多變數(shù)函數(shù)的極值課件

1、微積分二版林光賢陳天進(jìn)劉明郎著Chapter 7 多變數(shù)微積分Chapter 7 多變數(shù)微積分課程內(nèi)容多變數(shù)函數(shù)偏微分多變數(shù)函數(shù)的極值受制型極值與拉氏乘子法最小平方法全微分二重積分學(xué)習(xí)目標(biāo)如何在三維坐標(biāo)上描繪出二個變數(shù)函數(shù)的圖形如何求偏導(dǎo)數(shù)與多變數(shù)函數(shù)的極值如何使用拉氏乘子法求受制型的極值 如何使用最小平方法建立數(shù)學(xué)模型瞭解全微分的意義及其應(yīng)用 如何求二重積分多變數(shù)函數(shù)本章之前所討論的函數(shù)都只有一個自變數(shù)，其格式為 y = f(x)。許多函數(shù)可能含有若干個自變數(shù)，例如長途電話費(fèi)就與三個變數(shù)有關(guān)：距離、通話時段與通話時間。首先介紹兩個變數(shù)的函數(shù)，函數(shù) f 與二個變數(shù) x，y 有關(guān)，則寫成 z =

2、 f(x, y)，f(x, y) 的定義域?yàn)楹瘮?shù)有定義的所有有序?qū)?(x, y) 的集合。值域則為所有函數(shù)值的集合。7-1 多變數(shù)函數(shù)求定義域與函數(shù)值設(shè) ，求(a)定義域(b) f(9, -2) 。設(shè) f(x, y) = exy - lny ，求(a)定義域(b) f(2, 1) 。7-1 多變數(shù)函數(shù)成本函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)求成本函數(shù)某公司生產(chǎn)腳踏車與直排輪鞋，其每週的固定成本為120000元。其變動成本分別為腳踏車2200元，直排輪鞋700元。(a)求其成本函數(shù)。(b)求生產(chǎn)200臺腳踏車與300雙直排輪鞋的總成本。Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)家用來描述資本財與勞動力兩者間的關(guān)係稱為Co

3、bb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)，其形式如下： 其中 K 表示資本財?shù)膯挝?，L 表示勞動力的單位。通常資本財則包括建築物、設(shè)備與原物料，勞動力都以工時為單位。若 P(K, L)=100K1/4L3/4，求 P(150, 220) 。7-1 多變數(shù)函數(shù)三個或更多變數(shù)的函數(shù)求體積與面積一個上面有開口的箱子，中間有隔板均分成二部分如下圖所示。求箱子的體積 v 與箱子所需的紙板面積 M。解: v = xyz M = yz + 2xy + 3xz7-1 多變數(shù)函數(shù)描繪函數(shù)圖形格式為 z = f(x, y) 的函數(shù)，欲描繪 z = f(x, y) 的圖形需要使用三維空間才能描出點(diǎn) (x, y, z)。例如點(diǎn)

4、(2, 3, 4) 與 (-2, -2, 3) 描繪於右圖。通常函數(shù) z = f(x, y) 的圖形為三度空間的曲面 (surface) 。繪製含有二變數(shù)的函數(shù)圖形需應(yīng)用到三度空間的圖，是一件不容易的事。7-1 多變數(shù)函數(shù)描繪函數(shù)圖形繪出 f(x, y) = x2 + y2 的圖形。解:先令 z = x2 + y2 。然後選擇若干個 x 與 y 的值。當(dāng) x = y = 0 ，得 z = 0 + 0 = 0 ，表示點(diǎn) (0, 0, 0) 。當(dāng) x = 1 與 y = 1 ，得 z = 12 + 12 = 2 ，表示點(diǎn) (1, 1, 2) 。當(dāng) x = 0 與 y = -2 ，得 z = 0 +

5、 (-2)2 = 4 ，表示點(diǎn) (0, -2, 4) 。其完整的圖形如右圖。7-1 多變數(shù)函數(shù)相對極點(diǎn)定義7-1: 曲面 z = f(x, y) 上的點(diǎn) (a, b, c) ，若對 (a, b) 周圍某個區(qū)域內(nèi)的所有 (x, y) 均有 f(a, b) f(x, y)，稱為相對極大點(diǎn)。定義7-2: 曲面 z = f(x, y) 上的點(diǎn) (a, b, c)，若對 (a, b)周圍某個區(qū)域內(nèi)的所有 (x, y) 均有f(a, b) f(x, y)，稱為相對極小點(diǎn)。7-1 多變數(shù)函數(shù) 鞍 點(diǎn)我們有時也會以相對極點(diǎn) (relative extreme point) 來統(tǒng)稱相對極大點(diǎn)與相對極小點(diǎn)這兩種極

