傳染病問題的SIR模型

1、傳染病問題中的SIR模型摘要：2003年春來歷不明的SARS病毒突襲人間，給人們的生命財產(chǎn)帶來極大的危害。長期 以來，建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探 索制止傳染病蔓延的手段等，一直是我國及全世界有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題。不同類型的傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，我們不是從醫(yī)學(xué)的角度一一分析 各種傳染病的傳播，而是從一般的傳播機理分析建立各種模型，如簡單模型，SI模型，SIS 模型，SIR模型等。在這里我采用SIR(Susceptibles，Infectives， Recovered)模型來研究 如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很強的免疫力的傳染

2、病，它主要沿用由Kermack 與McKendrick在1927年采用動力學(xué)方法建立的模型。應(yīng)用傳染病動力學(xué)模型來描述疾病 發(fā)展變化的過程和傳播規(guī)律，預(yù)測疾病發(fā)生的狀態(tài)，評估各種控制措施的效果，為預(yù)防控 制疾病提供最優(yōu)決策依據(jù)，維護人類健康與社會經(jīng)濟發(fā)展。關(guān)鍵字：傳染??；動力學(xué)；SIR模型。一、模型假設(shè)在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因 素?？?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個常數(shù) N。人群分為以下三類：易感染者 (Susceptibles)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù) 占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(Infective

3、s)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為 病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者(Recovered)，其數(shù)量比例記為r(t)， 表示t時刻已從染病者中移出的人數(shù)(這部分人既非己感染者，也非感染病者，不具有 傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。)占總?cè)藬?shù)的比例。病人的日接觸率(每個病人每天有效接觸的平均人數(shù))為常數(shù)入，日治愈率(每 天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例)為常數(shù)U，顯然平均傳染期為1/U，傳染期接觸 數(shù)為。=入/口。該模型的缺陷是結(jié)果常與實際有一定程度差距，這是因為模型中假設(shè) 有效接觸率傳染力是不變的。二、模型構(gòu)成在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病

4、到移出的過程框圖表示如下：在假設(shè)1中顯然有：(1)s(t) + i(t) + r(t) = 1對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為=1! Ni(2)不妨設(shè)初始時刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為s ( S 0),，(，0), 0000,0=0.SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下：di .=入si - Uidtds 久e=人si(3)dtdr .I 不=Uis(t)，i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計算來預(yù)估計s(t)，i(t)的一般變化規(guī) 律。三、數(shù)值計算在方程(3)中設(shè)入=1，u=0.3，i (0) = 0.02，s (0) =0.98，用 MATLAB 軟件編程:function

5、y=ill(t,x) a=1;b=0.3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)輸出的簡明計算結(jié)果列入表1。i(t) , s(t)的圖形以下兩個圖形，is圖形稱為相軌線，初 值i(0)=0.02,s(0)=0.98相當(dāng)于圖2中的P0點，隨著t的增,(s,i)沿軌線自右向左運動.由表1、 圖1、圖2可以看出,i(t)由初值增長至約t=7時達(dá)到最大值，然后減少,t一8,i0,s(t)則單調(diào)減 少,

6、t一8,s0.0398.并分析i (t),s(t)的一般變化規(guī)律.t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398表1 i(t),s(t)

7、的數(shù)值計算結(jié)果四、相軌線分析我們在數(shù)值計算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i(t) ,s (t)的性質(zhì)。s平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域(s, i)D為D = (s, i) I sN0, iN0 ,s + i W1(4)在方程(3)中消去dt并注意到。的定義可得i I = is=sq 0(5)所以： d =iji d = jsio i(6)利用積分特性容易求出方程(5)的解為：i = (so + io)- s = -lln -(7)0在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線，如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的 增加s(t)和i(t)的變化趨向.下面根據(jù)(3),(17)式和圖

8、9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t一 8時它們的極限值分別記作 s , i 和 r )。(8)1.不論初始條件s0,i0如何，病人消失將消失，即：i； = 0其證明如下:首先，由(3) d 0故s存在；由(2)也 0而r(t) 0則由(1)，對于充分大的t有攵 ,這將導(dǎo)致r =oo,與r存在相8d 2COCO矛盾.從圖形上看，不論相軌線從P1或從P2點出發(fā)，它終將與s軸相交(t充分大).最終未被感染的健康者的比例是s，在式中令i=0得到，s是方程1 ss + i s + m o = 0( 9)0在(0，1/。)內(nèi)的根.在圖形上s是相軌線與s軸在(0，1/。)內(nèi)交點的橫坐標(biāo). d

