因子方差分析的試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1、試驗(yàn)設(shè)計(jì)一、試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念與正交表（一）試驗(yàn)設(shè)計(jì)產(chǎn)品質(zhì)量的好壞很大程度上是由設(shè)計(jì)所決定的，因此在新產(chǎn)品的開發(fā)設(shè)計(jì)階段就要十 分重視。當(dāng)然設(shè)計(jì)的好產(chǎn)品要成為真正高質(zhì)量的產(chǎn)品，在生產(chǎn)過程中還得有好的工藝參 數(shù)，為此經(jīng)常需要進(jìn)行試驗(yàn)，從影響產(chǎn)品兩的一些因素中去尋找好的原料搭配，好的工藝 參數(shù)搭配等，這便是多因素（因子）的試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題。多因素試驗(yàn)遇到的最大困難時(shí)試驗(yàn)次數(shù)太多，讓人無法忍受。如果有10個(gè)因子對(duì)產(chǎn)品 質(zhì)量有影響，每個(gè)因子取兩個(gè)不同水平進(jìn)行比較，那么就有210=1024個(gè)不同的試驗(yàn)條件需 要比較，假定每個(gè)因子取三個(gè)不同水平比較的話，那么就有310=59049個(gè)不同的試驗(yàn)條件， 要全部做試

2、驗(yàn)在實(shí)際中是不大可能的，因此我們只能從中選擇一部分進(jìn)行試驗(yàn)。選擇哪些 條件進(jìn)行試驗(yàn)十分重要，這便是試驗(yàn)的設(shè)計(jì)。一個(gè)好的設(shè)計(jì)，可以通過少量試驗(yàn)獲得較多 的信息，達(dá)到試驗(yàn)的目的。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法有許多，這里介紹的正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)便是其中的 一種常用方法，它利用“正交表”選擇試驗(yàn)條件，并利用正交表的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，找出 最好的或最滿意的試驗(yàn)條件。（二）正交表表2.3-1是一張典型的正交表L9（34），這里“L”是正交表的代號(hào)，“9”表示表的行數(shù)， 在試驗(yàn)中表示用這張表安排試驗(yàn)的話，要做9個(gè)不同條件的試驗(yàn)，“4”表示表的列數(shù)，在 試驗(yàn)中表示用這張表安排試驗(yàn)的話，最多可以安排4個(gè)因子，“3”表示表的主題只有

3、3個(gè) 不同的數(shù)字：1,2,3,在試驗(yàn)中它代表因子水平的編號(hào)，即用這張表安排試驗(yàn)時(shí)每個(gè)因子應(yīng) 取3個(gè)不同水平。表 2.3-1L9（34）列號(hào)試驗(yàn)號(hào)、123411111212223133342123（1）每列中每個(gè)數(shù)字重復(fù)次數(shù)相同。在表L9 （34）中，每列有3個(gè)不同數(shù)字：1,2,3, 每一個(gè)出現(xiàn)3次；（2）將任意兩列的同行數(shù)字堪稱一個(gè)數(shù)對(duì)，那么一切可能數(shù)對(duì)重復(fù)次數(shù)相同。在表L9 （34）中，任意兩列有 9 中可能的數(shù)對(duì)：（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2）， （2,3），（3,1），（3,2），（3,3），每一對(duì)出現(xiàn)一次。如果將試驗(yàn)條件堪稱試驗(yàn)空間（一起可能試驗(yàn)條件組成的集

4、合）中的一點(diǎn)，那么正交表 的這兩個(gè)特點(diǎn)使所選擇的試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)空間中的分布是均勻分散的，并將看到試驗(yàn)結(jié)果具有 綜合可比性，以為以后的統(tǒng)計(jì)分析帶來了便利。常用的正交表有兩大類。若計(jì)一般的正交表為L(zhǎng)n（qp），則：一類正交表的行數(shù)，列數(shù)p，水平數(shù)q間有如下關(guān)系：n=qk,k=2,3,4,，p= （n-1）/ （q-1）（2.3-1）如二水平正交表L4（23），L8（27），L16（215），L32（231）等，三水平正交表L9（34）， L如（313）等，四水平正交表L16（45）等，五水平正交表L25（56）等，這一類正交表不僅可 考察各因子對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，有的還可考察因子間的交互作用的影響。另

