把握本質(zhì),有效建構(gòu)數(shù)學(xué)概念(共9頁(yè))

1、PAGE PAGE 9把握(bw)本質(zhì)，有效建構(gòu)數(shù)學(xué)(shxu)概念基于(jy)“平均數(shù)”課例的分析與思考王雪帆 龍游西門小學(xué)內(nèi)容摘要】北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)第六冊(cè)教材中，“平均數(shù)”以其別具一格的 “作為一種統(tǒng)計(jì)量(以往通常作為應(yīng)用題教學(xué))”這一全新的視角呈現(xiàn)。重點(diǎn)要解決三個(gè)問(wèn)題：平均數(shù)產(chǎn)生的必要性；平均數(shù)概念的意義和計(jì)算；平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活、工作中的運(yùn)用。文章通過(guò)兩個(gè)不同的課例對(duì)“平均數(shù)”教學(xué)進(jìn)行思考與分析：明確概念教學(xué)要提供給學(xué)生突出概念本質(zhì)特征的學(xué)習(xí)材料；概念的整個(gè)建構(gòu)過(guò)程要緊緊抓住概念的本質(zhì)特征，才能更好地幫助學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)概念?！娟P(guān)鍵詞】平均數(shù) 本質(zhì) 概念教學(xué) 思

2、考第一段的闡述欠精練?！捌骄鶖?shù)”作為一種統(tǒng)計(jì)量，本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是：了解平均數(shù)的意義，體會(huì)學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性，會(huì)求簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果為整數(shù)）。本課時(shí)通常是讓學(xué)生通過(guò)“比總數(shù)”不公平的認(rèn)知沖突中引出平均數(shù)的概念，體會(huì)到學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性。而在實(shí)際教學(xué)中，課堂往往演變成了求一些數(shù)據(jù)的平均數(shù)，淡化或忽略了平均數(shù)意義的理解。如何有效建構(gòu)平均數(shù)的概念呢？筆者試圖通過(guò)對(duì)兩個(gè)不同課例的深層剖析，明確概念教學(xué)要從概念的本質(zhì)入手，才能讓學(xué)生更好地建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。第一次教學(xué)：1.創(chuàng)設(shè)情境三(1)班男女生投籃比賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖：男生隊(duì)： 女生隊(duì)：圖形最好放在畫圖板上畫，以求美觀。1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 1號(hào) 2號(hào) 3號(hào) 4

3、號(hào)師：哪隊(duì)獲勝(hu shn)？你是怎么(zn me)比出來(lái)(ch li)的？生1：比總數(shù)，哪隊(duì)總數(shù)多哪隊(duì)就獲勝。男生隊(duì)：4+8+6=18（個(gè)）女生隊(duì)：4+3+9+4=20（個(gè)）所以女生隊(duì)獲勝。師：男生人數(shù)與女生人數(shù)不相等，比總數(shù)公平嗎？生2：不公平！應(yīng)該比最多的投籃個(gè)數(shù)，哪隊(duì)最多哪隊(duì)獲勝。女生隊(duì)中有人投中9個(gè)是最多的，所以女生隊(duì)獲勝。生3：我認(rèn)為讓男生隊(duì)再來(lái)一人，重新比,這樣才公平。生4：讓女生隊(duì)少一人，重新比也公平。師：人數(shù)不能再變了，男生隊(duì)就是3人，女生隊(duì)就是4人。怎么比才公平？（生茫然。）師：既然比總數(shù)不公平，應(yīng)該比什么才公平呢？（還是沉默，過(guò)了一會(huì)兒，只有一兩位同學(xué)舉手。）生：可以求

4、出平均每人投籃的個(gè)數(shù)，再進(jìn)行比較。師：對(duì)！應(yīng)該比平均每人投籃的個(gè)數(shù)才公平。2求平均數(shù)師：你會(huì)求男生隊(duì)平均每人投籃的個(gè)數(shù)嗎？生1：先求出總數(shù)，再除以人數(shù)，就得到平均每人投籃個(gè)數(shù)。列式：（4+8+6）3=6（個(gè)）師：能說(shuō)出算式的意思嗎？這個(gè)6就是4、8、6的平均數(shù)。（板書）師：還有其他方法能得到平均數(shù)嗎？（生沉默）師：不用計(jì)算的方法，你能找到平均數(shù)嗎？生：把2號(hào)同學(xué)的8個(gè)移2個(gè)到1號(hào)同學(xué)，大家都是6個(gè)了。（生演示移多補(bǔ)少的過(guò)程）師：把多的移給少的，這種方法叫做移多補(bǔ)少法。師：能求出女生隊(duì)的平均數(shù)嗎？生：（4+3+9+4）4=5（個(gè)）師：你還能用不同的方法嗎？（生演示移多補(bǔ)少的過(guò)程）3深化練習(xí)（略）

