[PPT]結(jié)構(gòu)力學(xué)之結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算講義

1、第十八章 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)算18-2 兩類穩(wěn)定問題計(jì)算簡(jiǎn)例18-1 兩類穩(wěn)定問題概述18-3 有限自由度體系的穩(wěn)定靜力法和能量法18-4 無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法18-5 無限自由度體系的穩(wěn)定能量法18-6 剛架的穩(wěn)定矩陣位移法18-7 組合桿的穩(wěn)定18-8 拱的穩(wěn)定1前面的各個(gè)章節(jié)討論了各類結(jié)構(gòu)在外因作用下內(nèi)力和位移的計(jì)算方法。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中內(nèi)力計(jì)算要確定結(jié)構(gòu)是否有足夠的強(qiáng)度，位移計(jì)算要確定結(jié)構(gòu)是否有足夠的剛度。工程設(shè)計(jì)的實(shí)踐證明，在不少情況下，僅以以上兩種計(jì)算，來判斷結(jié)構(gòu)的可靠性是不夠的。對(duì)于由柔性桿件和壓彎桿件所組成的結(jié)構(gòu)，例如，梁、桁架、拱、薄壁結(jié)構(gòu)等，尤其如此。即是說：結(jié)構(gòu)可能強(qiáng)度安全但

2、是穩(wěn)定不安全。 從現(xiàn)在的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢(shì)看，趨向于輕質(zhì)的大跨形式(近代工程的優(yōu)化設(shè)計(jì))，對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性要求非常嚴(yán)格，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)必須考慮三個(gè)方面：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定。218-1 兩類穩(wěn)定問題概述在材料力學(xué)課中大家已經(jīng)對(duì)“壓桿的穩(wěn)定問題”進(jìn)行過討論，在此，我們對(duì)桿件結(jié)構(gòu)的各種穩(wěn)定問題作進(jìn)一步的討論。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)當(dāng)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算和穩(wěn)定驗(yàn)算。而強(qiáng)度驗(yàn)算是最基本的必不可少的，而穩(wěn)定驗(yàn)算則是在某些情況下顯得重要。如薄壁結(jié)構(gòu)(與厚壁結(jié)構(gòu)相比)、高強(qiáng)度材料的結(jié)構(gòu)(與低強(qiáng)度材料的結(jié)構(gòu)磚石結(jié)構(gòu)、混凝土結(jié)構(gòu)相比)、主要受壓的結(jié)構(gòu)(與主要受拉的結(jié)構(gòu)相比)容易喪失穩(wěn)定，穩(wěn)定驗(yàn)算對(duì)這些結(jié)構(gòu)顯得更為重要。結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定計(jì)

3、算涉及結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)。3一、結(jié)構(gòu)的三種平衡狀態(tài)結(jié)構(gòu)的三種平衡狀態(tài)(從穩(wěn)定性角度考察)：穩(wěn)定平衡狀態(tài)、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)和中性平衡狀態(tài)。解釋：設(shè)結(jié)構(gòu)處于某個(gè)平衡狀態(tài)，受到輕微干擾而稍微偏離其原來位置。1、穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當(dāng)干擾消失后，如結(jié)構(gòu)回到原來位置，則原來的平衡狀態(tài)稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)。2、不穩(wěn)定平衡狀態(tài)：當(dāng)干擾消失后，結(jié)構(gòu)繼續(xù)偏離，不能回到原來位置，則原來的平衡狀態(tài)稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。3、中性平衡狀態(tài)：結(jié)構(gòu)由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的狀態(tài)稱為中性平衡狀態(tài)。4二、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算理論1、小撓度理論：采用小撓度理論計(jì)算可以用比較簡(jiǎn)單的方法得到基本正確的結(jié)論。工程上通常采用小撓度理論進(jìn)行計(jì)算。2、大撓度理論：

4、大撓度理論是比較復(fù)雜的理論，利用其計(jì)算可以得到更為精確的結(jié)論。但是，計(jì)算的難度相當(dāng)大，用到比較高深的數(shù)學(xué)知識(shí)。三、結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)：隨著荷載的增大，結(jié)構(gòu)的原始平衡狀態(tài)可能由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)。5結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的兩種基本形式：分支點(diǎn)失穩(wěn)、極值點(diǎn)失穩(wěn)。1、分支點(diǎn)失穩(wěn)(1) 基本情況：圖18-1a所示的簡(jiǎn)支壓桿的完善體系(理想體系)，桿件軸線是理想的直線(沒有初曲率)，荷載P是理想的中心受壓荷載(沒有偏心)。(a)Pl/2l/2圖18-1(b)PCBAODDI(穩(wěn)定)II(小撓度理論)II(大撓度理論)I(不穩(wěn)定)P1P2Pcr6(2) P-曲線隨著