5、一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間不滿足（2.3-1）中的兩個(gè)關(guān)系，往往只能考 察各因子的影響，不能用這些正交表來考察因子間的交互作用。如二水平正交表l12（211）， L20 （219）等，三水平正交表L18 （37），L36 （313）等，混合水平正交表L18 （2X37），L36 （23X313）等。附錄2給出了常用的正交表。二、無交互作用的政教實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析下面通過一個(gè)例子來敘述利用正交表安排試驗(yàn)與進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的步驟?！纠?.3-1】磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組建的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩 大于0.0210N-mo某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條

6、件， 以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。（一）試驗(yàn)的設(shè)計(jì)在安排試驗(yàn)時(shí)，一般應(yīng)考慮如下幾步：（1）明確試驗(yàn)?zāi)康?，在本例中試?yàn)的目的是提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。（2）明確試驗(yàn)指標(biāo)：試驗(yàn)指標(biāo)用來判斷試驗(yàn)條件的好壞，在本例中直接用輸出力矩作 為考察指標(biāo)，該指標(biāo)越大，表明試驗(yàn)條件越好。（3）確定因子與水平：在實(shí)驗(yàn)前首先要分析影響指標(biāo)的因子是什么，每個(gè)因子在試驗(yàn) 中取哪些水平。在本例中，經(jīng)分析影響輸出力矩的可能影子有三個(gè)，它們是：A：充磁量B：定位角度 C：定子線圈匝數(shù)根據(jù)各因子的可能取值范圍，經(jīng)專業(yè)人員分析研究，決定在本試驗(yàn)中采用的水平如表2.3-2所示。表2.3-2因子水平表因子水平1水平2水平3A：充磁量（1

7、0-4特）90011001300B：定位角度（度）101112C：定子線圈匝數(shù)（匝）708090（4）選用合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)，列出試驗(yàn)計(jì)劃：首先根據(jù)在試驗(yàn)中所考察的 因子水平數(shù)選擇具有該水平數(shù)的一類正交表，再根據(jù)因子的個(gè)數(shù)具體選定一張表。在本例中 所考察的因子都是三水平的，因此選用三水平正交表，又由于現(xiàn)在只考察三個(gè)因子，所以選 用L9（34）即可。選定了正交表后吧因子放到正交表的列上去，成為表頭設(shè)計(jì)。在不考慮交互作用的場(chǎng)合， 可以把因子放在任意的列上，印個(gè)因子占一列。譬如在本例中將三個(gè)因子分別置于前三列， 將它寫成如下的表頭設(shè)計(jì)形式：表頭設(shè)計(jì)ABC列號(hào)1234有了表頭設(shè)計(jì)便可寫出試驗(yàn)計(jì)

8、劃，只要將置因子的列中的數(shù)字換成因子的相應(yīng)水平即 可，不放因子的列（稱為空白列）就不予考慮。本例的試驗(yàn)計(jì)劃可以這樣的可以這樣得到:將第一列的1,2,3分別換成充磁量的三個(gè)水平900,1100,1300,將第二列的1,2,3分別換成定 位角度的三個(gè)水平10,11,12,將第三列的1,2,3分別換成定子線圈匝數(shù)的三個(gè)水平70,80,90, 測(cè)得試驗(yàn)計(jì)劃（見表2.3-3）。表中第一號(hào)試驗(yàn)的條件是充磁量取900X10-4特，定位角度取 10度，定子線圈取70匝。其他各號(hào)試驗(yàn)條件類似得到。表2.3-3試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)號(hào)充磁量（10-4特）定位角度1(1)900(1)2(1)900(2)3(1)90

9、0(3)4(2)1100(1)5(2)1100(2)6(2)1100(3)7(3)1300(1)8(3)1300(2)9(3)1300(3)（度）定子線圈匝數(shù)（匝）試驗(yàn)結(jié)果10(1)7016011(2)8021512(3)9018010(2)8016811(3)9023612(1)7019010(3)9015711(1)7020512(2)80140由此可見，用正交表L（ （34）安排試驗(yàn)共有9個(gè)不同的試驗(yàn)條件，它們是一起設(shè)計(jì)好的，而不是等一個(gè)試驗(yàn)結(jié)束后再?zèng)Q定下一個(gè)試驗(yàn)條件，因此稱這樣的設(shè)計(jì)為“整體設(shè)計(jì)”。這里9個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)在三維空間中分布在一個(gè)長(zhǎng)方體上，見圖2.3-1，從圖中可見：從三個(gè)方向的任