6、點(diǎn)。曲面上可能會有若干個相對極點(diǎn)，甚至沒有極點(diǎn)。另外下圖的點(diǎn)稱為鞍點(diǎn) (saddle point)，從曲面的一個曲線來看鞍點(diǎn)是最高點(diǎn)，從另一條曲線來看這個最高點(diǎn)卻又變成最低點(diǎn)，所以鞍點(diǎn)不是相對極點(diǎn)。7-1 多變數(shù)函數(shù)隨堂演練7-11. 繪出 f(x, y) = 3x + y + 2z = 6的圖形。2. 存款 10,000 元於銀行帳戶內(nèi)，若連續(xù)型複型複利為 r% 且存款 t 年，將帳戶的累積總存款記為 r 與 t 的函數(shù)為 A(r, t)，求 A(5, 10)。3. 求下列函數(shù)的定義域：4. 將下圖圓柱體的表面積表示成 r 與 h 的函數(shù) S(r, h)，並求 S(3, 10)。7-1 多變

7、數(shù)函數(shù)偏微分對於單一變數(shù)的函數(shù) f(x) ，其導(dǎo)數(shù) f (x) 是用來度量當(dāng)獨(dú)立變數(shù) x 產(chǎn)生變化時，函數(shù)值 f(x) 的變化率。對於超過一個變數(shù)的函數(shù) y = f(x1, x2, , xn) 我們當(dāng)然也可以問當(dāng)獨(dú)立變數(shù) xi 改變時 f(x1, x2, , xn) 的變化為何？多變數(shù)函數(shù)有多個導(dǎo)數(shù)，每個單一變數(shù)對應(yīng)一個導(dǎo)數(shù)，這個導(dǎo)數(shù)我們稱為偏導(dǎo)數(shù) (partial derivative)，其過程稱為偏微分 (partial differentiation)。偏導(dǎo)數(shù)是用來度量當(dāng)其中一個變數(shù)變動而其餘固定不變時，多變數(shù)函數(shù)值的變化率。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)定義7-3: 1. 函數(shù) f(x, y)

8、對 x 的偏導(dǎo)數(shù)為 在計算 時，y 維持固定不變。 2. 函數(shù) f(x, y) 對 y 的偏導(dǎo)數(shù)為 在計算 時，x 維持固定不變。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)常以寫在函數(shù)下的足標(biāo)來表示，足標(biāo)為 x 表示對 x 的偏微分，足標(biāo)為 y 表示對 y 的偏微分。即若 f(x, y) = 5x3 - 3x2y4 - 6y3，求 fx(x, y)，fy(x, y) 。若 f = exln y ，求 fx，fy。若 f = (xy3 + 2)3，求 fx。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)若 ，求 gy。若 f(x, y) = ln(x3+y3)，求 fy(x, y)。若 ，求 fx(2, 1) 。求 。偏

9、導(dǎo)數(shù)的意義偏導(dǎo)數(shù)只對其中的一個變數(shù)微分，其餘的維持不變，因此偏導(dǎo)數(shù)可解釋為一次只針對一個變數(shù)的瞬時變化率。fx(x, y) = (當(dāng) y 固定時，函數(shù) f 對 x 的瞬時變化率) fy(x, y) = (當(dāng) x 固定時，函數(shù) f 對 y 的瞬時變化率)7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)的意義設(shè)Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)為 P(K, L) = 20K0.3L0.7。求 PK(150, 120) 及 PL(150, 120) ，並解釋其意義。解: PK = 6K-0.7L0.7, PK(150, 120)= 6(150)-0.7(120)0.7 5.13 意義: PK = 5.13 表示當(dāng)資本財額外增加一

10、單位時，產(chǎn)能約增加 5.13 單位。這稱為資本財?shù)倪呺H生產(chǎn)量。 解: PL=14K0.3L-0.3, PL(150, 120)=14(150)0.3(120)-0.3 14.96 意義: PL = 14.96 表示當(dāng)勞動力額外增加一單位時，產(chǎn)能約增加 14.96 單位。這稱為勞動力的邊際生產(chǎn)量。 這兩個值表示在 K = 150 與 L = 120 單位時，欲增加生產(chǎn)量增加勞動力一單位的效果約等於增加一單位資本財?shù)?3 倍。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)的意義就如同導(dǎo)數(shù)一樣，偏導(dǎo)數(shù)也可以解釋成邊際函數(shù)。令 C(x, y) 為生產(chǎn) x 單位產(chǎn)品 A 與 y 單位產(chǎn)品 B 的成本函數(shù)，則 Cx(x, y) =

11、 (產(chǎn)品 A 的邊際成本函數(shù)，當(dāng)產(chǎn)品 B 的產(chǎn)量維持不變時) Cy(x, y) = (產(chǎn)品 B 的邊際成本函數(shù)，當(dāng)產(chǎn)品 A 的產(chǎn)量維持不變時) 同理，對收入與利潤函數(shù)上述之定義同樣適用。偏微分只定義一個變數(shù)的邊際函數(shù)，這時其他的變數(shù)均維持不變。7-2 偏微分求邊際利潤函數(shù)某公司每日由生產(chǎn) x 臺電腦與 y 臺鍵盤所得的利潤為 P(x, y) = 6x3/2 + 4y3/2 + xy。求其邊際利潤函數(shù)，計算 Py(225, 400) 並解釋其意義。解: Px(x, y) = 9x1/2 + y, Py(x, y) = 6y1/2 + x Py(225, 400) = 6(400)1/2 + 22