5、我的思考:“平均數(shù)”教學(xué)(jio xu)較為典型(dinxng)的思路：通過(guò)組織兩組人數(shù)不等的比賽，在學(xué)生初步體會(huì)到“比總數(shù)(zngsh)”不公平的前提下，自然過(guò)渡到“通過(guò)求出平均每人的數(shù)量，再作比較”的思路上來(lái)。“平均數(shù)”由此自然生成。此種教學(xué)思路優(yōu)點(diǎn)無(wú)疑是十分明顯的,尤其是從“比總數(shù)不公平”到“比平均數(shù)公平”的自然轉(zhuǎn)折，把平均數(shù)的來(lái)龍去脈刻畫得極為生動(dòng)、細(xì)膩。但一直有幾個(gè)問(wèn)題困擾著我。1.真的能自然順利生成平均數(shù)嗎？第一次教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)了男女生人數(shù)不等的投籃比賽情境，引起了學(xué)生的熱鬧交流，學(xué)生先想到比總數(shù)來(lái)決定比賽的勝負(fù)，當(dāng)明確比總數(shù)不公平時(shí)，學(xué)生想到增減人數(shù)的方法讓男女生人數(shù)相等，再進(jìn)

6、行比較的方法；這些方法得到了大多數(shù)學(xué)生的贊同。教師只有通過(guò)多次啟發(fā)引導(dǎo)，再三強(qiáng)調(diào)人數(shù)不相等，也只有極個(gè)別的學(xué)生想到“比總數(shù)”不公平，只有“比平均數(shù)”才公平。問(wèn)題出在哪兒呢？從本質(zhì)上來(lái)看，兒童的社會(huì)與文化生活與他們數(shù)學(xué)理解能力的發(fā)展是交織在一起的，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該盡量與學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)和經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)起來(lái)。三年級(jí)學(xué)生所經(jīng)歷的比賽與活動(dòng)都是簡(jiǎn)單迅捷地就知道結(jié)果的，有些時(shí)候往往比總數(shù)就可以得到結(jié)果，有時(shí)增減人數(shù)就可以，這些都是學(xué)生的學(xué)習(xí)原型和生活經(jīng)歷。所以學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)自然而然地運(yùn)用自己的生活經(jīng)驗(yàn)想到這幾種方法，并且得到大多數(shù)同學(xué)的認(rèn)同?！氨绕骄鶖?shù)”對(duì)他們而言是非常陌生的，對(duì)于要“比平均數(shù)”公平他們更是

7、莫名其妙，不明白為什么“比平均數(shù)”就公平了。2.兩種計(jì)算方法的背后應(yīng)強(qiáng)化什么？當(dāng)統(tǒng)一了“比平均數(shù)”公平的做法后，學(xué)生首先想到的是借助以往的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)用“總數(shù)份數(shù)=平均數(shù)”這一方法計(jì)算出平均每人投籃個(gè)數(shù)，這對(duì)于理解了除法意義中的三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)輕易就能解決。雖然會(huì)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能，但過(guò)早的讓學(xué)生計(jì)算平均數(shù)，妨礙了學(xué)生體會(huì)平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過(guò)程中的價(jià)值，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)“平均分”的認(rèn)識(shí)和算法的理解，淡化了學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義的理解?！捌骄帧迸c“平均數(shù)”雖然計(jì)算過(guò)程相同，但表示的是不同的意義。平均分強(qiáng)調(diào)的是除法運(yùn)算的意義，解決的是“單位量”與“單位個(gè)數(shù)”的問(wèn)題；而平均數(shù)則反應(yīng)全部數(shù)據(jù)的整體水平，