10、一方向做三個(gè)等距的垂直于坐標(biāo)軸的平面，則在每一行上有一個(gè)點(diǎn)，每一列上也有 一個(gè)點(diǎn)。因此這9個(gè)點(diǎn)在三維空間的分布使均勻分散的。（二）進(jìn)行試驗(yàn)和記錄試驗(yàn)結(jié)果有了試驗(yàn)計(jì)劃后就可以按其進(jìn)行試驗(yàn)，并將試驗(yàn)結(jié)果記錄在對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)條件后面，對(duì)于 【例2.3-1】的問題，為計(jì)算和分析方便起見，表2.3-3中的y值是實(shí)測(cè)的104倍。為了避免實(shí)現(xiàn)某些考慮不周而產(chǎn)生系統(tǒng)誤差美因茨試驗(yàn)的次序最好要隨機(jī)化，這可以用 抽簽的方式?jīng)Q定，譬如用9張同樣的紙，分別寫上19,經(jīng)混亂后依次取出，如果依次摸到: 3,5,2,9,1,6,4,7,8，那么就先做第3號(hào)試驗(yàn)，再做第5號(hào)試驗(yàn)， ，最后做第8號(hào)試驗(yàn)。此外，在試驗(yàn)中還應(yīng)盡量避免因

11、操作人員的不同，儀器設(shè)備的不同等引起的系統(tǒng)誤差， 盡可能使試驗(yàn)中除所考察的因子外的其他因素固定，再不能避免的場(chǎng)合可以增加一個(gè)“區(qū)組 因子”。譬如試驗(yàn)由三個(gè)人進(jìn)行，則可以把“人”也看成一個(gè)因子，三個(gè)人便是三個(gè)水平， 將其放在正交表的空白列上，那么該列的1,2,3對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)分別由第一、第二、第三個(gè)人去 做，這樣就避免了因人員變動(dòng)所造成的系統(tǒng)誤差。（三）數(shù)據(jù)分析在【例2.3-1】中考慮了三個(gè)三水平因子，其所有不同的試驗(yàn)條件共有27個(gè)，現(xiàn)在僅做 了其中的9個(gè)。試驗(yàn)的目的是想找出那些因子對(duì)指標(biāo)是有明顯影響的，各個(gè)因子的什么樣的 水平組合可以使指標(biāo)達(dá)到最大。這可以利用正交表的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。仍然結(jié)合【例

12、2.3-1】 進(jìn)行敘述。表2.3-4【例2.3-1】直觀分析計(jì)算表表頭設(shè)計(jì)ABCy、列號(hào)試驗(yàn)號(hào)12342:22160215180168236190157205140T1T2T3555594502485656510555523573T1T 2T 3185198167.3161.7218.7170.0185.0174.3191.0R30.757.016.71.數(shù)據(jù)的直觀分析（1）尋找最好的試驗(yàn)條件首先我們來看第一列，該列中的1,2,3分別表示因子A的三個(gè)水平，按水平號(hào)將數(shù)據(jù)分 為三組：“1” 對(duì)應(yīng)y,y2，y3，“2” 對(duì)應(yīng)y4，y5y6，3” 對(duì)應(yīng)y7，y8，y9?！?”對(duì)應(yīng)的三個(gè)試驗(yàn)都采用因子

13、A的一水平進(jìn)行試驗(yàn)，但因子B的三個(gè)水平各參加了 一次試驗(yàn)，因子C的三個(gè)水平也各參加了一次試驗(yàn)。這三個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的和與平均值分別為:T = y + y + y = 160 + 215 +180 = 555,T = T /3 = 18512311同理可得 T2=594，T 2=198，T 3=502，T 3=167.3由以上可知，TT 2，T 3之間的差異只反映了 A的三個(gè)水平間的差異，因?yàn)檫@三組試驗(yàn)條件除了因子A的水平有差異外，因子B與C之間的條件是一致的，所以可以通過比 較這三個(gè)平均值的大小看出因子A的水平的好壞。從這三個(gè)數(shù)據(jù)可知因子A的二水平最好， 因?yàn)槠渲笜?biāo)均值最大。這種方法比較稱為“綜合比