9、( 1 . d ( 1一.若s1/。，則開始有* 二(打一o，i(t)先增加，令習(xí)=7 1) =0，可得當(dāng)s=1/ss。時,i(t)達(dá)到最大值:(10)然后 s1/。時，有 d = 1 o d ，s。)si s + i (1 + ln b s )，所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至s”，如圖3中由P1(s0, %)出發(fā)的軌線. d ( 1、，、一一 _、，、一一，一 ,4.若s0 1/。,則恒有孑I s_ 1I1/。(即。1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)。，即提高閾值1/。使 得s 1/o(即。1/。,從(19),(20)式可以看出，。減小時，s”增加(通過作圖分析)

10、,七降低, 也控制了蔓延的程度.我們注意到在。=入口中,人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率入越小;醫(yī)療 水平越高，日治愈率U越大，于是。越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的 蔓延.從另一方面看，bs-人s 1/日是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù), 其含義是一病人被b s個健康者交換.所以當(dāng)s0 1/b即b s0 1時必有.既然交換數(shù)不超 過1,病人比例i(t)絕不會增加，傳染病不會蔓延。五、群體免疫和預(yù)防根據(jù)對SIR模型的分析，當(dāng)s0 1/b時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延，除了提高衛(wèi) 生和醫(yī)療水平，使閾值1/。變大以外，另一個途徑是降低s0 ,這可以通過比如預(yù)防接種

11、使群 體免疫的辦法做到.忽略病人比例的初始值i有s 1 r，于是傳染病不會蔓延的條件s 1/b可以表為 0000這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就 可以制止傳染病的蔓延。這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實際上這是很難做到的。 據(jù)估計當(dāng)時印度等國天花傳染病的接觸數(shù)。=5,由（11）式至少要有80%的人接受免疫才 行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報告，即使花費大量資金提高r，也因很難做到免疫者的均勻分布， 使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的。更高，根除就更加困難。六、模型驗證上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾乎所有病人都死亡

12、了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，據(jù)對SIR模型作了驗證。即有了%的實際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù) dtdb S r dtJs標(biāo)=bfr d所以:s (t) = s e-bt)(12)首先，由方程（2），（3）可以得到ds = 一人si = -bsi上式兩邊同時乘以d可n 1 d =-b d，兩邊積分得t s s rn In s |s = b r n e -brs0s0(13)1r (t)s b 2=pi 日(1- r s)日(1- r s e -br)o當(dāng)r 1/b時，取（13）式右端e-6 Taylor展開式的前3項得:ds b2r2、 TOC o 1-5

13、h z HYPERLINK l bookmark68 o Current Document d =P (1- r - s +b s r )t在初始值r=0下解高階常微分方程得:,-、，,apt、 HYPERLINK l bookmark71 o Current Document (s b 1)+ath(甲)02其中 a 2 = (sb-1)2 + 2 s i c 2伽=匚1從而容易由(14)式得出: a(15)apt 、2s c2ch2( 中)02畫出(15)式的圖形，如圖4中的曲線，實際數(shù)據(jù)在圖中用然后取定參數(shù)s0,。等圓點表示，可以看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。七、被傳染比例的估計在一次傳染病的傳播過程中，被傳染人數(shù)的比例是健康者人數(shù)比例的初始值s0與s”之差，記作x,即x = s - s(16)當(dāng)i0很小，s0接近于1時，由(9)式可得x + -ln(1-)俐 0(17)b s0取對數(shù)函數(shù)Taylor展開的前兩項有記 = !+5 , 8可視為該地區(qū)人口比例超過閾值-1的部分。當(dāng)5-1時（18）式給出一 r 1 一, 一、x 牝 2s s 一一澆 25（ 19）0 0 ）這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)比例約為5的2倍。對一種傳染病，當(dāng)該地區(qū)的衛(wèi)生和醫(yī) 療水