高考一輪復(fù)習(xí)通用版二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用 學(xué)案

1、第七節(jié)二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用最新考綱1了解條件概率，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念2理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單問題3利用實(shí)際問題的直方圖，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義4能解決一些簡單的實(shí)際問題考向預(yù)測考情分析：條件概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、獨(dú)立重復(fù)事件、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布仍是高考考查的熱點(diǎn)，三種題型均有可能出現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)：通過二項(xiàng)分布及正態(tài)分布的應(yīng)用考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)積 累 必備知識基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端一、必記4個知識點(diǎn)1條件概率(1)條件概率的定義設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A)_為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的

2、概率(2)條件概率的性質(zhì)條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即0P(B|A)1；如果B，C是兩個互斥事件，則P(BCA_P(C|A)2相互獨(dú)立事件的定義及性質(zhì)(1)定義：設(shè)A，B是兩個事件，若P(AB)_，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B，A與B，A與B也都相互獨(dú)立3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若用Ai(i1，2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)_(2)二項(xiàng)分布的定義在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk)_，k0，1，2，n.

3、此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)，(x)12e-( x-)22a2 ，x(，)，其中實(shí)數(shù)和(0)為參數(shù)，稱，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)ab，xdx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2)(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)曲線位于x軸的上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達(dá)到峰值12；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿著x軸平移；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦

4、高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散二、必明2個常用結(jié)論1兩個概率公式(1)在事件B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率為P(A|B)PABPB，注意其與P(B|A)的不同(2)若事件A1，A2，An相互獨(dú)立，則P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2對于正態(tài)分布N(，2)，由x是正態(tài)曲線的對稱軸知：(1)對任意的a，有P(Xa)P(Xa)；(2)P(Xx0)1P(Xx0)；(3)P(aXb)P(Xb)P(Xa)三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正誤1判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)P(B)()(2)P(B|A)

5、表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(3)相互獨(dú)立事件就是互斥事件()(4)二項(xiàng)分布是一個概率分布列，是一個用公式P(Xk)Cnkpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布()(二)教材改編2選修23P54練習(xí)T2改編先后擲一枚質(zhì)地均勻骰子(骰子的六個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點(diǎn))兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)，且xy”，則概率P(B|A)()A13B14C15D163

6、選修23P75習(xí)題B組T2改編已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X2c1)P(Xc3)，則c等于()A53 B35 C34 D43(三)易錯易混4(分不清獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))甲、乙兩人各射擊1次，擊中目標(biāo)的概率分別是23和12，假設(shè)兩人擊中目標(biāo)與否相互之間沒有影響，每人各次擊中目標(biāo)與否相互之間也沒有影響，若兩人各射擊4次，則甲恰好有2次擊中目標(biāo)且乙恰好有3次擊中目標(biāo)的概率為_5(不清楚正態(tài)曲線的對稱性)某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布N(110，102)已知P(100X110)0.34，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的有_人(四)走進(jìn)高考62021山東卷有6個相同的

7、球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A甲與丙相互獨(dú)立 B甲與丁相互獨(dú)立C乙與丙相互獨(dú)立 D丙與丁相互獨(dú)立提 升 關(guān)鍵能力考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一條件概率基礎(chǔ)性12022安徽階段測試將三顆骰子各擲一次，記事件A“三個點(diǎn)數(shù)都不同”，B“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)，P(B|A)分別是()A6091，12 B12，6091C518，6091 D91216，1222022湖南長

8、沙檢測已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個這種元件使用到1年時還未損壞，則這個元件使用壽命超過2年的概率為()A0.75 B0.6 C0.52 D0.4832022廣西柳州模擬袋中裝有形狀和大小完全相同的4個黑球，3個白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸取兩球，在第一次摸到了黑球的條件下，第二次摸到白球的概率是()A47 B27 C12 D134從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)()A18 B14 C25 D12反思感悟條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(

9、B|A)PABPA，求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)nABnA縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件的概率綜合性 例1甲、乙、丙3位大學(xué)生同時應(yīng)聘某個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為25，34，13，且各自能否被選中互不影響(1)求3人同時被選中的概率；(2)求3人中至少有1人被選中的概率聽課筆記：一題多變1(變問題)若例1中條件不變，求3人均未被選中的概率2(變條件，變問題)若例1中，條件“3人能被選中

10、的概率分別為25，34，13”變?yōu)椤凹?、乙兩人只有一人被選中的概率為1120，兩人都被選中的概率為310，丙被選中的概率為13”，求恰好有2人被選中的概率反思感悟求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面計(jì)算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計(jì)算(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計(jì)算更簡單一樣【對點(diǎn)訓(xùn)練】2022沈陽市教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測在2019年女排世