14、較”。以上計(jì)算都列在表2.3-4的下方。同理可看到第二列與第三列，按其中的1,2,3分別將數(shù)據(jù)分成三組，計(jì)算各自的數(shù)據(jù)和 與平均，它們也都列在表2.3-4的下方。由此可知，因子B取二水平較好，因子C取三水平 較好。綜上可知使指標(biāo)達(dá)到最大的條件是A2B2C3，即充磁量取1100X104特，定位角度取11 度，定子線圈取90匝可以使輸出力矩達(dá)到最大。（2）各因子對(duì)指標(biāo)影響程度大小的分析這可從各個(gè)因子試驗(yàn)結(jié)果的極差來看，這里指的一個(gè)因子的極差是該因子不同水平對(duì)應(yīng) 的試驗(yàn)結(jié)果的均值的最大值與最小值的差，因?yàn)樵撝荡蟮脑?，則改變這一因子的水平會(huì)對(duì)指 標(biāo)造成較大的變化，所以該因子對(duì)指標(biāo)的影響大，反之，影響就

15、小。在本例中因子A的極差為：Ra=198-167.3=30.7對(duì)因子B、C可同樣計(jì)算，它們被置于表2.3-4的最下面一行。從三個(gè)因子的極差可知 因子B的影響最大，其次是因子A，而因子C的影響最小。（3）各因子不同水平對(duì)指標(biāo)的影響圖為直觀起見，可以將每個(gè)因子不同水平下試驗(yàn)結(jié)果的均值畫成一張圖，【例2.3-1】的 圖見圖2.3-2,從圖上可以明顯看出每一因子的最好水平A2, B2, C3,也可以看出各個(gè)因子 對(duì)指標(biāo)影響的大小，rbRaRc。圖2.3-2因子個(gè)水平對(duì)輸出力矩的影響2.數(shù)據(jù)的方差分析在數(shù)據(jù)的直觀分析中是通過極差的大小來評(píng)價(jià)各個(gè)因子對(duì)指標(biāo)影響的大小，那么極差要 小到什么程度可以認(rèn)為該因子

16、水平變化對(duì)指標(biāo)值已經(jīng)沒有顯著的差別了呢？為了回答這一 問題，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行方差分析。在方差分析中，我們假定每一試驗(yàn)是獨(dú)立進(jìn)行的，每一試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)指標(biāo)服從正態(tài) 分布，這些分布的均值與試驗(yàn)條件有關(guān)，可能不等，但它們的方差是相等的。（1）平方和分解為進(jìn)行方差分析，從試驗(yàn)結(jié)果出發(fā)。由于試驗(yàn)條件的不同與試驗(yàn)中存在誤差，因此各試 驗(yàn)結(jié)果不同，我們可以用總（離差）平方和sT去描述數(shù)據(jù)的總波動(dòng)：ST =8 （ y y ）2（2.3-2）i=1若計(jì)T = 8y，則 y =Tln。ii=1其中n是試驗(yàn)次數(shù)，y是試驗(yàn)結(jié)果的總平均，造成數(shù)據(jù)波動(dòng)的原因可能是因子所取的水平不同，也可能是試驗(yàn)誤差，當(dāng)然也可能兩者 都有

17、。為此要把由各個(gè)原因造成的波動(dòng)分別用數(shù)量來表示。先來看由于因子A的水平不同所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)度量。仍用T、T2、T3表示其三個(gè) 水平下的試驗(yàn)結(jié)果平均，用y表示試驗(yàn)結(jié)果的總平均。我們考慮TT2、T3與亍的（離 差）平方和，計(jì)為S,:A.SA =83（T - y）2（2.3-3）i=1這里乘以3是因?yàn)槊恳凰街貜?fù)進(jìn)行了三次試驗(yàn)。SA除了誤差外只反映因子A的水平 間的差異，即由于因子A的水平不同所引起的試驗(yàn)結(jié)果的波動(dòng)。因此稱其為因子A的（離 差）平方和。由于這里的TT2、T3是第一列的3個(gè)數(shù)字分別對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果的平均值， 因此（2.3-3）式也可以看成是第1列的平方和，計(jì)為近。因?yàn)橐蜃覣置于第1歹U，