8、目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，強(qiáng)化統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)不同于前面所說(shuō)的份數(shù)，是根據(jù)需要所選擇的“樣本”的個(gè)數(shù)。而通過(guò)動(dòng)態(tài)的演示來(lái)呈現(xiàn)“移多補(bǔ)少”的過(guò)程，能為理解平均數(shù)表示的均勻水平提供感性支撐。通過(guò)“移多補(bǔ)少”求得平均數(shù)，強(qiáng)化平均數(shù)“勻乎”的產(chǎn)生過(guò)程，是對(duì)平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進(jìn)一步直觀理解。所以，筆者認(rèn)為“移多補(bǔ)少”是理解平均數(shù)意義的重點(diǎn)與關(guān)鍵，教學(xué)時(shí)應(yīng)該首先讓學(xué)生從直觀上理解體驗(yàn)“移多補(bǔ)少”，而不是先通過(guò)計(jì)算求平均數(shù)。3.學(xué)生真正(zhnzhng)理解平均數(shù)了嗎？事實(shí)上，“求出平均(pngjn)每人投籃個(gè)數(shù)”，對(duì)于三年級(jí)學(xué)生而言，其心理(xnl)活動(dòng)的表征往往是“先求出總數(shù)，再

9、除以人數(shù)，就得到了平均每人投籃個(gè)數(shù)”。這個(gè)結(jié)果是平均分后得到的，至于運(yùn)算后的結(jié)果為什么可以表示這組數(shù)據(jù)的整體水平，為什么這樣比就公平了？對(duì)此學(xué)生一頭霧水，思維十分模糊。并由此可見(jiàn)，僅僅從比較的維度無(wú)法揭示平均數(shù)的意義，無(wú)法讓學(xué)生理解平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，個(gè)中潛藏著學(xué)生難以跨越的認(rèn)知障礙與思維斷點(diǎn)。如果能從平均數(shù)是“一組數(shù)據(jù)的代表”的角度來(lái)讓學(xué)生建立“平均數(shù)”的意義，以上問(wèn)題就迎刃而解了，就有了第二次教學(xué)。第二次教學(xué):1直覺(jué)體驗(yàn)?zāi)膫€(gè)數(shù)能代表他們一分鐘投籃個(gè)數(shù)？為什么？小強(qiáng)1分鐘投籃成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖： 第1次 第2次 第3次師：要表示小強(qiáng)1分鐘投中的個(gè)數(shù)，你認(rèn)為用哪個(gè)數(shù)比較合適？生（齊）：5師：

10、為什么？生：他每次都投中5個(gè)，用5表示小強(qiáng)1分鐘投中個(gè)數(shù)最合適了。師：為什么不是5+5+5=15（個(gè)）呢？生：我們要表示的1分鐘投中的個(gè)數(shù)，這里是3分鐘了。小林1分鐘投籃成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖： 第1次 第2次 第3次師：現(xiàn)在(xinzi)要表示小林1分鐘投中的個(gè)數(shù)，你認(rèn)為(rnwi)用哪個(gè)數(shù)比較(bjio)合適呢？為什么？生：4正好不多不少在中間，所以用4比較合適。師：有道理！還有其他的想法嗎？生：從第三次5個(gè)里面移1個(gè)到第一次3個(gè)里面，這樣三次都是4個(gè)了。所以用4代表小林1分鐘投中的個(gè)數(shù)比較合適。（師結(jié)合學(xué)生的交流，呈現(xiàn)移多補(bǔ)少的過(guò)程）師：數(shù)學(xué)上，像這樣從多的里面移一些補(bǔ)給少的，使每個(gè)數(shù)都一樣多。這一

11、過(guò)程就叫“移多補(bǔ)少”。小剛1分鐘投籃成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖：第1次 第2次 第3次師：哪個(gè)數(shù)可以表示小剛1分鐘投中的個(gè)數(shù)呢？生：4師：為什么？生：從7個(gè)里面移出1個(gè)放到第一次，再移2個(gè)到第三次，這樣看起來(lái)三次都投中了4個(gè)。所以用4表示小剛1分鐘投中個(gè)數(shù)比較合適。（生演示移多補(bǔ)少的過(guò)程）師：你為什么要放1個(gè)到第一次呢？生：我以最少的第三次為標(biāo)準(zhǔn)，給了第三次1個(gè)后，發(fā)現(xiàn)第二次還比其它兩次多3個(gè)。所以給了第一次1個(gè)，一共給第三次2個(gè)。師：真是好辦法！先把第三次和第二次補(bǔ)成相同，再把多余的平均分。還有其他的方法嗎？師：你們都認(rèn)為4能代表小剛1分鐘投中的個(gè)數(shù)，對(duì)嗎？既然這樣，4能代表小剛第一次投中的個(gè)數(shù)嗎？生：不能

