非線性方程求根課件(PPT 42頁(yè))

1、第7章 非線性方程求根7.1 方程求根與二分法7.2 迭代法及其收斂性7.3 迭代收斂的加速方法7.4 牛頓法7.5 弦截法與拋物線法7.6 解非線性方程組的牛頓迭代法第1頁(yè)，共42頁(yè)。7.1 方程求根與二分法 例如代數(shù)方程 x5-x3+24x+1=0, 超越方程 sin(5x2)+e-x=0. 對(duì)于不高于4次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于4次的代數(shù)方程則無(wú)精確的求根公式，至于超越方程 就更無(wú)法求出其精確的解，因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似根也就成為迫切需要解決的問(wèn)題，為此，本章介紹幾種常見(jiàn)的非線性方程的近似求根方法.第2頁(yè)，共42頁(yè)。7.1.1 引言本章主要討論單變量非線性方程f

2、(x)=0 (1.1)的求根問(wèn)題，這里xR, f(x)Ca, b. 在科學(xué)與工程計(jì)算中有大量方程求根問(wèn)題，其中一類特殊的問(wèn)題是多項(xiàng)式方程其中系數(shù)ai(i=0,1,n)為實(shí)數(shù).第3頁(yè)，共42頁(yè)。方程f(x)=0的根x*，又稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，它使得f(x*)=0，若f(x)可分解為f(x)=(x-x*)mg(x)，其中m為正整數(shù)，且g(x*)0. 當(dāng)m=1時(shí)，則稱x*為單根，若m1稱x*為(1.1)的m重根，或x*為函數(shù)f(x)的m重零點(diǎn). 若x*是f(x)的m重零點(diǎn)，且g(x)充分光滑，則當(dāng)f(x)為代數(shù)多項(xiàng)式(1.2)時(shí)，根據(jù)代數(shù)基本定理可知，n次代數(shù)方程f(x)=0在復(fù)數(shù)域有且只有n個(gè)

3、根(含復(fù)根，m重根為m個(gè)根).第4頁(yè)，共42頁(yè)。n=1,2時(shí)方程的根是大家熟悉的，n=3,4時(shí)雖有求根公式但比較復(fù)雜，可在數(shù)學(xué)手冊(cè)中查到，但已不適合數(shù)值計(jì)算，而n5時(shí)就不能用公式表示方程的根.因此，通常對(duì)n3的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程(1.1)一樣都可采用迭代法求根.迭代法要求給出根x*的一個(gè)近似，若f(x)Ca, b且f(a)f(b)0，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)中的介值定理可知方程f(x)=0在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這時(shí)稱a, b為方程(1.1)的有根區(qū)間，通?？赏ㄟ^(guò)逐次搜索法求得方程(1.1)的有根區(qū)間.第5頁(yè)，共42頁(yè)。 若 f(x)在a,b內(nèi)連續(xù), 且 f(a) f(b)0,

4、f(0)=10, f(3)=-260. 可見(jiàn)f(x)僅有兩個(gè)實(shí)根, 分別位于(0, 3), (3, +), 又f(4)=10, 所以第二根的隔根區(qū)間可縮小為(3, 4). 以上分析可用下表表示x(-,0)0(0,3)3(3,4)4(4,+) f(x) f (x) - 0+ - 0-+ 隔根區(qū)間(0,3)(3,4)第8頁(yè)，共42頁(yè)。2. 逐步搜索法 從區(qū)間a, b的左端點(diǎn) a 出發(fā), 按選定的步長(zhǎng)h 一步步向右搜索，若f(a+jh)f(a+(j+1)h)0 (j=0,1,2,)則區(qū)間a+jh, a+(j+1)h內(nèi)必有根. 搜索過(guò)程也可從b開(kāi)始，這時(shí)應(yīng)取步長(zhǎng) h0.第9頁(yè)，共42頁(yè)。7.1.2 二