18、故SA=S。同理可以計(jì)算其他各列的平方和。由于因子B、C分別置于第2、3列，故有SB=S2, SC=S3。第四列上沒有置因子，稱為空白列。S4僅僅反映了由誤差造成的數(shù)據(jù)波動(dòng)，稱它為誤差 平方和，計(jì)為S。，即：Se= S4用代數(shù)法可以證明，在L9 （34）中總平方和與各列平方和間有如下關(guān)系：STP+S2+S3+S4對(duì)于一般的正交表來講，只要其行數(shù)、列數(shù)p與水平數(shù)q滿足（2.3-1）式，則有：ST=S+S2+Sp（2.3-4）稱（2.3-4）為平方和的分解式。（2）F 比與方差分析類似，稱（離差）平方和與自由度的比為均方與誤差的均方進(jìn)行比較，當(dāng)F 因*因/順氣（f因，時(shí)，認(rèn)為在顯著性水平a上因子是

19、顯著的，其中MS因，f因分別 是因子的均方與自由度，MSe，fe分別是誤差的均方與自由度。為此需要給出因子與誤差的自由度。同方差分析中所述，一個(gè)因子的自由度是其水平數(shù) -1，在正交設(shè)計(jì)中因子是置于正交表的列上，為敘述方便，也成正交表一列的自由度為其 水平數(shù)一1，即q-1，因子的自由度與所在列的自由度應(yīng)該相等。而誤差平方和為正交表上 空白列的平方和相加而得，其自由度為正交表上空白列的自由度相加。總平方和的自由度是 試驗(yàn)次數(shù)一1。當(dāng)正交表中行數(shù)、列數(shù)p與水平數(shù)q滿足（2.3-1）式時(shí)，對(duì)平方和有關(guān)系 式（2.3-4），同樣，對(duì)自由度也有相應(yīng)關(guān)系式：fT=f1+f2+fp這里fT=n1，也成它為正交

20、表的自由度。（3）計(jì)算通常也用列表的方法計(jì)算各列平方和（見表2.3-5）。通過代數(shù)運(yùn)算，可以用下式計(jì)算一列平方和與總平方和：i=1(2.3-5)s =江-T n / q ni=1表2.3-5【例2.3-1】的方差分析計(jì)算表表頭設(shè)計(jì)ABCy列號(hào)試驗(yàn)號(hào)、123411111160212222153i333180421231685223123662312190731321578321320593321140Ti555485555536T=1651T594656523562y2 =310519T502510573553S1421.65686.9427.6116.2St=7652.2利用（2.3-4）式可

21、以驗(yàn)證平方和計(jì)算是否正確。對(duì)于F比的計(jì)算通常列成一張方差分析表（見表2.3-6）。表2.3-6【例2.3-1】的方差分析表來源平方和自由度均方F比因子A1421.62710.812.23因子B5686.922843.448.94因子C427.62213.83.68誤差e116.2258.1總計(jì)7652.28F0.90（2,2）=9F0.95（2,2）=19.。由于FA大于F0.90（2,2）=9.0，F(xiàn)B大于F0.95（2,2）=19.0，因此因子A與B分別在顯著性水平0.10與0.05上是顯著的，而因子C不顯著。（4）最佳條件的選擇對(duì)顯著因子應(yīng)該選擇其最好的水平，因?yàn)槠渌阶兓瘯?huì)造成指標(biāo)的顯著不同，而對(duì)不顯 著因子可以任意選擇水平，實(shí)際中?？筛鶕?jù)降低成本、操作方便等來考慮其水平的選擇。在【例2.3-1】中因子A與B是顯著的，所以要選擇其最好的水平，按前所述，應(yīng)取A2B2； 對(duì)因子c可以選擇任意水平，譬如為了節(jié)約材料可選q。將此最佳條件計(jì)為a2b2或a2b2c，