11、界杯中，中國女子排球隊(duì)以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠，為祖國母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個隊(duì)只有贏得至少25分，并超過對方2分時，才勝1局；在決勝局(第5局)采用15分制，每個隊(duì)只有贏得至少15分，并超過對方2分為勝在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對方得1分現(xiàn)有甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)行排球比賽：(1)若前3局比賽中甲已經(jīng)贏2局，乙贏1局，接下來兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為12，求甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率(2)若前4局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏2局，在決勝局(第5局)中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分，且甲已

12、獲得下一球的發(fā)球權(quán)若甲發(fā)球時甲贏1分的概率為25，乙發(fā)球時甲贏1分的概率為35，得分者獲得下一球的發(fā)球權(quán)設(shè)兩隊(duì)打了x(x4)個球后甲贏得整場比賽，求x的取值及相應(yīng)的概率P(x)考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布綜合性、應(yīng)用性 例2某校團(tuán)委組織“航天知識競賽”活動，每位參賽者第一關(guān)需回答三個問題，第一個問題回答正確得10分，回答錯誤得0分；第二個問題回答正確得10分，回答錯誤得10分；第三個問題回答正確得10分，回答錯誤得10分規(guī)定，每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于20分就算闖關(guān)成功若每位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是23，回答第三個問題正確的概率都是12，且各題回答正確與否相互之間沒有影響

13、(1)求參賽者甲僅回答正確兩個問題的概率；(2)求參賽者甲回答這三個問題的總得分的分布列、期望和闖關(guān)成功的概率聽課筆記：反思感悟1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的2二項(xiàng)分布滿足的條件：每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)【對點(diǎn)訓(xùn)練】2022青銅峽市高級中學(xué)高三考試設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位

14、同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件M，求事件M發(fā)生的概率考點(diǎn)四正態(tài)分布及其應(yīng)用應(yīng)用性、創(chuàng)新性 例3某高中招聘教師，首先要對應(yīng)聘者的工作經(jīng)歷進(jìn)行評分，評分達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答3道題，第一題為教育心理學(xué)知識，答對得2分，答錯得0分，后兩題為學(xué)科專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯得0分(1)若一共有1000人應(yīng)聘，他們的工作經(jīng)歷評分X服從正態(tài)分布N(63，132

15、)，76分及以上達(dá)標(biāo)，求進(jìn)面試環(huán)節(jié)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))；(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為34，后兩題答對的概率均為45，每道題正確與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的分布列及數(shù)學(xué)期望附：若隨機(jī)變量XN(，2)，則P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.聽課筆記：反思感悟正態(tài)分布下2類常見的概率計(jì)算1利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，曲線與x軸之間的面積為1.2利用3原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個【

16、對點(diǎn)訓(xùn)練】數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個組成部分，數(shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn)為全面推動數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展，某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競賽活動已知該競賽共有60名學(xué)生參加，他們成績的頻率分布直方圖如下(1)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績定為不合格，60分以上(含60分)的成績定為合格為科學(xué)評估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平?jīng)Q定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會記為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績X服從正態(tài)分布N(，2)，其中可用樣本平均數(shù)近似代替，2可用樣本方差近似代替(用一

17、組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表)，若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵，本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分，試估計(jì)此次競賽受到獎勵的人數(shù)(結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位)解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：P(X)0.6827，P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.第七節(jié)二項(xiàng)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用積累必備知識一、1(1)PABPA(2)P(B|A)2(1)P(A)P(B)3(1)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)2Cnkpk(1p)nk三、1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：因?yàn)镻(A)2333612，P(AB)323616，所以P(B|A)161213.答案：A3解析：因?yàn)閄N(3，1)，所以

18、正態(tài)曲線關(guān)于x3對稱，且P(x2c1)P(Xc3)，所以2c1c332，即c43.答案：D4解析：甲恰好有2次擊中目標(biāo)的概率為C42(23)2(123)2827，乙恰好有3次擊中目標(biāo)的概率為C43(12)3(112)14，故甲恰好有2次擊中目標(biāo)且乙恰好有3次擊中目標(biāo)的概率為82714227.答案：2275解析：因?yàn)榭荚嚨某煽僗服從正態(tài)分布N(110，102)，所以考試的成績X關(guān)于X110對稱，因?yàn)镻(100X100)0.34，所以P(X120)P(X100)12(10.342)0.16，所以該班數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為0.16508.答案：86解析：P(甲)16，P(乙)16，P(丙)5