5、分法 設(shè)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), f(a)f(b)0, 則在a, b 內(nèi)有方程的根. 取a, b的中點(diǎn) 將區(qū)間一分為二. 若 f (x0)=0, 則x0就是方程的根, 否則判別根 x*在 x0 的左側(cè)還是右側(cè).若f(a) f(x0)0, 則x*(a, x0), 令 a1= a, b1=x0;若f(x0) f(b)0, 則x*(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b. 不論出現(xiàn)哪種情況, (a1, b1)均為新的有根區(qū)間, 它的長(zhǎng)度只有原有根區(qū)間長(zhǎng)度的一半, 達(dá)到了壓縮有根區(qū)間的目的.第10頁(yè)，共42頁(yè)。 對(duì)壓縮了的有根區(qū)間, 又可實(shí)行同樣的步驟, 再壓縮. 如此反復(fù)進(jìn)行, 即可的一

6、系列有根區(qū)間套 由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間an , bn的長(zhǎng)度為若每次二分時(shí)所取區(qū)間中點(diǎn)都不是根，則上述過(guò)程將無(wú)限進(jìn)行下去. 當(dāng) n 時(shí)，區(qū)間必將最終收縮為一點(diǎn)x* ，顯然x*就是所求的根.第11頁(yè)，共42頁(yè)。 若取區(qū)間an , bn的中點(diǎn)作為x*的近似值，則有下述誤差估計(jì)式只要 n 足夠大, (即區(qū)間二分次數(shù)足夠多)，誤差就可足夠小. 由于在偶重根附近曲線 y=f(x) 為上凹或下凸, 即 f(a)與f(b)的符號(hào)相同, 因此不能用二分法求偶重根.第12頁(yè)，共42頁(yè)。 例2 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的實(shí)根,要求誤差不超過(guò)0.005. 解 由例1可知x*(

7、1, 1.5), 要想滿足題意，即：則要|x*-xn|0.005由此解得 取n=6, 按二分法計(jì)算過(guò)程見(jiàn)下表, x6 = 1.3242 為所求之近似根.第13頁(yè)，共42頁(yè)。n an bn xn f(xn)說(shuō)明01234561.01.251.251.31251.31251.31251.32031.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.251.3751.31251.34381.32811.32031.3242-+-+-(1) f(a)0(2) 根據(jù)精 度要求，取到小數(shù)點(diǎn)后四位 即可. 二分法的優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，且總是收斂的，缺點(diǎn)是收斂的太慢，故一般不單獨(dú)將其用于求根，只

8、是用其為根求得一個(gè)較好的近似值.第14頁(yè)，共42頁(yè)。二分法的計(jì)算步驟:步驟1 準(zhǔn)備 計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值f(a), f(b). 若f(a)f(a+b)/2)0, 則以(a+b)/2代替b ，否則以(a+b)/2代替a.步驟2 二分 計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間中點(diǎn)(a+b)/2處的值f(a+b)/2).步驟3 判斷 若f(a+b)/2)=0，則(a+b)/2即是根，計(jì)算過(guò)程結(jié)束，否則檢驗(yàn). 反復(fù)執(zhí)行步驟2和步驟3，直到區(qū)間a, b長(zhǎng)度小于允許誤差，此時(shí)中點(diǎn)(a+b)/2即為所求近似根.第15頁(yè)，共42頁(yè)。7.2 牛 頓 法7.2.1 牛頓法及其收斂性 對(duì)于方程f(x)=0，如果f

9、(x)是線性函數(shù)，則它的求根是容易的. 牛頓法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程f(x)=0逐步歸結(jié)為某種線性方程來(lái)求解. 設(shè)已知方程f(x)=0有近似根x0，且在 x0附近f(x)可用一階泰勒多項(xiàng)式近似，表示為第16頁(yè)，共42頁(yè)。當(dāng)f(x0)0時(shí)，方程f(x)=0可用線性方程(切線) 近似代替，即 f(x0)+f(x0)(x-x0)=0. (4.1)解此線性方程得得迭代公式此式稱為牛頓(Newton)迭代公式.第17頁(yè)，共42頁(yè)。牛頓法有顯然的幾何意義，方程f(x)=0的根x*可解釋為曲線y=f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 設(shè)xk是根x*的某個(gè)近似值，過(guò)曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)為

