從一例談求函數(shù)最值的常規(guī)方法與技巧

1、 投稿時間：2009.3.20 電話電子郵箱： PAGE PAGE 9從一例談求函數(shù)最值的常規(guī)方法與技巧甘肅省高臺縣第一中 韓天禧 (郵編734300)本文僅從一道短小精悍、結(jié)構(gòu)精巧的題目出發(fā)，從多角度全方位著手，來梳理歸納求函數(shù)最值的常規(guī)方法與技巧,與您共商討.題目 已知 ,、 為大于零的常數(shù)，求 的最小值.一、利用均值不等式求函數(shù)最值1 使積定的代數(shù)技巧解法一 . 即 當(dāng)且僅當(dāng) , 時, 有最小值.2 使積定的三角技巧解法二 由 , 可設(shè) , 其中 , 則 ., 即當(dāng)且僅當(dāng) = , , , 時, 有最小值.3 使等號成立的技巧解法三 設(shè) , 由均值不等式得:, 兩

2、式相加得, 保證等式成立的條件為 即 , 此時, 因此 當(dāng)且僅當(dāng)時, 有最小值.二、利用向量求函數(shù)最值解法四 設(shè) , , 由 , 得:, 當(dāng)且僅當(dāng) , 即 時, 有最小值.三、利用換元法求函數(shù)最值1 代數(shù)換元技巧解法五 當(dāng)時, ,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?當(dāng)時, 令 , 由, 得 (或), 這樣由, 等號成立條件為 , ,得, 它在時也成立. 所以 有最小值.2 三角換元技巧解法六 由 , 令 , 則.設(shè), 再設(shè) ，其中 得 , , 由+得, 又由, 得 所以 當(dāng)且僅當(dāng)時, 取得最大值1, 就有最小值為. 所以最小值為.注 若- 得 , 由 , 無最值.四、利用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)最值1 把化歸為直線坐標(biāo)

3、軸上的截距和的技巧解法七 令, 可化為方程, 它表示過定點(diǎn)的直線, 它在軸與軸上的截距分別為,.由于=+, 說明幾何意義是過定點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和.設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為, 由于截距為正, 得 . 它在軸上的截距為, 在軸上的截距為, 則=, 當(dāng)且僅當(dāng),時, 有最小值.2 把化歸為橢圓長、短半軸平方和的技巧解法八 令, 可化為方程, 它表示過定點(diǎn)的橢圓,其中,由得=, 進(jìn)而得. = =五、利用判別式法求函數(shù)最值,解法九 , 可化為，由于, 得, 由該方程在上有實(shí)根,得, 即 解得 , 因此的最小值為.六、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值解法十 , 當(dāng), 得;當(dāng) 得 , 故 在處有最小值.這道題構(gòu)造精巧

4、、新穎別致，頗有思考性、挑戰(zhàn)性,求解入口寬,方法靈活多變。以上十種解法從多角度全方位來求解，其解法基本概括了求函數(shù)最值的常規(guī)方法與技巧，這種一題多解，對夯實(shí)雙基,提升能力有事半功倍的效果。盤點(diǎn)求最值方法與技巧甘肅省高臺縣第一中 韓天禧 (郵編734300)題目（2009天津卷理）設(shè)若的等比公項,則的最小值 A 8 B 4 C 1 D 解析 因為，所以.1均值不等式法解法 1 （1的代換技巧）.當(dāng)即時“=”成立，故選擇C解法 2 （1的三角代換技巧）由，令，則.當(dāng),即時有最小值4.解法 3 （均值不等式技巧）由,得，又.即時有最小值4.解法4 (構(gòu)造結(jié)論技巧) 由，得，兩式相加得.即時有最小值4

5、.2向量法解法5 設(shè) , , 由 , 得：.當(dāng) 時,即時有最小值4.3. 數(shù)形結(jié)合法解法6. （構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離技巧）記：外的一點(diǎn)P到直線的距離=它不大于P點(diǎn)到原點(diǎn)間的距離=，即，得.解法7. （ 構(gòu)造直線在坐標(biāo)軸上的截距和技巧）令, 得，它表示定點(diǎn)在直線上, 該直線在軸與軸上的截距分別為,. 由于, 說明的幾何意義是過定點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距和.設(shè)過定點(diǎn)的直線方程為, 由于截距為正, 得 . 它在軸上的截距為, 在軸上的截距為, 則.當(dāng)時,即時有最小值4.解法8. （構(gòu)造橢圓長、短半軸平方和技巧）令得，它表示定點(diǎn)在橢圓上，該橢圓長半軸平方與短半軸平方分別為,.由于, 說明的幾何意義是過定

6、點(diǎn)的橢圓的長、短半軸平方和.由得, 又.故.當(dāng)時,即時有最小值4.4. 換元法解法9 (變元增量技巧)由可知，.故設(shè)，其中得，代入得.故.當(dāng)時,即時有最小值4.解法10 （三角換元技巧）由，令，其中 設(shè), 再設(shè) ，其中 得 , ,由+得, 又由, 得 所以 當(dāng)且僅當(dāng)時, 取得最大值1, 就有最小值為2，有最小值為4. 5. 判別式法解法11 設(shè),則代入得關(guān)于的一元二次方程, 其中,在上有實(shí)根得, 即 解得 .6. 配方法解法12 由，得,.當(dāng)時有最小值4.7.導(dǎo)數(shù)法解法13記，由，得,，, 當(dāng),得；當(dāng) 得 , 故 在時有最小值.這道題構(gòu)造精巧、新穎別致，頗有思考性、挑戰(zhàn)性,求解入口寬,方法靈活

7、多變。以上十三種解法從多角度全方位來求解，其解法基本概括了求函數(shù)最值的常規(guī)方法與技巧，這種一題多解，對夯實(shí)雙基,提升能力有事半功倍的效果。練習(xí)1.(2009山東卷理)設(shè)x，y滿足約束條件 ， 若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a0，b0）的值是最大值為12，則的最小值為A. B. C. D. 42.（06上海春）已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則三角形面積的最小值為 .3.（08全國一10）若直線通過點(diǎn)，則 A B CD 答案： 1. A； 2. 4； 3. D.“七招”巧解一類最值孟金梅 甘肅省高臺縣第一中學(xué) （734300） 本文由一道高考題（07年山東卷）變式,從不同思

8、維角度出發(fā),對此類最值問題求解作以歸納,以供參考.題目 已知且求的最值.第一招 消元(將兩個變量消去一個)由得(,即)所以 ,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,故時,取得最小值16. 第二招 常數(shù)“1”的變換因為且，所以=，當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,由，解得故時,取得最小值16.第三招 三角換元由可設(shè)，其中，則所以 =當(dāng)且僅當(dāng)即時,取得最小值16.第四招 和差換元由可設(shè)則所以= = 當(dāng)且僅當(dāng)，此時 時,取得最小值16.第五招 數(shù)形結(jié)合L0L1L0由得作出函數(shù)的圖像（如右），令利用“線性規(guī)劃”知識，平移直線至位置時，直線與曲線相切與點(diǎn)A，此時取得最小值.由消去得，則，解得或.經(jīng)檢驗不合題意舍去,故,此時A(4,12).所以時,取得最小值16.第六招 構(gòu)造向量法,即利用向量性質(zhì)(當(dāng)且僅當(dāng)與同向共線時等號成立)由且，設(shè)則所以,由