5、P的逐漸增大，P與中間點(diǎn)撓度的關(guān)系曲線稱為P-曲線(平衡路徑)。(3)過程分析當(dāng)P1Pcr=2EI/l2時(shí)，壓桿只是單純受壓。不發(fā)生彎曲變形(撓度=0)，壓桿處于直線形式的平衡狀態(tài)(稱為原始平衡狀態(tài))。其P-曲線用直線OAB表示，稱為原始平衡路徑。此時(shí)，若壓桿受到輕微干擾而發(fā)生彎曲，偏離原始平衡狀態(tài)，則當(dāng)干擾消失后，壓桿仍又回到原始平衡狀態(tài)。所以，當(dāng)P1Pcr=2EI/l2時(shí)，原始的平衡形式不再是唯一的平衡形式，壓桿既可處于直線形式的平衡狀態(tài)，還可處于彎曲形式的平衡狀態(tài)。亦即是說：這時(shí)存在兩種形式的平衡狀態(tài)。 與此相應(yīng)，在圖b中有兩條不同的P-曲線：原始平衡路徑I(BC)和第二條平衡路徑II(

6、根據(jù)大撓度理論，由曲線BD表示；如果采用小撓度理論進(jìn)行近似計(jì)算，則曲線BD退化為水平直線BD)?？梢钥闯觯哼@時(shí)原始平衡狀態(tài)(C點(diǎn))是不穩(wěn)定的。即：若壓桿受到干擾而彎曲，則當(dāng)干擾消失后，壓桿并不能回到C點(diǎn)的原始平衡狀態(tài)，而是繼續(xù)彎曲，直到D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的彎曲形式的平衡狀態(tài)為止。所以，當(dāng)P2 Pcr=2EI/l2 時(shí)，在原始的平衡路徑I上，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。8(4) 分支點(diǎn)分支點(diǎn)：兩條平衡路徑I和II的交點(diǎn)稱為分支點(diǎn)。分支點(diǎn)的意義：分支點(diǎn)B將原始平衡路徑I分為兩段：OB段上的點(diǎn)屬于穩(wěn)定平衡。BC段上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)定平衡。即：在分支點(diǎn)B上原始平衡路徑I和新平衡路徑II同時(shí)并存，出現(xiàn)平衡形式的二重

7、性，原始平衡路徑I由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡，出現(xiàn)穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變。分支點(diǎn)失穩(wěn)：具有原始平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡特征的失穩(wěn)形式稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)。臨界荷載和臨界狀態(tài)：分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載稱為臨界荷載，分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)稱為臨界狀態(tài)。(5) 分支點(diǎn)失穩(wěn)現(xiàn)象舉例(圖18-2a、b、c)特征：在分支點(diǎn)P=Pcr處，原始平衡形式由穩(wěn)定轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定，并出現(xiàn)新的平衡形式。9(a)PcrPcr(b)qcr(c)Pcr圖18-2(a) 承受結(jié)點(diǎn)荷載的門式剛架：在原始平衡形式中，各柱單純受壓，剛架無彎曲變形；在新的平衡形式中，剛架產(chǎn)生側(cè)移，出現(xiàn)彎曲變形。(b) 承受水壓力的圓拱，在原始平衡形式中，拱單純受壓，拱軸保持為圓

8、形；在新的平衡形式中，拱軸不再保持為圓形，出現(xiàn)壓彎組合變形。(c) 端部受荷載作用的懸臂窄條梁，在原始平衡形式中，梁處于平面彎曲狀態(tài)；在新的平衡形式中，梁處于斜彎曲和扭轉(zhuǎn)狀態(tài)。10二、極值點(diǎn)失穩(wěn)(1) 基本情況：非完善體系。壓桿具有初曲率和承受偏心荷載(圖18-3a、b)。非完善壓桿從一開始加載就處于彎曲平衡狀態(tài)。(2) P-曲線按小撓度理論：其P-曲線如右圖的曲線OA所示。在初始階段撓度增加較慢，以后逐漸變快，當(dāng)P接近中心壓桿的歐拉臨界荷載Pe時(shí)，撓度趨于無窮大。 按大撓度理論：其P-曲線由曲線OBC表示。(c)PB (極值點(diǎn))PeACPcrO(a)P圖18-3(b)P11(3) 極值點(diǎn)和極

9、值點(diǎn)失穩(wěn)B點(diǎn)為極值點(diǎn)，在極值點(diǎn)荷載達(dá)到極大值。在極值點(diǎn)前的曲線段OB，其平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的；在極值點(diǎn)后的曲線段BC，其相應(yīng)的荷載反而下降，平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的；在極值點(diǎn)處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。極值點(diǎn)失穩(wěn)：在極值點(diǎn)處，平衡路徑由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡的失穩(wěn)形式稱為極值點(diǎn)失穩(wěn)。 極值點(diǎn)失穩(wěn)的特征：平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象，而P-曲線具有極值點(diǎn)。一般說來，非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點(diǎn)失穩(wěn)。(4)特例扁拱式結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)可能伴隨有“跳躍”現(xiàn)象。12圖18-4a所示的扁桁架，矢高為f，高跨比f/l1。在跨度中點(diǎn)作用豎向荷載P，產(chǎn)生豎向位移。其P-曲線如圖18-4b所示。(a)Pl/2l/2f(b