12、5 = 345 意義: 當(dāng)產(chǎn)量為 225 臺電腦與 400 臺鍵盤時，這時鍵盤的產(chǎn)量由 y = 400 增為 y = 401 時，利潤約增加345元。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)就是斜率函數(shù) f(x, y) 在三度空間上表示成曲面，偏導(dǎo)數(shù)則是曲面上不同方向的斜率： 表示曲面上 P 點(diǎn)在 x 方向的斜率， 表示曲面上 P 點(diǎn)在 y 方向的斜率，如圖所示。在右圖中，想像由點(diǎn) P 往 y 軸的方向前進(jìn)這時是上坡還是下坡呢？這時是上坡的方向，因?yàn)?。由點(diǎn) P 沿 x 軸的方向前進(jìn)則是下坡，因?yàn)?。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)就是斜率某公司每週生產(chǎn)電視與收音機(jī)的數(shù)量分別表示為 x 與 y 。其利潤函數(shù) P(x, y)

13、= 40 x - x2 + 80y - y2 ，求此函數(shù)圖形 z = P(x, y) 在點(diǎn) (20, 40, 2000) 往 x 軸與 y 軸方向的斜率。解: Q = (20, 40, 2000) 為圖形 z = P(x, y) 的最高點(diǎn)，這時正是二個方向斜率均為 0 之時。7-2 偏微分偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)可用來描述二種商品彼此為互相競逐型還是互補(bǔ)型。二種商品稱為彼此競逐型，當(dāng)一種商品的需求增加時伴隨的結(jié)果是另一種商品需求的減少。咖啡與茶葉就是最古典的競逐型商品的範(fàn)例，還有如國產(chǎn)汽車與進(jìn)口汽車的競爭、自用車通勤與大眾運(yùn)輸工具通勤、白米與麵粉的消費(fèi)?；パa(bǔ)型商品表示二種商品間有同向的關(guān)係，

14、當(dāng)一種商品的需求增加時，另一種商品的需求也跟著增加。例如高爾夫球桿與高爾夫球鞋、刮鬍刀與刮鬍泡等。7-2 偏微分商品互為競逐型與互補(bǔ)型假設(shè)有二種商品 A 與 B。x 與 y 分別表示商品 A 與 B 每單位的價格。令函數(shù) f(x, y) 表示商品 A 的需求函數(shù)，函數(shù) g(x, y) 表示商品 B 的需求函數(shù)。此函數(shù)恆有下列關(guān)係： :因?yàn)樯唐?A 的價格 x 上升，則商品 A 的需求會下降。兩商品在價格 (x0, y0) 時為競逐型 :表示當(dāng)商品 B 的價格上升時，商品 A 的需求增加；知 B 的價格上升時，商品 B 的需求減少；商品 B 的需求減少導(dǎo)致商品 A 的需求增加。兩商品在價格 (x

15、0, y0) 時為互補(bǔ)型 :表示某商品價格的上升必使另一商品的需求減少，就是二者需求均減少。7-2 偏微分競逐型與互補(bǔ)型兩種商品 A 與 B，當(dāng)其價格分別為 x 與 y 時的需求函數(shù)為 f(x, y) = 300 - 6x2 + 10y2 (A的需求函數(shù)) g(x, y) = 600 + 6x - 2y2 (B的需求函數(shù)) 試問這兩種商品為競逐型還是互補(bǔ)型？兩種商品 A 與 B，當(dāng)其價格分別為 x 與 y 時的需求函數(shù)為 (A的需求函數(shù)) (B的需求函數(shù)) 試問這兩種商品為競逐型還是互補(bǔ)型？7-2 偏微分高階偏導(dǎo)數(shù)重複執(zhí)行偏微分於多變數(shù)函數(shù)上將產(chǎn)生高階偏導(dǎo)數(shù) (higher order par

16、tial derivative)。因這時會遇到混合的偏微分，要注意其符號的用法，就是先針對某個特定變數(shù)做偏微分，然後再對其他變數(shù)執(zhí)行偏微分。我們將二階偏導(dǎo)數(shù)的符號及意義表列如下：7-2 偏微分求二階偏導(dǎo)數(shù)求函數(shù) f(x, y) = x2y3 + e2x lny 的四個二階偏導(dǎo)數(shù)。解: 首先求 fx = 2xy3 + 2e2x lny 然後再求 fxx 與 fxy : 再回到 f = x2y3 + e2x lny，我們求 fy : 然後再計算 fyx 與 fyy : fxy = fyx，這表示調(diào)換偏微分的先後次序並無不同。7-2 偏微分隨堂演練7-21. 求 fx(x, y) 與 fy(x, y

