快速付里葉變換FFT

1、2.3 快速(kui s)傅立葉變換共五十二頁FFT產(chǎn)生(chnshng)1965年，庫利-圖基在計(jì)算數(shù)學(xué)（Mathematic of Computation）雜志上發(fā)表了著名(zhmng)的“機(jī)器計(jì)算傅里級數(shù)的一種算法”文章，提出一種快速計(jì)算DFT的方法和計(jì)算機(jī)程序-揭開了FFT發(fā)展史上的第一頁。共五十二頁本節(jié)主要(zhyo)內(nèi)容 直接計(jì)算(j sun)DFT算法存在的問題及改進(jìn)途徑。 FFT算法(基2時(shí)間抽取算法） FFT的應(yīng)用共五十二頁直接計(jì)算DFT計(jì)算量問題(wnt)提出：設(shè)有限長序列x(n)，非零值長度為N，計(jì)算對x(n)進(jìn)行一次DFT運(yùn)算，共需多大的運(yùn)算工作量?一、直接計(jì)算DFT算

2、法存在的問題及改進(jìn)(gijn)途徑共五十二頁(1) 以DFT為例，計(jì)算(j sun)DFT復(fù)數(shù)運(yùn)算量計(jì)算一個(gè)X(k)(一個(gè)頻率(pnl)成分)值，運(yùn)算量為 例（k=1）則 要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法+(N-1)次復(fù)數(shù)加法 所以，要完成整個(gè)DFT運(yùn)算，其計(jì)算量為： N*N次復(fù)數(shù)相乘+N*(N-1)次復(fù)數(shù)加法共五十二頁(2) 一次復(fù)數(shù)(fsh)乘法換算成實(shí)數(shù)運(yùn)算量復(fù)數(shù)運(yùn)算要比加法運(yùn)算復(fù)雜，需要(xyo)的運(yùn)算時(shí)間長。一個(gè)復(fù)數(shù)乘法包括4個(gè)實(shí)數(shù)乘法和2個(gè)實(shí)數(shù)相法。(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 4次實(shí)數(shù)乘法2次實(shí)數(shù)加法共五十二頁(3) 計(jì)算(j sun)DFT需要的實(shí)數(shù)運(yùn)算量 每運(yùn)

3、算一個(gè)X(k)的值，需要進(jìn)行 4N次實(shí)數(shù)相乘和 2N+2(N-1)=2(2N-1)次實(shí)數(shù)相加. 整個(gè)DFT運(yùn)算量為：4N2次實(shí)數(shù)相乘和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)相加. 由此看出(kn ch)：直接計(jì)算DFT時(shí)，乘法次數(shù)與加法次數(shù)都是和N2成比例的。當(dāng)N很大時(shí)，所需工作量非?？捎^。共五十二頁當(dāng)N=1024點(diǎn)時(shí)，直接計(jì)算DFT需要： N2=1048576次，即一百多萬次的復(fù)乘運(yùn)算。 這對實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號處理(如雷達(dá)信號處理)來講，它對計(jì)算速度有十分苛刻(kk)的要求 迫切需要改進(jìn)DFT的計(jì)算方法，以減少總的運(yùn)算次數(shù)。共五十二頁(4) 比較(bjio)DFT與IDFT之間的運(yùn)算量其中x(n)為復(fù)數(shù)(fs

4、h)， 也為復(fù)數(shù)。所以DFT與IDFT二者計(jì)算量相同。共五十二頁 2. 改善DFT運(yùn)算(yn sun)效率的基本途徑 利用DFT運(yùn)算的系數(shù)(xsh) 的固有對稱性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率。 合并法：合并DFT運(yùn)算中的某些項(xiàng)。 分解法：將長序列DFT利用對稱性和周 期性，分解為短序列DFT。共五十二頁利用DFT運(yùn)算的系數(shù)(xsh) 的固有對稱性和周期性，改善DFT的運(yùn)算效率共五十二頁利用DFT運(yùn)算的系數(shù) 的固有對稱性和周期性，改善(gishn)DFT的運(yùn)算效率的對稱性：的周期性：因?yàn)?yn wi)：由此可得出：同理可得出共五十二頁例:利用以上特性,得到改進(jìn)DFT直接算法(sun f)的方法