10、)PABCEDFGPcr-Pcr圖18-4這里我們?cè)O(shè)想通過一個(gè)控制機(jī)構(gòu)進(jìn)行加載，P值可為正值或負(fù)值(圖18-4c)。(c)ffffA點(diǎn)P=0PcrB點(diǎn)P=0P=0C點(diǎn)E點(diǎn)F點(diǎn)D點(diǎn)PcrPcr13在初始加載階段，平衡路徑由圖18-4b中的實(shí)線AB表示，平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，在A點(diǎn)，PA=0，在B點(diǎn)出現(xiàn)極值點(diǎn)，相應(yīng)的荷載極值為PB=Pcr。極值點(diǎn)B以后，平衡路徑由虛線BCD表示，荷載的代數(shù)值減少，C點(diǎn)的PC=0，在D點(diǎn)出現(xiàn)下極限點(diǎn)，PD=-Pcr。BCD線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定平衡。下極限點(diǎn)D以后，荷載的代數(shù)值又上升，E點(diǎn)的PE=0，F(xiàn)點(diǎn)的PF=Pcr。如果不存在控制機(jī)構(gòu)，則實(shí)際的P-曲線應(yīng)為ABFG，在

11、極值點(diǎn)B以后有一段水平線BF，此時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生跳躍后，達(dá)到F點(diǎn)對(duì)應(yīng)的新平衡位置。F點(diǎn)以后的平衡路徑FG又屬于穩(wěn)定平衡。在本例中，通過人為控制進(jìn)行加載，解釋了扁桁架在荷載P的作用下，由穩(wěn)定平衡狀態(tài)到新的穩(wěn)定平衡狀態(tài)的跳躍現(xiàn)象。目的是告訴我們，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)一般不允許發(fā)生跳躍，應(yīng)取極值點(diǎn)B相應(yīng)的荷載為臨界荷載。1418-2 兩類穩(wěn)定問題計(jì)算簡(jiǎn)例主要內(nèi)容：(1) 用單自由度體系說明兩類失穩(wěn)問題的具體分析方法；(2) 分析完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)問題；(3) 分析非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)問題；(4) 用大撓度理論得出精確結(jié)果；(5) 用小撓度理論得出近似結(jié)果。一、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)基本情況：?jiǎn)巫杂啥韧晟?/p>

12、體系。圖18-5a所示的剛性壓桿，承受中心壓力P，底端A為鉸支座，頂端B有水平彈簧支承，其剛度系數(shù)為k。15(1) 按大撓度理論分析原始平衡形式(圖18-5a)：桿AB處于豎直位置時(shí)，體系能夠處于平衡。(a)kBPlA圖18-5問題：考察圖18-5b所示的傾斜位置是否還存在新的平衡形式。(b)BPABRl圖18-5b所示狀態(tài)的平衡條件：MA=0(a)式中，彈簧的反力R為：即可得出：(b)方程(b)有兩個(gè)解：(c)(d)16(c) 解代表原始平衡形式，其P-曲線由直線OAB表示，稱為原始平衡路徑I(圖18-6)；圖18-6ABI(不穩(wěn)定)II(不穩(wěn)定)I(穩(wěn)定)OCPcr=klP(d) 解代表新

13、的平衡形式，其P-曲線由直線AC表示，此即為第二平衡路徑II(圖18-6)。討論分支點(diǎn)：A點(diǎn)是兩條路徑的交點(diǎn)。A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)荷載為臨界荷載。臨界荷載為：(e)A點(diǎn)將原始平衡路徑I分為兩段：OA上的點(diǎn)屬于穩(wěn)定平衡，AB上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)定平衡。第二路徑II，當(dāng)增大時(shí)，荷載反而減??；路徑II上的點(diǎn)屬于不穩(wěn)定平衡。 17分支點(diǎn)A處的臨界平衡狀態(tài)也是不穩(wěn)定的。注意：對(duì)這類具有不穩(wěn)定分支點(diǎn)的完善體系，在進(jìn)行穩(wěn)定驗(yàn)算時(shí)要特別小心，一般應(yīng)當(dāng)考慮初始缺陷(初曲率、偏心)的影響，按非完善體系進(jìn)行驗(yàn)算。(2) 按小撓度理論分析設(shè)1，則式(a)、(b)簡(jiǎn)化為 (f)(g)其第一個(gè)解仍為式(c)，第二個(gè)解為： (h)圖18-