19、36，P(丁)63616， P(甲丙)0P(甲)P(丙)，P(甲丁)136P(甲)P(丁)，P(乙丙)136P(乙)P(丙)，P(丙丁)0P(丁)P(丙)答案：B提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一1解析：因?yàn)椤爸辽俪霈F(xiàn)一個6點(diǎn)”有66655591種情況，“至少出現(xiàn)一個6點(diǎn)，且三個點(diǎn)數(shù)都不相同”共有C315460種情況，所以P(A|B)6091.答案：A2解析：設(shè)一個這種元件使用到1年時還未損壞為事件A，使用到2年時還未損壞為事件B，則由題意知P(AB)0.6，P(A)0.8，則這個元件使用壽命超過2年的概率為P(B|A)PABPA0.60.80.75.答案：A3解析：在這兩次摸球過程中，設(shè)A“第一次摸到黑球”

20、，B“第二次摸到白球”則n(A)C41 C6124，n(AB)C41 C3112，所以P(B|A)nABnA122412.答案：C4解析：P(A)C32+C22 C52 41025，P(AB)C22 C52 110，由條件概率公式，得P(B|A)PABPA1102514.答案：B考點(diǎn)二例1解析：記甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，則P(A)25，P(B)34，P(C)13.(1)3人同時被選中的概率為P1P(ABC)P(A)P(B)P(C)253413110.(2)3人中有2人被選中的概率為P2P(ABCABCABC)2534(113)25(134)13(125)34132360.3人

21、中只有1人被選中的概率為P3P(AB CABCA BC)25(134)(113)(125)34(113)(125)(134)13512.故3人中至少有1人被選中的概率為110+2360+512910.一題多變1解析：方法一3人均未被選中，PP(A B C)(125)(134)(113)110.方法二由本例(2)知，3人至少有1人被選中的概率為910，所以P1910110.2解析：設(shè)甲被選中的概率為P(A)，乙被選中的概率為P(B)，則P(A)(1P(B)P(B)(1P(A)1120，P(A)P(B)310，由知P(A)25，P(B)34，或PA=34，PB=25故恰有2人被選中的概率PP(AB

22、C)P(ABC)P(ABC)2360.對點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)依題意，若甲隊(duì)贏得整場比賽，則甲隊(duì)將以31或32的比分贏得比賽若甲隊(duì)以31的比分贏得比賽，則第4局甲贏，若甲隊(duì)以32的比分贏得比賽，則第4局乙贏，第5局甲贏故甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率為12+121234.解析：(2)依題意，每次發(fā)球，發(fā)球隊(duì)得分的概率為25，接球隊(duì)得分的概率為35.甲接下來可以以1614或1715贏得比賽，故x的取值為2或4.若甲、乙比分為1614，則x的取值為2，其贏球順序?yàn)椤凹准住?，對?yīng)發(fā)球順序?yàn)椤凹准住保琍(x2)2525425.若甲、乙比分為1715，則x的取值為4，其贏球順序?yàn)椤凹滓壹准住被颉耙壹准准住?，對?yīng)

23、發(fā)球順序?yàn)椤凹准滓壹住焙汀凹滓壹准住保琍(x4)25353525+3535252572625.考點(diǎn)三例2解析：(1)設(shè)事件Ai為參賽者甲回答正確第i個問題(i1，2，3)，所以PP(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)232312+231312+13231249；(2)由題意，所有可能取值為20，10，0，10，20，30，P(20) P(A1A2A3)131312118，P(10)P(A1A2A3)23131219，P(0)P(A1A2A3)P(A1A2A3)131312+13231216，P(10)P(A1A2A3)P(A1A2A3)232312+23131213，P(20)

24、P(A1A2A3)13231219，P(30)P(A1A2A3)23231229，所以的分布列為：20100102030P1181916131929E()(20)118(10)1901610132019302910由分布列可知參賽者甲闖關(guān)成功的概率為P(20)P(30)13.對點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的五天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率為23，所以XB(5，23)，從而P(Xk)C5k(23)k(13)5k，k0，1，2，3，所以，隨機(jī)變量X的分布列為：P012345X12431024340243802438024332243所以E(X)523103；(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則 YB(5，23)，且事件MX3，Y0X4，Y1X5，Y2，由題意知，事件X3，Y0，X4，Y1，X5，Y2之間互斥，且X與Y相互獨(dú)立，由(1)可得P(M)802431243+8024310243+322434