5、.共五十二頁將長序的DFT利用(lyng)對稱性和周期性分解為短序列DFTDFT的運(yùn)算量與N2成正比如果一個(gè)大點(diǎn)數(shù)N的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到(d do)減少運(yùn)算工作量的效果。共五十二頁方 法把N點(diǎn)數(shù)據(jù)(shj)分成二半：其運(yùn)算量為：再分二半：+=+=這樣一直分下去，剩下(shn xi)兩點(diǎn)的變換。共五十二頁結(jié) 論快速(kui s)付里時(shí)變換(FFT)就是在此特性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，并產(chǎn)生了多種FFT算法，其基本上可分成兩大類：按抽取方法分： 時(shí)間抽取法(DIT)；頻率抽取法(DIF)按“基數(shù)”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法

6、其它方法：線性調(diào)頻Z變換(CZT法)共五十二頁二、按時(shí)間(shjin)抽取的FFT算法Decimation-in-Time(DIT)共五十二頁1 算法(sun f)原理設(shè)輸入序列長度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列按時(shí)間順序的奇偶分解(fnji)為越來越短的子序列，稱為基2按時(shí)間抽取的FFT算法。也稱為Coolkey-Tukey算法。其中基數(shù)2-N=2M，M為整數(shù)。若不滿足這個(gè)條件，可以人為地加上若干零值（加零補(bǔ)長）使其達(dá)到 N=2M。共五十二頁例子(l zi)設(shè)一序列x(n)的長度(chngd)為L=9，應(yīng)加零補(bǔ)長為N=24=16 應(yīng)補(bǔ)7個(gè)零值。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7、 11 12 13 14 15 nx(n)共五十二頁2 算法(sun f)推導(dǎo)（1）分組DFT變換：先將x(n)按n的奇偶分為兩 組，作變量(binling)置換:當(dāng)n=偶數(shù)時(shí)，令n=2r；當(dāng)n=奇數(shù)時(shí)，令n=2r+1；得到：x(2r)=x1(r); x(2r+1)=x2(r)；r=0,N/2-1；共五十二頁(2) DFT生成兩個(gè)子序列x(0),x(2)x(2r)偶數(shù)點(diǎn)x(1),x(3)x(2r+1)奇數(shù)點(diǎn)代入DFT變換式：共五十二頁(3) 求出子序列(xli)的DFT共五十二頁(4) 結(jié)論(jiln)1利用(lyng)周期性質(zhì)，一個(gè)N點(diǎn)的DFT被分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT。X1(k),X2(k

8、)這兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT按照：再應(yīng)用W系數(shù)的周期性，求出用X1(k),X2(k)表達(dá)的后半部的X(k+N/2)的值。共五十二頁（5）后半部的表示(biosh)式后半部的k值所對應(yīng)(duyng)的X1(k)，X2(k)則完全重復(fù)了前半部分的k值所對應(yīng)(duyng)的X1(k), X2(k)的值。共五十二頁(6) 結(jié)論(jiln)2頻域中的N個(gè)點(diǎn)頻率(pnl)成分為：結(jié)論：只要求出（0N/2-1）區(qū)間內(nèi)的各個(gè)整數(shù)k值所對應(yīng)的X1(k)，X2(k)值，即可以求出(0N-1)整個(gè)區(qū)間內(nèi)全部X(k)值，這就是FFT能節(jié)省計(jì)算的關(guān)鍵。共五十二頁(7）結(jié)論(jiln)3由于N=2M，因此N/2仍為偶數(shù)，可以