14、7ABI(不穩(wěn)定)II(隨遇平衡)I(穩(wěn)定)OCPcr=klP分析：兩條平衡路徑I和II如圖18-7所示。其中路徑II簡(jiǎn)化為水平直線，因而路徑II上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于隨遇平衡狀態(tài)。 18與大撓度理論分析的結(jié)果比較可以看出：小撓度理論能夠得出關(guān)于臨界荷載的正確結(jié)果見式(e)，但是未能反映當(dāng)較大時(shí)平衡路徑II的下降趨勢(shì)；而平衡路徑II對(duì)應(yīng)于隨遇平衡狀態(tài)的結(jié)論，則是由于采用假定而帶來的一種假象。 二、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)基本情況：圖18-8a所示的單自由度非完善體系，桿AB有初傾角，其余同前。圖18-8(a)kBPlA(b)BPABRl(1) 按大撓度理論分析加載一開始，桿件就進(jìn)一步傾斜。此時(shí)彈簧

15、力反為：平衡條件為： MA=019可求得：(i)討論不同初傾角時(shí)的P-曲線(見圖18-9a)。其中=0為完善體系。觀察P-曲線，其具有極值點(diǎn)。圖18-9(a)=0.1=0=0=0.1=0.2=0.2令 ，得：相應(yīng)的極值荷載為在圖18-9b中給出Pcr-曲線。分析可知：這個(gè)非完善體系的失穩(wěn)形式是極值點(diǎn)失穩(wěn)。臨界荷載Pcr隨初傾角而變， 越大，則Pcr越小。20圖18-9(b)0.6950.5360.4150.30.20.10(2) 按小撓度理論分析設(shè)：1，1，則式(i)和(j)簡(jiǎn)化為：(k)(l)在圖18-10中給出P-曲線。=0=0.1=0.2=010.80.60.40.200.20.40.6

16、0.81.01.21.41.6圖18-10分析可知：各條曲線都以水平直線P/(kl)=1為漸近線，并得出相同的臨界荷載值。與大撓度理論的結(jié)果相比可知：對(duì)于非完善體系，小撓度理論未能得出隨著的增大Pcr會(huì)逐漸減小的結(jié)論。21三、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1) 結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)存在兩種基本形式，一般說來，完善體系是分支點(diǎn)失穩(wěn)；非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)。(2) 分支點(diǎn)失穩(wěn)的特征是：存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點(diǎn)處出現(xiàn)平衡形式的二重性。極值點(diǎn)失穩(wěn)形式的特征是：雖然只存在一個(gè)平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點(diǎn)。(3) 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題只有根據(jù)大撓度理論才能得出精確的結(jié)論，但從實(shí)用的觀點(diǎn)看，小撓度理論也有其優(yōu)點(diǎn)，特別是在分支點(diǎn)失穩(wěn)問

17、題中通常也能得出臨界荷載的正確值，但也應(yīng)注意它的某些結(jié)論的局限性。特別指出：后面只討論完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問題，并根據(jù)小撓度理論求臨界荷載。22 18-3 有限自由度體系的穩(wěn)定靜力法和能量法 內(nèi)容：有限自由度體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問題，按小撓度理論求其臨界荷載。確定臨界荷載的兩類方法：(1) 靜力法：根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征提出的方法；(2) 能量法：根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征提出的方法。本節(jié)以單自由度體系說明以上兩種解法?；厩闆r：圖18-11a的單自由度體系，AB是剛性壓桿，A端為彈性支承，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)為k。求：臨界荷載Pcr。23一、靜力法已知：分支點(diǎn)失穩(wěn)臨界狀態(tài)的靜力特征是平衡形式的二重性。要點(diǎn)：尋求

18、分支點(diǎn)，確定臨界荷載。分支點(diǎn)：原始平衡路徑I和新的平衡路徑II的交叉點(diǎn)。(b)BPlAMA=kB(a)BPlAk圖18-11原始平衡形式：桿AB處于豎直位置時(shí)的平衡形式。新的平衡形式：桿AB處于傾斜位置時(shí)的新的平衡形式。(a)新的平衡形式的確定：根據(jù)小撓度理論，圖18-11b的體系的平衡方程為：MA=024因?yàn)閺椥灾ё姆戳貫镸A=k，所以由式(a)得：(b)特別指出：平衡方程是針對(duì)變形后的結(jié)構(gòu)新位置寫出的，即是說，要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的影響。在應(yīng)用小撓度理論時(shí)，由于假設(shè)位移是微量，所以結(jié)構(gòu)中的力分為主要力(P)和次要力(MA)兩類。分析方程(b)：方程是以位移為未知量的齊次方程。齊次方

19、程有兩類解：零解和非零解。零解：=0，對(duì)應(yīng)于原始路徑I。非零解： 不為零，對(duì)應(yīng)于新的平衡形式。為了得到非零解，方程(b)的系數(shù)應(yīng)為零，即：(c)式(c)稱為特征方程。25由特征方程可知，第二平衡路徑II為水平直線。由兩條路徑的交點(diǎn)得到分支點(diǎn)，分支點(diǎn)對(duì)應(yīng)的荷載為臨界荷載。因此，臨界荷載為(d)二、能量法圖18-11所示的體系，把荷載P看作重量；體系的勢(shì)能EP為彈簧應(yīng)變能U與荷載勢(shì)能UP之和。彈簧應(yīng)變能為注意：是靜荷載做功荷載勢(shì)能為26這里為B點(diǎn)的豎向位移：因此有體系的勢(shì)能為(e)應(yīng)用勢(shì)能駐值條件 ，可得(f)式(f)和式(c)是等價(jià)的，可見靜力法和能量法這兩種方法都導(dǎo)出了相同的方程。也說是說，勢(shì)