17、)。2. 驗(yàn)證 fxy = fyx：3. 存款 10,000元 於銀行帳戶內(nèi)，存款 t 年以年息 r 的連續(xù)型複利計息，則其帳戶總額為 A(r, t) = 10000ert，求 ，並解釋其意義。4. 求函數(shù)的三個一階偏導(dǎo)數(shù)：5. 根據(jù)所給的一組需求函判別這兩種商品為競爭型或互補(bǔ)型：7-2 偏微分多變數(shù)函數(shù)的極值函數(shù) f(x, y) 的圖形可看成曲面，這個曲面就像地表的地形有相對極大點(diǎn)(山峰)與相對極小點(diǎn)(谷底)以及鞍點(diǎn)。以函數(shù)的觀點(diǎn)而言，函數(shù)在這些點(diǎn)產(chǎn)生相對極大值與相對極小值或者兩者皆不是。本節(jié)將討論如何求出臨界點(diǎn)及使用二階導(dǎo)數(shù)判別法來判別函數(shù)的相對極值。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值山丘的最高點(diǎn)的

18、斜率(或稱坡度)，不論從那個方向看都是 0。這時可以將一枝旗桿水平放在最高點(diǎn)上(如圖)。偏導(dǎo)數(shù) fx 與 fy 分別表示 x 與 y 方向的斜率，所以在相對極大點(diǎn)與極小點(diǎn)上這二個偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該均為0。我們就稱此點(diǎn)為臨界點(diǎn) (critical point)。臨界點(diǎn)定義7-4: 若 fx(a, b) = 0 且 fy(a, b) = 0 ，則稱點(diǎn) (a, b) 為函數(shù) f(x, y) 的臨界點(diǎn)。求臨界點(diǎn)求函數(shù) f(x, y) = 6x + 3y - x2 - y2 xy 的臨界點(diǎn)。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值 D 判別法 D 判別法: 若點(diǎn) (a, b) 為函數(shù) f(x, y) 的臨界點(diǎn)，令 D D =

19、fxx(a, b)fyy(a, b) - fxy(a, b)21. 若 D 0 且 fxx (a, b) 0 且 fxx (a, b) 0，則 f(a, b) 為函數(shù) f(x, y) 的相對極小值。3. 若 D 0 並不足以保證該臨界點(diǎn)為相對極大值或相對極小值。需再檢查二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)(即檢查 fxx 或 fyy 均可)，才能判定為相對極大或相對極小。D 0表示臨界點(diǎn)是鞍點(diǎn)，不必考慮 fxx 的正負(fù)。D = 0 表示 D 判別法無法判別，這個臨界點(diǎn)可能是相對極大、相對極小或鞍點(diǎn)。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值利用 D 判別法求極值利用 D 判別法求極值求函數(shù) f(x, y) = 6x + 3y - x

20、2 - y2 xy 的極值。求相對極值求函數(shù) 的相對極值。求最大利潤某汽車廠生產(chǎn)小型與中型轎車，小型車的價格函數(shù)為 p(x) = 60 - 8x，x 7；中型車的價格函數(shù)為 q(y) = 80 - 4y，y 20 ，價格以萬元為單位，生產(chǎn)量 x 與 y 則表示每小時的產(chǎn)量。若該車廠的生產(chǎn)成本為 C(x, y) = 52x + 64y - 8xy + 20萬元。求車廠追求最大利潤的最佳生產(chǎn)量與售價為何？並求其最大利潤。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值求相對極值求最大利潤與最佳售價某超商有白色蛋和棕色蛋可供顧客選購，這兩種蛋互為競逐型商品，其銷售量依售價互相消長。假設(shè)該超商已知當(dāng)白色蛋每斤 x 元，棕色蛋

21、每斤 y 元時，白色蛋每日的銷售量為 W(x, y) = 350 - 15x + 6y (斤) 。棕色蛋每日的銷售量為 B(x, y) = 250 - 10y + 4x (斤) 。求超商每日售蛋的最大收入，最佳售價 x 與 y 分別為何？求相對極值求函數(shù) f(x, y) = x2 + y3 - 8x - 27y 的相對極值。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值獨(dú)佔(zhàn)事業(yè)與偶佔(zhàn)事業(yè)最後我們介紹法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Antoine Cournot 於1938年比較獨(dú)佔(zhàn)事業(yè) (monopoly，市場只有一家供應(yīng)商)與偶佔(zhàn)事業(yè) (duopoly，市場有二家競爭的供應(yīng)商)的差異。這個比較方法，應(yīng)用多變數(shù)函數(shù)求極大值的技巧，得到

22、相當(dāng)有趣的結(jié)果。獨(dú)佔(zhàn)事業(yè)：假設(shè)劉先生擁有一口良質(zhì)的礦泉，使用自有的泉源生產(chǎn)礦泉水且為小鎮(zhèn)的唯一供應(yīng)商，因?yàn)樯a(chǎn)成本極低，此處不予計算。如果他的價格函數(shù)為 p = 60 - 0.01x，x6000，其中 p 表示每日可以賣出 x 公升的價格。故劉先生的收入函數(shù)為 R(x) = (60 - 0.01x)x = 60 x - 0.01x2。要使收入最大，求 R(x) 並令其等於0： 因此劉先生每日售出3000公升，售價則為 p = 60 - 0.01( 3000) = 30 (元/公升) 。最大收入為(因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)為負(fù)) R(3000) = 603000 - 0.01(3000)2 = 90000。