12、。第1次是投中3個(gè)。師：4能代表小剛第二次第三次投中個(gè)數(shù)嗎？生：不能。第2次投中的是7個(gè)，第3次投中的是2個(gè)。師：既然4都不能代表這三次的投中個(gè)數(shù)，那么它究竟代表的是哪一次呢？生：4代表(dibio)的是小剛?cè)瓮吨械钠骄健Ｐ〗Y(jié)(xioji)：平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的平均水平。2求平均數(shù)師：還有其他方法能知道(zh do)小剛一分鐘投籃的水平嗎？生：（3+7+2）3=4（個(gè)）師：誰(shuí)看懂他的算法了嗎？生：先算總數(shù)，再除以人數(shù)，得到平均數(shù)。小結(jié)：無(wú)論是移多補(bǔ)少還是先合后分，目的只有一個(gè)使原來(lái)幾個(gè)不相同的數(shù)變得同樣多。這個(gè)同樣多的數(shù)，數(shù)學(xué)上就叫做這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。師：4就是3、7、2的平均數(shù)。3

13、深化理解小方1分鐘投籃成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖： 第1次 第2次 第3次 第4次師：你能估計(jì)小方的平均成績(jī)是幾個(gè)？生：4個(gè)師：為什么不估計(jì)小方的平均成績(jī)是6個(gè)呢？生：因?yàn)?個(gè)是最多的，它要移給少的。師：為什么不估計(jì)小方的平均成績(jī)是1個(gè)呢？生：因?yàn)?個(gè)是最少的，多的肯定會(huì)補(bǔ)給它。師；平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，不可能是這組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)，也不可能是這組數(shù)據(jù)中的最小數(shù)，應(yīng)該是。生：應(yīng)該是在最大數(shù)和最小數(shù)之間。師：為什么小方的平均成績(jī)只有4個(gè)？原因在哪兒？生：因?yàn)榈?次只投了1個(gè)，太少了，影響了他的平均成績(jī)。師：要是第4次能投幾個(gè)，小方的平均成績(jī)就是5個(gè)？生：5個(gè)師：要使平均成績(jī)發(fā)生變化，只要改變其中幾個(gè)數(shù)

14、就可以了？生：一個(gè)數(shù)。小結(jié)：平均數(shù)會(huì)隨著一個(gè)數(shù)據(jù)的變化而變化。這是平均數(shù)的一個(gè)重要(zhngyo)特點(diǎn)。4練習(xí)(linx)提升(tshng)（1）判斷下列說(shuō)法是否正確？在聲樂(lè)比賽中，四位評(píng)委分別打分為85分、90分、88分、89分，這位選手平均得分為85分。（ ）籃球隊(duì)隊(duì)員平均身高200cm,就是說(shuō)每個(gè)隊(duì)員身高都是200cm。（ ）小河平均水深110cm，小明身高130cm,他不會(huì)游泳，過(guò)河不會(huì)危險(xiǎn)。（ ） (2)把表格填完整?！靶旅绫鄙賰焊枋执螵?jiǎng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：評(píng)委選手陳老師王老師李老師張老師平均分小強(qiáng)898596/？小林91949380？小方？95/9293（此題學(xué)生會(huì)有多種解題策略） （

15、3）生活中常見(jiàn)的平均數(shù)問(wèn)題在剛剛結(jié)束的“青歌賽”中，某歌手得分分別是：93分、98分、95分、83分、92分、96分、94分，請(qǐng)計(jì)算她的平均得分。（93分）可歌手最后得分是94分，這是為什么呢？（去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分）我的再思考:這次教學(xué)，執(zhí)教老師將學(xué)習(xí)平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)中，在描述數(shù)據(jù)、進(jìn)行整體水平對(duì)比的過(guò)程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計(jì)量”的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度學(xué)習(xí)平均數(shù)。給了我很多的啟發(fā)。1學(xué)習(xí)材料的選擇有助于概念的理解。教師要深度研習(xí)教材，把握知識(shí)的來(lái)龍去脈；教師還要了解學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律和學(xué)習(xí)生活經(jīng)驗(yàn)，課前對(duì)學(xué)生的了解和分析越充分，越能幫助教師對(duì)學(xué)習(xí)材料的合理選擇。概念教學(xué)的