20、能駐值條件等價(jià)于用位移表示的平衡方程。由(f)式可根據(jù)位移有非零解的條件導(dǎo)出特征方程(c)，從而求得臨界荷載Pcr。27綜上可知：在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值，且位移有非零解。能量法是根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征求臨界荷載的。進(jìn)一步討論勢(shì)能EP由式(e)可以看出：勢(shì)能EP是位移的二次式，其關(guān)系曲線是拋物線。(e)如果Pk/l，則關(guān)系曲線如圖18-12a所示。當(dāng)為任意非零值時(shí)，勢(shì)能EP恒為正值，即勢(shì)能是正定的。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)(=0)時(shí)，勢(shì)能EP為極小，因而原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定平衡狀態(tài)。(a)EPOPPcr(b)EPOP=Pcr圖18-12如果Pk/l，則關(guān)系曲線如圖18-

21、12c所示。當(dāng)為任意非零值時(shí)，勢(shì)能EP恒為負(fù)值，即勢(shì)能是負(fù)定的。當(dāng)體系處于原始平衡狀態(tài)時(shí)，勢(shì)能EP為極大，因而原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。因此，臨界狀態(tài)的的能量特征還可表述為：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能EP由正定過渡到非正定，對(duì)于單自由度體系，則由正定過渡到負(fù)定。29例18-1 圖18-13a所示是一個(gè)具有兩個(gè)變形自由度的體系，其中AB、BC、CD各桿為剛性桿，在鉸結(jié)點(diǎn)B和C處為彈性支承，其剛度系數(shù)都為k。體系在D端有壓力P作用。試用兩種方法求其臨界荷載Pcr。(a)ABCDPlllkk(b)ABCDPXABCDy1y2R2R1圖18-13解：(1) 靜力法設(shè)體系由原始平衡狀態(tài)(水平位置)

22、轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)(圖18-13b)，設(shè)B點(diǎn)和C點(diǎn)的豎向位移分別為y1和y2，相應(yīng)的支座反力分別為同時(shí)，A點(diǎn)和D點(diǎn)的支座反力為對(duì)B點(diǎn)取矩求YA對(duì)C點(diǎn)取矩求YD30變形狀態(tài)的平衡條件為(C左)(B右)即(a)式(a)是關(guān)于y1和y2的齊次方程。如果系數(shù)行列式不等于零，即則零解(即y1和y2全為零)是齊次方程(a)的唯一解。也就是說，原始平衡形式是唯一的平衡形式。如果系數(shù)行列式等于零，即(b)31則除零解外，齊次方程(a)還有非零解。也就是說，除原始平衡形式外，體系還存在新的平衡形式。這樣，平衡形式即具有二重性，這就是體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征。方程(b)就是穩(wěn)定問題的特征方程。展開式(b)，得由此

23、解得兩個(gè)特征值：其中最小的特征值叫做臨界荷載，即將特征值代回式(a)，可得y1和y2的比值。這時(shí)位移y1、y2組成的向量稱為特征向量。如將P=kl/3代回，則得y1=-y2，相應(yīng)的變形曲線如圖18-14a所示。如將P=kl代回，則得y1=y2，相應(yīng)的變形曲線如圖18-14b所示。32圖18-14(a)y1P=kl/3y2=-y1(b)y1P=kly2=y1(2) 能量法現(xiàn)在討論臨界荷載的能量特征。在圖18-13b中，D點(diǎn)的水平位移為(c)彈性支座的應(yīng)變能為(d)荷載勢(shì)能為(e)(f)體系的勢(shì)能為33應(yīng)用勢(shì)能駐值條件：得：(g)式(g)就是前面導(dǎo)出的式(a)。也就是說，勢(shì)能駐值條件等價(jià)于用位移表

24、示的平衡方程。能量法以后的計(jì)算步驟與靜力法完全相同。勢(shì)能駐值條件(g)的解包括全零解和非零解。求非零解時(shí)，先建立特征方程(b)，然后求解，得出兩特征荷載值P1和P2，其中最小的特征值即為臨界荷載Pcr。歸結(jié)起來，能量法求多自由度體系臨界荷載Pcr的步驟如下：(1) 寫出勢(shì)能表達(dá)式，建立勢(shì)能駐值條件。34(2) 應(yīng)用位移有非零解的條件，得出特征方程，求出荷載的特征值Pi(i=1、2、n)。(3) 在Pi中選取最小值，即得到臨界荷載Pcr。下面對(duì)勢(shì)能EP進(jìn)行定性討論。式(f)可改寫為由此看出，勢(shì)能EP是位移y1和y2的二次式。下面針對(duì)不同的P值，分別說明勢(shì)能EP的特征。如果Pkl/3，則勢(shì)能EP是