9、依照上面方法進(jìn)一步把每個(gè)N/2點(diǎn)子序列，再按輸入n的奇偶分解為兩個(gè)N/4點(diǎn)的子序列，按這種方法不斷劃分下去，直到最后剩下(shn xi)的是2點(diǎn)DFT，兩點(diǎn)DFT實(shí)際上只是加減運(yùn)算。共五十二頁3 蝶形結(jié)（基本(jbn)單元）即蝶式計(jì)算結(jié)構(gòu)也即為蝶式信號流圖上面(shng min)頻域中前/后半部分表示式可以用蝶形信號流圖表示。X1(k)X2(k)共五十二頁將N=8點(diǎn)分解成2個(gè)4點(diǎn)的DFT的信號流圖4點(diǎn)DFTx(0)x(2)x(4)x(6)4點(diǎn)DFTx(1)x(3)x(5)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X

10、2(1)X2(2)X2(3)偶數(shù)序列奇數(shù)序列x1(r)x2(r)共五十二頁一個(gè)(y )2點(diǎn)的DFT蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(0)x(4)x(2)x(6)X3(0)X3(1)X4(0)X4(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)共五十二頁 另一個(gè)(y )2點(diǎn)的DFT蝶形流圖2點(diǎn)DFT2點(diǎn)DFTx(1)x(5)x(3)x(7)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)同理：共五十二頁將N/4（2點(diǎn)）DFT再分解成2個(gè)1點(diǎn)的DFT 最后剩下兩點(diǎn)DFT,它可分解成兩個(gè)一點(diǎn)DFT，但一點(diǎn)DFT就等于輸入信號本身，所以兩點(diǎn)DFT可用一個(gè)(y )蝶形結(jié)表示。

11、取x(0)、x(4)為例。共五十二頁2個(gè)1點(diǎn)的DFT蝶形流圖 1點(diǎn)DFTx(0)1點(diǎn)DFTx(4)X3(0)X3(1)進(jìn)一步簡化(jinhu)為蝶形流圖：X3(0)X3(1)x(0)x(4)共五十二頁一個(gè)完整N=8的按時(shí)間抽取(chu q)FFT的運(yùn)算流圖 X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)m=1m=2m=3共五十二頁4 FFT算法(sun f)中一些概念將N 點(diǎn)DFT先分成兩個(gè)N/2點(diǎn)DFT，再是四個(gè)N/4點(diǎn)DFT直至N/2個(gè)兩點(diǎn)DFT.每分一次稱為(chn wi)“一”級運(yùn)算。因?yàn)镹=2M所以N點(diǎn)

12、DFT可分成M級如上圖所示依次m=1,m=2.M共M級（1）級共五十二頁（2）組 每一級都有N/2個(gè)蝶形單元，例如：N=8,則每級都有4個(gè)蝶形單元。每一級的N/2個(gè)蝶形單元可以分成若干組，每一組具有相同(xin tn)的結(jié)構(gòu)，相同(xin tn)的 因子分布，第m級的組數(shù)為：例：N=8=23，分3級。m=1級,分成(fn chn)四組,每組系數(shù)為m=2級,分成二組,每組系數(shù)為m=3級,分成一組,每組系數(shù)為共五十二頁(3) 因子(ynz)的分布結(jié)論：每由后向前（m由M-1級）推進(jìn)(tujn)一級，則此系數(shù)為后級系數(shù)中偶數(shù)序號的那一半。共五十二頁N=8點(diǎn)和N=1024點(diǎn)時(shí)直接計(jì)算(j sun)DF