23、7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值偶佔(zhàn)事業(yè)偶佔(zhàn)事業(yè)：劉先生的鄰居陳先生發(fā)現(xiàn)賣水還頗有賺頭，也開了一口泉井生產(chǎn)起礦泉水和劉先生競爭。這時劉先生與陳先生需爭食同一塊市場。設(shè)陳先生每日售出 y 公升。這時兩人的價格函數(shù)為 p = 60 - 0.01(x + y) = 60 - 0.01x - 0.01y這兩人的收入仍是價格乘以數(shù)量：(劉的收入) = px = (60 - 0.01x - 0.01y)x = 60 x - 0.01x2 - 0.01xy(陳的收入) = py = (60 - 0.01x - 0.01y)y = 60y - 0.01xy - 0.01y2兩人都想追求最大收入，故取偏導(dǎo)數(shù)並令其為0：

24、 所以每人每日都賣出2000公升。售價則為 p = 60 - 0.01(2000 + 2000) = 60 40 = 20 (元/公升) 。每個人的收入則為40000元。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值獨(dú)佔(zhàn)事業(yè)與偶佔(zhàn)事業(yè)我們列一個表比較獨(dú)佔(zhàn)與偶佔(zhàn)的差異如下：由上表可知偶佔(zhàn)的情況生產(chǎn)較多的礦泉水，且售價也降低了。 Cournot 下結(jié)論認(rèn)為競爭的狀態(tài)較獨(dú)佔(zhàn)的狀態(tài)對消費(fèi)者有利。但是，聰明的商人最後終究瞭解其收入40000元小於90000元的一半，這會趨使他們走向合作，共享市場，最後變成獨(dú)佔(zhàn)的狀態(tài)。這種狀態(tài)稱為聯(lián)合壟斷 (collusion)。這就是當(dāng)市場僅有極少數(shù)的供應(yīng)商時，最後會趨向聯(lián)合壟斷而不是完全競

25、爭的理由。7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值隨堂演練7-31. 求函數(shù) f (x, y) = 3x2 - 2xy + y2 + x 的臨界點(diǎn)。2. 求函數(shù) 的相對極值。3. 求體積為27平方公尺的立方體，表面積最小的長、寬與高。4. 求三個正數(shù)其和為48，其乘積為最大。5. 某工廠生產(chǎn) A 與 B 兩產(chǎn)品，其需求函數(shù)分別為p(x, y) = 4 - x + 3y 與 q(x, y) = 8 + x - 2y，求其收入最大的定價為何？7-3 多變數(shù)函數(shù)的極值受制型極值與拉氏乘子法許多商業(yè)上的應(yīng)用，希望找到多變數(shù)函數(shù)的最大值與最小值，並且這些變數(shù)需滿足某些限制式 (constraint)。例如，公司想要獲取

26、最大利潤並使其花費(fèi)在原定預(yù)算之內(nèi)，或者某酒廠想要設(shè)計一個鋁罐希望所使用的材料最小但容量正好為 500cc。這類受制型極值的問題可使用拉氏乘子法 (Lagrange multiplier method)求解，這方法是法國數(shù)學(xué)家 Joseph Louis Lagrange (1736-1813)所發(fā)明的。7-4 受制型極值與拉氏乘子法求受制型的最大利潤某家電公司，希望訂定最適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)型與豪華型洗碗機(jī)的生產(chǎn)數(shù)量，以獲取最大的利潤。若已知其利潤函數(shù)為 P(x, y) = 40 x + 20y - x2 - y2 (元)，其中 x 與 y 分別表示標(biāo)準(zhǔn)型與豪華型洗碗機(jī)的每日產(chǎn)量。該公司每日的產(chǎn)能為 20

27、 臺洗碗機(jī)。每日的產(chǎn)能為 20 臺，可以寫成 x + y = 20。在例中我們欲求 P(x, y) 的最大值，此 P(x, y) 稱為目標(biāo)函數(shù) (objective function)。產(chǎn)能受制於 (subject to, s.t.) x + y 20 = 0 的限制式。問題可以寫成7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法我們利用多變數(shù)函數(shù)的方法來求解。首先，我們引入一個新的變數(shù) l，將此問題改寫成函數(shù) L(x, y, l) 稱為拉氏函數(shù) (Lagrange function)，為目標(biāo)函數(shù)加上 l 乘以限制式：拉氏函數(shù)有三個變數(shù) x 、 y 與 l，我們分別對這三個變數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)並令其為 0：聯(lián)

28、立方程式解為 x = 15，y = 5， l = -10 因此 P(15, 5) 即為最大利潤。所引進(jìn)的變數(shù) l 稱為拉氏乘子 (Lagrange multiplier) 。7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法當(dāng)利用拉氏乘子法找出臨界點(diǎn)後，這方法並未保證所找到的臨界點(diǎn)即為目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。D 判別法， D = fxxfyy - (fxy)2，只適用於非受制型的極值問題，在解受制型的極值問題並不適用。遇到受制型的極值問題時，我們必須確認(rèn)最大值或最小值確實(shí)存在，也就是確定問題有答案，則解答必在由拉氏乘子法所求出的臨界點(diǎn)之中。要如何確認(rèn)所求的問題有