25、正定的。如果P=kl/3=Pcr，則EP是半正定的(當(dāng)y1=-y2時(shí)， EP=0)。如果kl/3Pkl，則勢(shì)能EP是負(fù)定的。3518-4 無限自由度體系的穩(wěn)定靜力法研究問題：無限自由度體系的穩(wěn)定問題。主要內(nèi)容：壓桿穩(wěn)定。解題思路：(1) 對(duì)變形狀態(tài)建立平衡方程； (2) 根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程； (3) 由特征方程求出臨界荷載。與有限自由度體系不同的是：在無限自由度體系中，平衡方程是微分方程不出代數(shù)方程。36一、方法例題(1) 基本情況：圖18-15所示的等截面壓桿，下端固定，上端有水平支桿，靜力法求臨界荷載。圖18-15xEIlRPyyy0 x(2) 受力分析與平衡方程的建立在臨界

26、狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式(圖中虛線)，柱頂有未知的水平反力R，則彈性曲線的微分方程為(3) 微分方程的解上式可改寫為37微分方程的解為：求導(dǎo)可得常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條件確定。(4) 確定常數(shù)A、B，建立特征方程當(dāng)x=0 時(shí)，y=0，可得A=0。當(dāng)x=l 時(shí)，y=0和y=0，由此得出：(a)因?yàn)閥(x)不恒等于零，所以A、B和R不全為零?？芍?，式(a) 中的系數(shù)行列式應(yīng)等于零，即：38展開行列式可得超越方程：上式是一個(gè)超越方程，可用試算法或圖解法求解。(5) 解超越方程采用圖解法時(shí)，作y=l和y=tgl兩組線，其交點(diǎn)即為方程的解答(圖18-16)，結(jié)果有無窮多個(gè)解。圖18-16如何選

27、解：因彈性桿有無限個(gè)自由度，所以有無窮多個(gè)特征荷載值，其中最小的一個(gè)是臨界荷載Pcr(利用P=2EI來求)。由(l)min=4.493，可求得39二、例題例18-2 圖18-17所示等截面壓桿，下端鉸支，上端水平支撐，試用靜力法求其臨界荷載。圖18-17xEIlRPyyx解：(1) 受力分析與平衡方程的建立在臨界狀態(tài)下，體系出現(xiàn)新的平衡形式(圖中虛線)，彈性曲線的微分方程為(2) 微分方程的解上式可改寫為這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程。其通解為：40常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條件確定。(3) 確定常數(shù)A、B，建立特征方程當(dāng)x=0 時(shí)，y=0，可得：A=0。當(dāng)x=l 時(shí)，y=0，可得：Bs

28、inl=0因?yàn)閥(x)不恒等于零，故A、B不全為零。所以有sinl=0計(jì)算可得： l=n (n=1、2、)由此得當(dāng)n=1時(shí)有上式稱為兩端鉸支、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載公式，即歐拉公式。41例18-3 試求圖18-18所示排架的臨界荷載和柱AB的計(jì)算長(zhǎng)度。(a)BP剛性桿I1lACI2=nI1D(b)BAP(c)BAPcryyI1xy0 xR圖18-18解：圖18-18b所示為此排架的計(jì)算簡(jiǎn)圖。這里，柱AB在B點(diǎn)具有彈性支座，它反映柱CD所起的支承作用，彈性支座的剛度系數(shù) (在第十三章中計(jì)算過 )。在臨界狀態(tài)下，桿AB的變形如圖18-18c所示，這時(shí)在柱頂處有未知的水平力R，彈性曲線的微分方程為42并

29、可改寫為上式的解為求導(dǎo)可得常數(shù)A、B和未知力R可由邊界條件確定。當(dāng)x=0時(shí)，y=0，由此求得A=0。當(dāng)x=l時(shí)，y=和y=0，由此有：由于R=k，即=R/k，所以上式變?yōu)?3因?yàn)閥(x)不恒等于零，所以A、B和R不全為零?？芍鲜降南禂?shù)行列式應(yīng)等于零，即：展開上式得利用P=2EI1并化簡(jiǎn)，得到如下的超越方程(a)44為了求這個(gè)超越方程，需要事先給定k值(即給出I1/I2的比值)。下面討論三種情形的解：(1) I2=0，則k=0，這時(shí)方程(a)變?yōu)楫?dāng)EI1為有限值時(shí)，因?yàn)?，若EI1為有限值則也為有限值，即l，所以這個(gè)方程的最小根為因此這正是懸臂柱的情況，計(jì)算長(zhǎng)度(在例18-2中我們已經(jīng)得出了兩