10、xk的點(diǎn)Pk引切線，并將該切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xk+1作為x*的新的近似值. 注意到切線方程為這樣求得的值xk+1必滿足(4.1), 從而就是牛頓公式(4.2)的計(jì)算結(jié)果. 由于這種幾何背景，所以牛頓迭代法也稱切線法.xyx*xky=f(x)xk+1PkPk+1xk+2第18頁(yè)，共42頁(yè)。牛頓迭代法的收斂性設(shè)x*是f(x)的一個(gè)單根，即f(x*)=0，f(x*)0, 有牛頓迭代法的迭代函數(shù)為由定理4的(2.9)式可得(4.3)式第19頁(yè)，共42頁(yè)。由此得到，當(dāng)x*為單根時(shí)，牛頓迭代法在根x*的鄰近是二階(平方)收斂的.關(guān)于x*為重根時(shí)，牛頓迭代法在根x*的鄰近的收斂性在后面討論.定理(局部收

11、斂性) 設(shè)fC2a, b, 若x*為f(x)在a, b上的根，且f(x*)0，則存在x*的鄰域U, 使得任取初值x0U，牛頓法產(chǎn)生的序列xk收斂到x*，且滿足即有下面的局部收斂性定理.第20頁(yè)，共42頁(yè)。 解 將原方程化為xex= 0，則牛頓迭代公式為取 x0=0.5，迭代得x1=0.566311, x2=0.5671431, x3=0.5671433. f(x)=xex， f(x)=1+ex， 例7 用牛頓迭代法求方程x=ex在x=0.5附近的根.第21頁(yè)，共42頁(yè)。7.4.3 簡(jiǎn)化牛頓法與牛頓下山法牛頓法的優(yōu)點(diǎn)是收斂快，缺點(diǎn)每步迭代要計(jì)算f(xk)及f(xk)，計(jì)算量較大，且有時(shí)f(xk)

12、計(jì)算較困難；初始近似值x0只在根x*附近才能保證收斂，如x0給的不合適可能不收斂. 為克服這兩個(gè)缺點(diǎn)，通?？捎孟率龇椒?(1) 簡(jiǎn)化牛頓法，也稱平行弦法，其迭代公式為迭代函數(shù)為 (x)=x-Cf(x). 第22頁(yè)，共42頁(yè)。若|(xk)|=|1-Cf(x)|1，即取0Cf(x)0)重根時(shí)，則f(x)可表為 f(x)=(x-x*)mg(x).其中g(shù)(x*)0，此時(shí)用牛頓迭代法(4.2)求x*仍然收斂，只是收斂速度將大大減慢. 事實(shí)上，因?yàn)榈搅頴k=xkx*，則第25頁(yè)，共42頁(yè)?？梢?jiàn)用牛頓法求方程的重根時(shí)僅為線性收斂.從而有第26頁(yè)，共42頁(yè)。7.5 弦截法與拋物線法用牛頓法求方程f(x)

13、=0的根，每步除計(jì)算f(xk)外還要算f(xk)，當(dāng)函數(shù)f(x)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算f(x)往往比較困難，為此可以利用已求函數(shù)值f(xk),f(xk-1),來(lái)回避導(dǎo)數(shù)值f(xk)的計(jì)算. 這類方法是建立在插值原理基礎(chǔ)上的，下面介紹兩種常用方法.第27頁(yè)，共42頁(yè)。7.5.1 弦截(割線)法設(shè)xk,xk-1是f(x)=0的近似根，我們利用f(xk),f(xk-1)構(gòu)造一次插值多項(xiàng)式p1(x)，并用p1(x)=0的根作為方程f(x)=0的新的近似根xk+1，由于因此有第28頁(yè)，共42頁(yè)。這樣導(dǎo)出的迭代公式(5.2)可以看做牛頓公式中的導(dǎo)數(shù) 用差商 取代的結(jié)果.(5.2)式有明顯的幾何意義： 設(shè)曲線y=