29、解呢？事實(shí)上，大部分合理的應(yīng)用問題都有解。7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法求最大面積農(nóng)夫想要沿著房子的一面牆圍一座矩形的畜欄，靠牆的這邊不需要柵欄，如果他只準(zhǔn)備80公尺的柵欄，請問如何圍出最大的面積？解:問題變?yōu)? 先寫出拉氏函數(shù) 求拉氏函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)令其為 0：7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法求半徑與高製罐公司設(shè)計容量為五公升的圓柱型鐵罐，希望使用最少的材料，求此鐵罐的半徑與高。解:為使鐵罐所使用的材料為最少，就是要求鐵罐有最小的表面積。令半徑為 r，高為 h，則鐵罐的表面積為 A = 2p r2 + 2p rh 體積則為 V = p r2 h 。所以原問題變成： 拉氏函數(shù)為

30、求拉氏函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)令其為0： 7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子法求最大產(chǎn)能某工廠預(yù)估其生產(chǎn)函數(shù)為 P(K, L) = 100K1/4 L3/4，其中 K 與 L 分別代表資本財與勞動力的單位數(shù)量。每單位的資本財成本為 200 元，每單位的勞動力成本為 100 元。若每小時所能使用的資本財及勞動力限制為 8000 元，求資本財與勞動力的配置數(shù)量使產(chǎn)能為最大。解:原問題變成 拉氏函數(shù)為令其偏導(dǎo)數(shù)為0：7-4 受制型極值與拉氏乘子法拉氏乘子的意義拉氏乘子 l 有極重要的意義，若我們將目標(biāo)函數(shù)的單位稱為目標(biāo)單位，限制式所使用的單位稱為限制單位，則 l 的意義如下。 |l| = 每增加額外一單位的

31、限制單位約可增加的目標(biāo)單位的數(shù)量。觀察農(nóng)夫圍畜欄的例子，農(nóng)夫總共有 80 公尺的柵欄，這是他的預(yù)算。因此 l 為每增加 1 公尺的材料畜欄所增加的面積。該例題的l = -20 ，表示每增加 1 公尺的材料則畜欄約增加 20 平方公尺。設(shè)農(nóng)夫現(xiàn)有 81 公尺的材料，他可以將長度 y 增加 1 公尺，用掉多出來的1公尺，面積就多出 20 平方公尺；他也可以將寬度增加 0.5公尺，多出來的面積還是 20 平方公尺；但是如果我們以材料 81公尺，使用拉氏乘子法重解，所得的答案為 x = 20.25，y = 40.5 ，A = (20.25)(40.5) = 820.125 其所增加的面積應(yīng)為 20.1

32、25 平方公尺，這是我們前面解釋 l 時均宣稱約的原因。7-4 受制型極值與拉氏乘子法 受制型極值的幾何意義求解:拉氏函數(shù)為L(x, y, l) = 16 x2 y2 + l(x + y 2) Lx = -2x + l = 0 Ly = -2y + l = 0 Ll = x + y 2 = 0目標(biāo)函數(shù) f(x, y) = 16 - x2 - y2 為開口向下的拋物面，其最大值出現(xiàn)在 (0, 0, 16)。 7-4 受制型極值與拉氏乘子法求最大值與最小值求函數(shù) f(x, y) = 4xy 滿足 x2 + y2=50 的最大值與最小值。解:拉氏函數(shù)為 L(x, y, l) = 4xy + l(x2

33、 + y2 50) Lx = 4y + 2lx = 0 Ly = 4x + 2ly = 0 Ll = x2 + y2 50 = 0 即 y2 = x2，所以 y = x。代入 Ll = 0 ，得2x2 - 50 = 0。因此， x = 5，y = 5。 x = 5 與 y = 5 的組合，共可組成四個臨界點(diǎn)，如下表：7-4 受制型極值與拉氏乘子法隨堂演練7-41. 求三個正數(shù)其和為 48，其乘積為最大。2. 某人欲建一塊矩形的停車場，其中一邊利用現(xiàn)成建築物的一面牆，其餘三邊使用圍籬。若他有 200 公尺的圍籬，應(yīng)該如何圍出面積最大的停車場？3. 某工廠其生產(chǎn)函數(shù)為 P(K, L) = 100

34、K0.8L0.2，其中 K 與 L 分別代表資本財與勞動力的單位數(shù)量。 每單位的資本財成本為200 元，每單位的勞動力成本為 100 元。若每日能使用的總成本限制為 20000 元，求資本財與勞動力的配置數(shù)量使產(chǎn)能為最大。4. 計算隨堂演練第 2 題與第 3 題的 l 值，並解釋其意義。5. 7-4 受制型極值與拉氏乘子法最小平方法本書使用許多數(shù)學(xué)模型描述利潤函數(shù)、生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)等函數(shù)。這些函數(shù)如何得到的？例如Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù) P = aKbL1-b。如何決定 a 與 b 的值？這個問題稱為擬合曲線 (fitting curve)，就是尋找一個函數(shù)，使該函數(shù)的圖形與所收集資