30、端鉸支、細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界荷載公式，其它情況均是和這種情況進(jìn)行對(duì)比的)為l0=2l。45(2) I2=，則k=，這時(shí)方程(a)變?yōu)檫@個(gè)方程的最小根為因此這相當(dāng)于上端鉸支、下端固定的情況，計(jì)算長(zhǎng)度為l0=0.7l。(3) 一般情況是k在0的范圍內(nèi)，l在/24.493范圍內(nèi)變化。當(dāng)I2=I1時(shí)，則 。這時(shí)方程(a)變?yōu)橄旅嬗迷囁惴ㄇ蠼?。先將上式表示為如下形式?6當(dāng)l=2.4時(shí)， tgl=-0.916， D=1.192當(dāng)l=2.0時(shí)， tgl=-2.185， D=-1.518當(dāng)l=2.2時(shí)， tgl=-1.374， D=-0.025當(dāng)l=2.21時(shí)， tgl=-1.345， D0由此求得l=2.21，

31、因此所以，當(dāng)I2=I1時(shí)，計(jì)算長(zhǎng)度為l0=1.42l。例18-4 試求圖18-19所示階形柱的特征方程。I1yPPcrI2xll2l1圖18-19解：彈性曲線微分方程為47上式可改寫為(a)式中式(a)的解為積分常數(shù)A1、B1和A2、B2由上下端的邊界條件和x=l1處的變形連續(xù)條件確定。當(dāng)x=0時(shí)，y1=0，由此得 B1=0。當(dāng)x=l時(shí)， ，由此得當(dāng)x=l1時(shí)，y1=y2，和 ，由此得48由系數(shù)行列式等于零，可求得特征方程為這個(gè)方程只有當(dāng)給定I1/I2和l1/l2的比值時(shí)才能求解。4918-5 無限自由度體系的穩(wěn)定能量法研究問題：無限自由度體系的穩(wěn)定問題。主要內(nèi)容：壓桿穩(wěn)定。解題思路：(1)

32、對(duì)于滿足位移邊界條件的任一可能位移狀態(tài)，可求得勢(shì)能EP；(2) 由勢(shì)能的駐值條件EP=0，可得包含待定參數(shù)的齊次方程組；(3) 由齊次方程組非零解條件，知其系數(shù)行列式的值應(yīng)為零，由此可求得特征荷載值，臨界荷載Pcr是特征值中的最小值。 50具體算法以圖18-20a所示壓桿為例說明。(a)PBAlxy圖18-20設(shè)壓桿有任意可能位移，變形曲線為(a)其中i(x)是滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，ai是任意參數(shù)，共n個(gè)。這樣，原體系被近似地看作具有n個(gè)自由度的體系。先求彎曲應(yīng)變能U，得(14-2)再求與P相應(yīng)的位移(壓桿頂點(diǎn)的豎向位移)。先取微段AB進(jìn)行分析(18-20b)。彎曲前，微段AB的原長(zhǎng)為d

33、x。51(b)dydxdyABBBds=dxA圖18-20彎曲后，弧線的AB的長(zhǎng)度不變，即ds=dx。由圖可知，微段兩端點(diǎn)豎向位移的差值d為(18-3)因此(18-4)荷載勢(shì)能UP為(18-5)可得體系的勢(shì)能為(18-6)52由勢(shì)能駐值條件EP=0，即(18-7)得(18-8)令(18-9)(18-10)則得(18-11a)(18-11b)可簡(jiǎn)寫為53式(18-11)是對(duì)n個(gè)未知參數(shù)a1、a2、an的n個(gè)線性方程。根據(jù)特征荷載和特征向量的性質(zhì)，參數(shù)a1、a2、an不能全為零，因此系數(shù)行列式應(yīng)為零，即(18-12)其展開式是關(guān)于P的n次代數(shù)方程，可求出n個(gè)根，由其中的最小根可確定臨界荷載。上面介

34、紹的方法叫做里茲法。它將原來的無限自由度體系近似地化為n次自由度體系，所得的臨界荷載近似解是精確解的一個(gè)上限。對(duì)此現(xiàn)象可作如下解釋：求近似解時(shí)，從全部的可能位移狀態(tài)中只考慮其中的一部分，使體系的自由度有所減少(變?yōu)橛邢拮杂啥?。這種作法相當(dāng)于對(duì)體系施加某種約束，體系抵抗失穩(wěn)的能力就會(huì)得到提高，因而這樣求得的臨界荷載就是實(shí)際臨界荷載的一個(gè)上限。54例18-5 圖18-21a所示為兩端簡(jiǎn)支的中心受壓柱，試用能量法求其臨界荷載。(a)xPEIyl圖18-21解：簡(jiǎn)支壓桿的位移邊界條件為 當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0在滿足上述邊界條件的情況下，我們選取三種不同的變形形式進(jìn)行計(jì)算。(1) 假設(shè)撓曲線為拋物