16、核心是運(yùn)用有效的學(xué)習(xí)材料豐富概念認(rèn)識(shí)。在第二次教學(xué)中，由于教師選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)，同時(shí)各組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式伴隨著教師的追問(wèn)，使學(xué)生憑直覺(jué)體驗(yàn)到“平均數(shù)”的代表性，幫助學(xué)生很好地理解了平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。第二次教學(xué)(jio xu)中，教師有意(yuy)設(shè)計(jì)了“小強(qiáng)1分鐘三次(sn c)均投中5個(gè)”的特殊數(shù)據(jù)組，以此促進(jìn)學(xué)生自然建立起“用5代表他的一般水平最合適”的心理傾向。這一學(xué)習(xí)材料的提供使學(xué)生清楚地知道“求總數(shù)”是不合情理的，進(jìn)而在隨后的學(xué)習(xí)活動(dòng)中學(xué)生能主動(dòng)避開(kāi)“求總數(shù)”的窠臼。接著引導(dǎo)學(xué)生努力尋找?guī)讉€(gè)數(shù)據(jù)的代表值，通過(guò)多次的移多補(bǔ)少呈現(xiàn)過(guò)程，使學(xué)生憑直覺(jué)體驗(yàn)到平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的代表，

17、為平均數(shù)的意義建立奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在努力尋找每組數(shù)據(jù)代表性的同時(shí)，也自然地避開(kāi)了學(xué)生過(guò)早進(jìn)行計(jì)算求出平均數(shù)的做法。2.把握概念的本質(zhì)有助于概念的建構(gòu)。概念教學(xué)應(yīng)該在層層遞進(jìn)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，逐步豐富和建構(gòu)對(duì)概念本質(zhì)意義的理解?！捌骄鶖?shù)”課例重點(diǎn)是體驗(yàn)平均數(shù)的意義，理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì)，不是用計(jì)算方法得出平均數(shù)。也正是因?yàn)閷W(xué)生在充分理解了平均數(shù)意義和本質(zhì)，才會(huì)有許多策略得到平均數(shù)，學(xué)生的思維才更敏捷更開(kāi)放。概念教學(xué)的深化是理解概念的本質(zhì)和性質(zhì)。平均數(shù)有兩個(gè)讓學(xué)生能理解的重要性質(zhì)：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間；一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響。第二次教學(xué)中，學(xué)生多

18、次體驗(yàn)了移多補(bǔ)少的過(guò)程，正是這多次直觀演示和體驗(yàn)，使學(xué)生理解不可能是最大數(shù)，因?yàn)樽畲髷?shù)要補(bǔ)給最小數(shù)，也不可能是最小數(shù)，因?yàn)樽钚?shù)會(huì)有最大數(shù)移給它，最后平均數(shù)當(dāng)然要比最大的小比最小的大了。小方的1分鐘投籃統(tǒng)計(jì)圖中出現(xiàn)了一個(gè)極端數(shù)據(jù)：第4次只投了1個(gè)。教師通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生查找原因，并且找到解決問(wèn)題的方法，可以在第4次投5個(gè)引起平均數(shù)變化。這一過(guò)程通過(guò)對(duì)某個(gè)數(shù)據(jù)的變化引起平均數(shù)的變化，讓學(xué)生能夠進(jìn)一步理解平均數(shù)的敏感性：任何一個(gè)數(shù)據(jù)的風(fēng)吹草動(dòng)，都會(huì)使平均數(shù)發(fā)生變化。教師正是通過(guò)對(duì)平均數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)的理解，使學(xué)生能更好地理解平均數(shù)的本質(zhì)。通過(guò)這兩次課例的比較和分析，讓我們實(shí)實(shí)在在地感受到概念教學(xué)要提供給學(xué)生突出概念本質(zhì)特征的學(xué)習(xí)材料；概念的整個(gè)建構(gòu)過(guò)程要緊緊抓住概念的本質(zhì)特征，才能更好地幫助學(xué)生有效建構(gòu)數(shù)學(xué)概念?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1劉兼,孫曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀M.北京:北京師范大學(xué)出版社.2張齊華.我為什么重上“平均數(shù)”M.河南:河南教育報(bào)刊社.3劉加霞.概念為本的教學(xué)M.河南:河南教育報(bào)刊社.裴老