35、料呈現(xiàn)的圖形非常地擬合。最簡單的問題為直線擬合 (fitting a straight line)，就是給予一組資料點(diǎn) (x1, y1) , (x2, y2) , , (xn, yn) 找到最擬合的直線方程式 y = ax + b ，最常使用的方法為 最小平方法 (method of least squares)。所求出的直線可用來描述資料的趨勢或作預(yù)測。7-5 最小平方法最小平方法例如某公司三年的年銷售額(百萬元)，如下表所示。如何找一條直線來擬合這三點(diǎn)。當(dāng)然這三點(diǎn)並非完全在一條直線上，我們希望求出直線 y = ax + b 使之與這三點(diǎn)非常地接近。對於圖上的每個點(diǎn) (xj, yj) 我們定

36、義 ej 為其與直線的誤差，即 ej = yj (axj + b)使誤差平方和最小的直線，這直線就稱為最小平方直線 (least squares line)或迴歸線 (regression line)。7-5 最小平方法最小平方法設(shè)有 n 個資料點(diǎn) (x1, y1) , (x2, y2) , , (xn, yn) ，且最佳擬合直線為 y = ax + b，則誤差的平方和為首先，令 ，得接著，令 ，得7-5 最小平方法最小平方法由 可得將 b 的表示法代入第一式，得7-5 最小平方法最小平方直線給定 n 個資料點(diǎn) (x1, y1) , (x2, y2) , , (xn, yn) 其最小平方直線(

37、迴歸線)為 y = ax + b ，其中 a 與 b 分別為7-5 最小平方法求最小平方直線給定資料如下表： 求最小平方直線。解:7-5 最小平方法求最小平方直線某公司人事處統(tǒng)計該公司過去五年加入員工互助計畫的比例如下表： (a) 以最小平方法求最小平方直線。 (b) 利用此直線模型預(yù)測 2002 年與 2004 年參加的比率。解: (a)首先我們將年度之值轉(zhuǎn)成 1 到 5。 7-5 最小平方法呈現(xiàn)曲線形態(tài)的資料點(diǎn)最小平方法除了能擬合直線外也能擬合形式為 y = BeAx 的指數(shù)曲線，其曲線顯示於下圖。將 y = BeAx 兩邊取自然對數(shù)得 ln y = ln(BeAx) = ln B + l

38、n eAx = ln B + Ax 我們令新變數(shù) Y = ln y 與 b = ln B ，則 ln y = ln B + Ax 可改寫成 Y = Ax + b。我們要擬合的直線是針對資料點(diǎn) (x1, ln y1), (x2, ln y2) , , (xn, ln yn) 。因此最小平方法仍能適用於此處的情形。7-5 最小平方法呈現(xiàn)曲線形態(tài)的資料點(diǎn)自1960年以來的世界人口如下表，找出最適合這些資料的指數(shù)曲線，並預(yù)測2010年的世界人口數(shù)。解:首先將年轉(zhuǎn)成1至4來表示。1.列出 x 與 y 的值。2.將 y 的值取自然對數(shù) Y = ln y。3.求 xY。4.求 x 的平方。5.取每欄的和(

39、y 欄除外) 。6.使用最小平方法公式計算 A 與 b。7. 計算B = eb (因?yàn)?b = ln B )。7-5 最小平方法隨堂演練7-51. 求下列各點(diǎn) (-5, 1)、(1, 3)、 (2, 4)、(3, 6) 的最小平方直線。2. 農(nóng)夫研究使用肥料與農(nóng)作物產(chǎn)量的關(guān)係如下表：a. 以最小平方法求最小平方直線。 b. 利用此直線模型預(yù)估產(chǎn)量為150時應(yīng)使用多少肥料？ 3. 求下列各點(diǎn)的最佳擬合曲線。a. (1, 1.5), (2.5, 8.4), (5, 14.2), (7, 16.2), (9,19.5)b. (0, 0.5), (1, 7.5), (3, 58), (4, 120),

40、 (5, 175)肥料 x（百公斤/每公畝）1.01.52.02.5玉米產(chǎn)量 y（百公斤/每公畝）425058637-5 最小平方法全微分本節(jié)我們將定義多變數(shù)函數(shù)的全微分 (total differential)，用此全微分來估計獨(dú)立變數(shù)改變時，函數(shù)值改變的近似值。單變數(shù)函數(shù) f(x) 的微分 df ，其定義為 df = f (x)dx。定義7-5: 函數(shù) f(x, y) 的全微分為 df = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy這個全微分的定義也可以用 的記號表示： 當(dāng)函數(shù)表示成 z = f(x, y) 時，全微分亦可寫成7-6 全微分求全微分求函數(shù) f(x, y) = 5x3 -