35、線相當(dāng)于在式(18-1)中只取一項(xiàng)則求得55由勢(shì)能駐值條件 ，得為了求非零解，要求a1的系數(shù)為零，得(2) 取跨中橫向集中力Q作用下的撓曲線作為變形形式(圖18-21b)，則當(dāng)xl/2時(shí)：(b)xPyl/2Ql/2圖18-2156求得由此，可求得(3) 假設(shè)撓曲線為正弦曲線則求得由此，可求得57(4) 討論假設(shè)撓曲線為拋物線時(shí)求得的臨界荷載值與精確值相比誤差為22%，這是因?yàn)樗O(shè)的拋物線與實(shí)際的撓曲線差別太大的緣故。根據(jù)跨中橫向集中力作用下的撓曲線而求得的臨界荷載值與精確值相比誤差為1.3%，精度比前者大為提高。如果采用均布荷載作用下的撓曲線進(jìn)行計(jì)算，則精度還可以提高。正弦曲線是失穩(wěn)時(shí)的真實(shí)變

36、形曲線，所以由它求得的臨界荷載是精確解。例18-6 圖18-22所示為一等截面柱，下端固定、上端自由，試求在均勻豎向荷載作用下的臨界荷載qcr。yxqlxdx圖18-22解：坐標(biāo)系如圖。兩端位移邊界條件為58當(dāng)x=0時(shí)，y=0； 當(dāng)x=l時(shí)，y=0。根據(jù)上述位移邊界條件，假設(shè)變形曲線為先求應(yīng)變能再求外力作的功。由于微段dx傾斜而使微段以上部分的荷載向下移動(dòng)，下降距離d可由式(18-3)算出。這部分荷載所作的功為因此所有外力作的功為59體系的總勢(shì)能為由EP=0，可求得臨界荷載qcr的近似解為與精確解 相比，誤差為5.5%。例18-7 圖18-23所示為兩端簡(jiǎn)支的變截面柱，任一截面x處的慣性矩為

37、，對(duì)于中間截面來說， I為對(duì)稱分布。BI0PxC2I0I0Ayxl/2l/2圖18-23解：簡(jiǎn)支桿的位移邊界條件為當(dāng)x=0時(shí)，y=0； 當(dāng)x=l時(shí)，y=0。60根據(jù)上述位移邊界條件，變形曲線可假設(shè)為三角級(jí)數(shù)：(a)級(jí)數(shù)中的每一項(xiàng)都是滿足位移邊界和對(duì)稱條件的。(1) 取級(jí)數(shù)(a)的第一項(xiàng)作為近似的變形曲線，即設(shè)(b)在位移表示式(b)中只含有一個(gè)任意參數(shù)a1。這就是說，我們把原來的無限自由度體系近似地作為單自由度體系來看待。61由此可求得(c)這是按單自由度體系求得的結(jié)果。(2) 取級(jí)數(shù)(a)的前兩項(xiàng)作為近似的變形曲線，即設(shè)(d)這里含有兩個(gè)任意參數(shù)a1和a3，相當(dāng)于把原體系近似地按兩個(gè)自由度體

38、系看待。根據(jù)式(d)，求得U和UP如下62由駐值條件可得(e)為了得到a1和a3的非零解，令方程組(e)的系數(shù)行列式為零：63基展開式為由此求出最小根，即得出臨界荷載如下：(f)由式(c)和(f)看出，兩次計(jì)算結(jié)果已很接近，相對(duì)差值不到1%，由此可以了解所得近似結(jié)果的精確程度。6418-7 組合桿的穩(wěn)定大型結(jié)構(gòu)中的壓桿，如橋梁的上弦桿、廠房的雙肢柱、起重機(jī)和無線電桅桿的塔身等，常采用組合桿的形式。組合桿根據(jù)構(gòu)造形式可分成綴條式和綴板式兩種。組合桿可以按精確法計(jì)算，也可以采用一些假設(shè)后按靜力法進(jìn)行近似計(jì)算。本節(jié)則按能量法進(jìn)行近似計(jì)算。一、綴條式組合桿綴條式組合桿(圖18-27)可按桁架進(jìn)行計(jì)算，

39、柱肢和綴條間的連結(jié)結(jié)點(diǎn)均可視為鉸結(jié)點(diǎn)。喪失穩(wěn)定時(shí)，桁架中各桿(即柱肢和綴條)只引起附加的軸力。假設(shè)組合桿失穩(wěn)時(shí)的變形曲線為半波的正弦曲線：65圖18-27Pxd12A1A2lxy(a)組合桿軸線上任意點(diǎn)的彎矩為剪力為組合桿柱肢的軸力N和綴條的軸力N按桁架近似計(jì)算，可得式中b為組合桿肢寬，為斜綴條與水平軸的夾角(見圖18-27b、c)。bb/2b/2A(b)(c)bNNNQM66桁架的應(yīng)變能為：式中s為各桿桿長(zhǎng)。將軸力代入后有式中A為終結(jié)桿的面積，A1為上斜綴條的面積，A2為下斜綴條的面積。若組合桿在兩個(gè)平面內(nèi)都有綴條(圖18-27b)，計(jì)算A1和A2時(shí)應(yīng)加倍。n為組合桿的結(jié)間數(shù)，對(duì)于上、下斜桿來說，每一結(jié)間只有一桿，故總和數(shù)為n桿之和；對(duì)于弦桿來說，每一結(jié)間