13、T與用基2-按時(shí)間抽取法FFT的運(yùn)算量?？闯觯寒?dāng)N較大時(shí)，按時(shí)間(shjin)抽取法將比直接法快一、二個(gè)數(shù)量級之多。共五十二頁5 按時(shí)間抽取FFT算法(sun f)的特點(diǎn)根據(jù)DIT基2-FFT算法原理，能得出任何N=2m點(diǎn)的FFT信號流圖，并進(jìn)而(jn r)得出FFT計(jì)算程序流程圖。最后總結(jié)出按時(shí)間抽取法解過程的規(guī)律。原位運(yùn)算（in-place)碼位倒序規(guī)則共五十二頁（1） 原位運(yùn)算(yn sun)（in-place)原位運(yùn)算的結(jié)構(gòu)，可以節(jié)省存儲單元，降低設(shè)備成本。定義：當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲器以后，每一組運(yùn)算的結(jié)果，仍然存放(cnfng)在這同一組存儲器中直到最后輸出。x(0)x(4)X3(0)X

14、3(1)共五十二頁(2) 碼位倒序規(guī)則(guz)我們從輸入序列的序號及整序規(guī)律得到碼位倒讀規(guī)則。由N=8蝶形圖看出：原位計(jì)算(j sun)時(shí)，F(xiàn)FT輸出的X(k)的次序正好是順序排列的，即X(0)X(7),但輸入x(n)都不能按自然順序存入到存儲單元中，而是按x(0),x(4),x(2), x(6).的順序存入存儲單元即為亂序輸入，順序輸出。這種順序看起來相當(dāng)雜亂，然而它是有規(guī)律的。即碼位倒序規(guī)則。共五十二頁以N=8為例：01234567000001010011100101110111自然(zrn)順序二進(jìn)制碼表示(biosh)碼位倒讀碼位倒置順序00010001011000110101111

15、104261537看出：碼位倒讀后的順序剛好是數(shù)據(jù)送入計(jì)算機(jī)內(nèi)的順序。共五十二頁排序(pi x)子程序具體(jt)執(zhí)行時(shí)，只須將1與4對調(diào)送入，3與6對調(diào)送入，而0，2，5，7不變，僅需要一個(gè)中間存儲單元。n01234567n04261537 在實(shí)際運(yùn)算時(shí)，先按自然順序?qū)⑤斎胄蛄写嫒氪鎯卧偻ㄟ^變址運(yùn)算將自然順序變換成按時(shí)間抽取的FFT算法要求的順序。變址的過程可以用程序安排加以實(shí)現(xiàn)-稱為“整序”或“重排”（采用碼位倒讀）且注意：(1)當(dāng)n=n時(shí)，數(shù)據(jù)不必調(diào)換；(2)當(dāng)nn時(shí)，必須將原來存放數(shù)據(jù)x(n)送入暫存器R，再將x(n)送入x(n),R中內(nèi)容送x(n).進(jìn)行數(shù)據(jù)對調(diào)。(3)為了避免

16、再次考慮前面已調(diào)換過的數(shù)據(jù)，保證調(diào)換只進(jìn)行一次，否則又變回原狀。nn時(shí)，調(diào)換。共五十二頁三、按頻率抽取(chu q)的FFT算法可以將x(k)細(xì)分為越來越短的子序列，稱為按頻率(pnl)抽取的FFT算法。共五十二頁共五十二頁共五十二頁共五十二頁將N=8點(diǎn)分解成2個(gè)4點(diǎn)的DFT的信號流圖共五十二頁由于N/2是偶數(shù)(u sh)，故可對N/2的DFT仍分為偶數(shù)(u sh)部分和奇數(shù)部分，變換為4組N/4的DFT如此細(xì)分，直到每一組DFT為2點(diǎn)DFT運(yùn)算這種將X (k)分得越來越細(xì)的方法稱為按頻率抽去的FFT算法。共五十二頁四、IDFT的計(jì)算(j sun)共五十二頁四、IDFT的計(jì)算(j sun)共五十二頁已知X(k)計(jì)算(j sun)x(n)(IDFT)步驟共五十二頁內(nèi)容摘要2.3 快速傅立葉變換。直接計(jì)算DFT計(jì)算量。復(fù)數(shù)(fsh)運(yùn)算要比加法運(yùn)算復(fù)雜，需要的運(yùn)算時(shí)間長。一個(gè)復(fù)數(shù)(fsh)乘法