41、 4xy + 2y2 的全微分。解: 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為 所以全微分為求函數(shù) z = ln(x4 + y2) 的全微分。解: 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為 所以全微分為7-6 全微分全微分近似公式函數(shù) f(x, y) 的值會隨著 x 與 y 的變動而改變，這個變動量 Df 可以經(jīng)由改變後的值與原值相減而得： Df = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y)對於獨(dú)立變數(shù) x 與 y ，使用 D 或 d 表示這個變動，就是 Dx = dx 與 Dy = dy但是，對於應(yīng)變數(shù)，D與 d 所代表的意義並不同：D表示實(shí)際的變動，而 d 表示全微分。某些函數(shù)，計算實(shí)際的變動相當(dāng)複雜。利用全微分可以很容易求出

42、實(shí)際變動的近似值。全微分近似公式: Df = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y) fx Dx + fy Dy = df Df df7-6 全微分求變動量與全微分設(shè)函數(shù) f(x, y) = x3+ 5xy + y2，當(dāng) x = 2 與 y = 3，Dx = 0.1，D y = -0.2。求(a) Df (b) df。解: (a)首先計算 x + Dx = 2.1，y + Dy = 2.8 實(shí)際變動量為 (b)全微分為 7-6 全微分求近似值利用全微分求 的近似值。解:首先令 ，為求 f(3.02, 3.97) 的近似值，我們令 x = 3，y = 4，很容易計算 f(3, 4

43、) = 5。 令Dx = 0.02，Dy = -0.03，可得 f(x + Dx, y + Dy) = f(3.02, 3.97)。全微分為 利用df Df，可得7-6 全微分Df 與 df 的幾何意義函數(shù) f(x, y) 的圖形在三度空間上是一個曲面，函數(shù)的變動量 Df 表示沿著曲面 P 移至另一點(diǎn) Q 時高度的變動量，如圖所示。全微分 df 表示沿著 P 點(diǎn)的切平面移動至 R 的高度變化量，如圖。這個平面稱為曲面上 P 點(diǎn)的切面 (tangent plane)。7-6 全微分相對誤差與百分誤差任何的測量都無法保證正確無誤。如果我們能預(yù)估出每個測量值的最大誤差，就可以用全微分來估算出最後計算

44、值的誤差。這個誤差可以直接算出其實(shí)際誤差或表示成百分誤差 (percentage error) 或相對誤差 (relative error)。若近似值表示成 ，真實(shí)值表示成 f(x, y)，則近似值的百分誤差為 百分誤差=近似值的相對誤差為 相對誤差=7-6 全微分估計百分誤差計算圓柱體的體積需測量其半徑 r 與高 h，若這些測量值的最大誤差為1%，估計圓柱體體積的百分誤差。解:半徑與高的誤差為1%表示 Dr = 0.01r Dh = 0.01h 結(jié)果為 dV = 0.03V，表示若半徑與高有1%的誤差，則體積的誤差可達(dá)3%。7-6 全微分圓柱體的體積 V = pr2h ，其全微分為估計誤差與

45、相對誤差一個紙箱的長寬高分別為 30、26 與 12 英吋。若其製造上的最大誤差分別為 0.3、0.2 與 0.1 英吋，估計其體積的誤差與相對誤差。解:紙箱的體積為 V = xyz 。依題意求當(dāng) x = 30，y = 26 與 z = 12 在Dx = 0.3，Dy = 0.2，Dz = 0.1 時體積變動的近似值。V 之全微分為 體積誤差為243.6。 相對誤差= 。7-6 全微分拉氏乘子l 的意義求目標(biāo)函數(shù) f(x, y) 的極值同時滿足限制式 g(x, y) = 0 。這個方法令拉氏函數(shù) L(x, y, l) = f(x, y) + lg(x, y) 的偏導(dǎo)數(shù)為零然後解聯(lián)立方程式求出

46、x、y 與l 的值。首先令 L 的偏導(dǎo)數(shù)為 0，得若我們將 x 與 y 增加Dx 與Dy，則目標(biāo)函數(shù)的變動量可用全微分來近似之：拉氏乘子l 的意義：每額外增加一單位的限制式單位可增加的目標(biāo)單位的數(shù)量。7-6 全微分隨堂演練7-61. 求函數(shù) 的全微分。2. 求生產(chǎn)函數(shù) f (K, L) = CKaL1-a 的全微分。3. 利用全微分求 的近似值。4. 令函數(shù) f (x, y) = x2e-y 利用 f (1, 0) 的值估計 f (1.2, -0.2) 的值。5. 一圓柱體經(jīng)測量後發(fā)現(xiàn)半徑為 5 公分且高為 20 公分，若半徑與高測量的最大誤差均為 0.2 公分，估計圓柱體積的誤差與百分誤差。7-6 全微分二重積分單變數(shù)函數(shù)的定積分，定義為近似和的極限。當(dāng) f(x) 0 時這個近似和就是 xy 平面上圖形 y = f(x) 下的矩形面積和。我們將定積分的定義推廣至兩個變數(shù)的情形稱為二重積分 (double integral)。同理二重積分也可視為曲面 z = f(x, y) 下的體積。7-7 二重積分平面上，所有點(diǎn) (x, y) ，a x b，c y d ，構(gòu)成一