14、f(x)上橫坐標(biāo)為xk-1和xk的點(diǎn)分別為P0和Pk, 則差商 表示弦 的斜率, 弦 的方程為第29頁(yè)，共42頁(yè)。Ox*xk+1xkPkxk-1yxPk-1因此，按(5.2)式求得xk+1實(shí)際上是兩點(diǎn)弦線 與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(令y=0解出x即可).這種算法因此而形象地稱為弦截(割線)法.第30頁(yè)，共42頁(yè)。弦截法與切線法(牛頓法)都是線性化分法，但兩者有本質(zhì)的區(qū)別. 切線法在計(jì)算xk+1時(shí)只用到前一步的值xk，而弦截法要用到前面兩步的結(jié)果xk-1,xk，因此使用這種方法必須先給出兩個(gè)開(kāi)始值x0, x1.第31頁(yè)，共42頁(yè)。例題 用牛頓迭代法和割線法求方程 f(x)=x4+2x2x3=0， 在區(qū)

15、間(1, 1.5)內(nèi)之根(誤差為10-9). 解 取x0=1.5，用牛頓法, 可得x6=1.12412303030；取x0=1.5, x1=1，用雙點(diǎn)割線法，迭代6次得到同樣的結(jié)果，第32頁(yè)，共42頁(yè)。7.5.2 拋物線法設(shè)已知方程f(x)=0的三個(gè)近似根xk,xk-1,xk-2，我們以這三點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式p2(x)，并適當(dāng)選取p2(x)的一個(gè)零點(diǎn)xk+1作為新的近似根，這樣確定的迭代過(guò)程稱為拋物線法，亦稱為密勒(Mller)法. 在幾何圖形上, 這種方法的基本思想是用拋物線y=p2(x)與x軸的交點(diǎn)xk+1作為所求根x*的近似位置.第33頁(yè)，共42頁(yè)。Ox*xk+1xky=P2(x

16、)xk-2yxy=f(x)xk-1拋物線法的幾何意義見(jiàn)下面圖形.第34頁(yè)，共42頁(yè)。現(xiàn)在推導(dǎo)拋物線法的計(jì)算公式. 插值多項(xiàng)式有兩個(gè)零點(diǎn)式中因了在(5.3)式定出一個(gè)值xk+1，我們需要討論根式前正負(fù)號(hào)的取舍問(wèn)題.在xk, xk-1, xk-2三個(gè)近似值中，自然假定xk更接近所求的根x*，這時(shí)，為了保證精度，我們選(5.3)式中接近xk的一個(gè)值作為新的近似根xk+1. 為此，只要取根式前的符號(hào)與的符號(hào)相同.第35頁(yè)，共42頁(yè)。 例11 用拋物線法求解方程f(x)=xex-1=0. 解 取x0=0.5, x1=0.6, x2=0.56532開(kāi)始，計(jì)算得f(x0)=-0.175639, f(x1)=

17、0.093271, f(x2)=-0.005031.fx1,x0=2.68910, fx2,x1=2.83373, fx2,x1,x0=2.21418.故代入(5.3)式求得以上計(jì)算表明，拋物線法比弦截法收斂更快.第36頁(yè)，共42頁(yè)。7.6 解非線性方程組的牛頓迭代法考察方程組其中f1,fn均為(x1,xn)的多元函數(shù). 若用向量記號(hào)記x=(x1,xn)TRn, F=(f1,fn)T, (6.1)就可寫(xiě)成 F(x)=0. (6.2)第37頁(yè)，共42頁(yè)。當(dāng)n2，且 f1,fn 中至少有一個(gè)是自變量 x1,xn 的非線性函數(shù)，則稱方程組(6.1)為非線性方程組. 非線性方程組求根問(wèn)題是前面介紹的方程(即n=2)求根的直接推廣，實(shí)際上只要把前面介紹的單變量函數(shù)f(x)看成向量函數(shù)F(x) ，則可得向量方程(6.2)的一個(gè)近似根x(k)=(x1(k),xn(k)T，將函數(shù)F(x)的分量fi(x