重復(fù)射擊中，若至少有一次擊中目標(biāo)概率為，則每次射擊擊中目標(biāo)的概率為_(kāi)【答案】#【解析】【分析】設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，根據(jù)相互獨(dú)立事件及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，則，即，所以，所以；故答案為：15. 某種細(xì)菌每天增加，2個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò)10天大約會(huì)變?yōu)開(kāi)個(gè)？（用具體數(shù)字回答）【答案】12【解析】【分析】根據(jù)題意列出指數(shù)表達(dá)式再計(jì)算即可【詳解】由題意可得，2個(gè)這種細(xì)菌經(jīng)過(guò)10天會(huì)變?yōu)?故答案為：1216. 盒中有四張形狀

14、與大小均相同的卡片，分別寫(xiě)著數(shù)字1，2，3，4每次不放回地從盒中隨機(jī)取出一張卡片，直到取出的所有卡片上數(shù)字之積大于10為止設(shè)此時(shí)取出的所有卡片上數(shù)字之和為，則_，_【答案】 . 9【解析】【分析】求出所有情況，得出滿足條件的所有情況，即可求出概率，得出分布列，即可求出期望.【詳解】將1，2，3，4按順序排列共有種情況，其中滿足數(shù)字之和為7的情況有34(12)，34(21)，43(12)，43(21)共4種，由題可得的可能取值為7，8，9，10，滿足的情況有134(2)，143(2)，314(2)，413(2)共4種，滿足的情況有234(1)，243(1)，324(1)，423(1)共4種，分布

15、列如下：78910.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17. 已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1） （2）0【解析】【分析】（1）利用賦值法求解即可；（2）根據(jù)系數(shù)的特征，利用導(dǎo)數(shù)和賦值法求解.【小問(wèn)1詳解】令，得，令，得，所以；【小問(wèn)2詳解】等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，得18. 設(shè)全集，集合，集合（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合交集、補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)必要不充分的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】；當(dāng)時(shí)，；，；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：“”是

16、“”的必要不充分條件，當(dāng)時(shí)，滿足；此時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，解得： ：綜上所述：a的取值范圍為.19. 現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4不同的球和4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)（1）恰有一個(gè)盒子不放球，共有多少種放法？（2）恰有兩個(gè)盒子不放球，共有多少種放法？（3）每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，且球的編號(hào)和盒子的編號(hào)不同的方法有多少種？【答案】（1）144 （2）84 （3）9【解析】【分析】（1）恰有一個(gè)盒子不放球等價(jià)于4個(gè)球放入3個(gè)盒子，用捆綁法把其中兩個(gè)球綁一起放入同一個(gè)盒子；（2）恰有兩個(gè)盒子不放球等價(jià)于4個(gè)球放入2個(gè)盒子，2個(gè)盒子的球數(shù)分為2類(lèi)：1和3；2 和2；（3）編號(hào)為1的

17、球有3種方法，把與編號(hào)為1的球所放盒子的編號(hào)相同的球放入1號(hào)盒子或者其他兩個(gè)盒子，剩下的球方法唯一【小問(wèn)1詳解】種【小問(wèn)2詳解】種【小問(wèn)3詳解】編號(hào)為1的球有種方法，把與編號(hào)為1的球所放盒子的編號(hào)相同的球放入1號(hào)盒子或者其他兩個(gè)盒子，共有種，即種20. 流行性感冒（簡(jiǎn)稱(chēng)流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病其主要通過(guò)空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播流感每年在世界各地均有傳播，在我國(guó)北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰，某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：年齡x23456患病人數(shù)y2222171

18、410（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）計(jì)算變量x，y的樣本相關(guān)系數(shù)r（計(jì)算結(jié)果精確到0.01），并判斷是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)程度很強(qiáng)（若，則x，y相關(guān)程度很強(qiáng)；若，則x，y相關(guān)程度一般；若，則x，y相關(guān)程度較弱）參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程【答案】（1） （2）， y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)結(jié)合最小二乘法公式即可求出；（2）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)即可判斷.【小問(wèn)1詳解】由表中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)，得，所以，所以y關(guān)于x的線性回歸方程是；【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)?，所以y與x之間線性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng).21. 受疫情的影響，

19、各實(shí)體商鋪的銷(xiāo)售額受到了不同程度的沖擊，某小商品批發(fā)市場(chǎng)的管理部門(mén)提出了“線上線下兩不誤，打贏銷(xiāo)售攻堅(jiān)戰(zhàn)”的口號(hào)，鼓勵(lì)小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)的所有商戶(hù)開(kāi)展線上銷(xiāo)售活動(dòng).管理部門(mén)為了調(diào)查商戶(hù)每天銷(xiāo)售額與每天線上銷(xiāo)售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)的商戶(hù)隨機(jī)選取45家進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每日線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)的商戶(hù)有19家，余下的商戶(hù)中，每天的銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元的占，統(tǒng)計(jì)后得到如下 列聯(lián)表：銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元合計(jì)線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)4 19線上銷(xiāo)售時(shí)間不足6小時(shí)合計(jì)45（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并判斷是否所有99%的把握認(rèn)為“小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)的商戶(hù)每天銷(xiāo)售額與商戶(hù)每天線上銷(xiāo)售

20、時(shí)間有關(guān).”（2）（i）按分層抽樣的方法，在上述樣本中從銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元和銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元的兩組商戶(hù)上抽取9家商戶(hù)，設(shè)抽到銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元且每天線上銷(xiāo)售時(shí)間不足6小時(shí)的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；（ii）若將頻率視為概率，從小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)所有商戶(hù)中每天銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元的商戶(hù)中隨機(jī)抽取20家，求這些商戶(hù)中每天線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)的商戶(hù)家數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.附：（）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中 .【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99%的把握；（2）（i）分布列見(jiàn)解析；（

21、ii），.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格先算出每日線上銷(xiāo)售時(shí)間不足6小時(shí)的商戶(hù)有家,再利用每天的銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元的占，得到線上銷(xiāo)售不足6小時(shí)且銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元的有家，再利用合計(jì)結(jié)果可算出其它數(shù)據(jù)；（2）（i）由分層抽樣知，需要從銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元商戶(hù)中抽?。遥?，則的可能取值為0，1，2，3，4，分別算出事件對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出分布列；（ii）設(shè)從全市場(chǎng)銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元的商戶(hù)中隨機(jī)抽取20家，這些商戶(hù)中每天線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)為，則，利用二項(xiàng)分布公式求期望和方程.【詳解】（1）銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元合計(jì)線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)15419線上銷(xiāo)售時(shí)間不足6小時(shí)101626合計(jì)252045，有99%的把握認(rèn)為“小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)的商戶(hù)每天銷(xiāo)售額與商戶(hù)每天線上銷(xiāo)售時(shí)間有關(guān)”.（2）（i）由分層抽樣知，需要從銷(xiāo)售額不足3萬(wàn)元的商戶(hù)中抽?。遥?，則的可能取值為0，1，2，3，4，的分布列為01234（ii）從全市場(chǎng)銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元的商戶(hù)中隨機(jī)抽取1家，此商戶(hù)每天線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)的概率為，設(shè)從全市場(chǎng)銷(xiāo)售額不少于3萬(wàn)元的商戶(hù)中隨機(jī)抽取20家，這些商戶(hù)中每天線上銷(xiāo)售時(shí)間不少于6小時(shí)的人數(shù)為，則，故，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查超幾何分布，及二項(xiàng)分布求期望和方差，求離散型隨機(jī)變