計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)課件：第五章 異方差性(共18頁(yè))

1、PAGE PAGE 21 第五章 異方差(fn ch)性本章教學(xué)要求：根據(jù)類型，異方差性是違背古典假定情況下線性回歸模型建立的另一問題(wnt)。通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)到，掌握異方差的基本概念包括經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋，異方差的出現(xiàn)對(duì)模型的不良影響，診斷異方差的方法和修正異方差的方法。經(jīng)過學(xué)習(xí)能夠處理模型中出現(xiàn)的異方差問題。第一節(jié) 異方差(fn ch)性的概念一、例子例1，研究我國(guó)制造業(yè)利潤(rùn)函數(shù)，選取銷售收入作為解釋變量，數(shù)據(jù)為1998年的食品年制造業(yè)、飲料制造業(yè)等28個(gè)截面數(shù)據(jù)（即n=28）。數(shù)據(jù)如下表,其中y表示制造業(yè)利潤(rùn)函數(shù)，x表示銷售收入（單位為億元）。Y對(duì)X的散點(diǎn)圖為從散點(diǎn)圖可以(ky)看出，在線性

2、的基礎(chǔ)(jch)上，有的點(diǎn)分散幅度較小，有的點(diǎn)分散幅度較大。因此，這種分散幅度的大小不一致，可以認(rèn)為是由于銷售收入的影響，使得制造業(yè)利潤(rùn)偏離均值的程度發(fā)生了變化，而這種偏離均值的程度大小不同是一種什么(shn me)現(xiàn)象？如何定義？如果非線性，則屬于哪類非線性，從圖形所反映的特征看并不明顯。下面給出制造業(yè)利潤(rùn)對(duì)銷售收入的回歸估計(jì)。模型(mxng)的書寫格式為 通過變量的散點(diǎn)圖、參數(shù)估計(jì)、殘差圖，可以看到模型中（隨機(jī)誤差）很有可能存在一種(y zhn)系統(tǒng)性的表現(xiàn)。例2，改革開放以來，各地區(qū)的醫(yī)療機(jī)構(gòu)都有了較快發(fā)展，不僅政府建立了一批醫(yī)療機(jī)構(gòu)，還建立了不少民營(yíng)醫(yī)療機(jī)構(gòu)。各地醫(yī)療機(jī)構(gòu)的發(fā)展?fàn)顩r(z

3、hungkung)，除了其他因素外主要決定于對(duì)醫(yī)療服務(wù)的需求量，而醫(yī)療服務(wù)需求與人口數(shù)量有關(guān)。為了給制定醫(yī)療機(jī)構(gòu)的規(guī)劃提供依據(jù)，分析比較醫(yī)療機(jī)構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系，建立衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型。根據(jù)四川省2000年21個(gè)地市州醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)與人口數(shù)資料對(duì)模型估計(jì)的結(jié)果如下： （291.5778） (0.644284) t =(-1.931062) (8.340265) 式中表示(biosh)衛(wèi)生醫(yī)療機(jī)構(gòu)數(shù)（個(gè)），表示人口數(shù)量（萬人）。從回歸模型估計(jì)的結(jié)果(ji gu)看，人口數(shù)量對(duì)應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差較小，統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于臨界值，說明人口數(shù)量對(duì)醫(yī)療機(jī)構(gòu)確有顯著影響，可決系數(shù)和修正的可決系數(shù)還可以，F(xiàn)

4、檢驗(yàn)(jinyn)結(jié)果也明顯顯著。表明該模型的估計(jì)效果還不錯(cuò)，可以認(rèn)為人口數(shù)量每增加1萬人，平均說來醫(yī)療機(jī)構(gòu)將增加5.3735個(gè)。然而，這里得出的結(jié)論可能是不可靠的，按照四川省的經(jīng)濟(jì)水平和實(shí)際情況看，平均說來每增加1萬人口可能并不需要增加這樣多的醫(yī)療機(jī)構(gòu)，所得結(jié)論并不符合真實(shí)情況。那末，有什么充分的理由說明這一回歸結(jié)果不可靠呢？更為接近真實(shí)的結(jié)論又是什么呢？ 二、異方差的定義設(shè)模型為 如果對(duì)于模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)，有()則稱具有異方差性。進(jìn)一步，把異方差看成是由于某個(gè)解釋變量的變化而引起的，則 例1，一個(gè)食品支出與收入的關(guān)系。表明異方差的產(chǎn)生與人們的收入狀況有關(guān)。設(shè)食品支出與收入之間的關(guān)系為 式中

5、，Y為食品支出，X為收入，X2為收入的平方，并且。在食品支出與收入這種假定關(guān)系下，當(dāng)X很大的時(shí)候，Y與均值的偏差有可能比當(dāng)X很小時(shí)大。這是由于低收入住戶的食品支出幾乎全部由收入來解釋，而高收入住戶的食品支出在很大程度上取決于其它因素，這樣就出現(xiàn)了高收入住戶的食品支出有一部分沒有得到其收入的解釋，而這一部分可能會(huì)相當(dāng)大。例2，研究浙江省農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值與農(nóng)業(yè)勞動(dòng)力人數(shù)、耕地面積之間的關(guān)系。選取該省17個(gè)縣市1992年的數(shù)據(jù)資料（截面數(shù)據(jù)），為了研究的方便，將各縣市按農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從小到大進(jìn)行了排列。通過EViews的操作可以看到該問題中的農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值與其(yq)均值之間差異程度的變化現(xiàn)象。例3，根據(jù)美國(guó)一項(xiàng)

6、制造業(yè)調(diào)查的資料，可以(ky)看到企業(yè)規(guī)模越大，平均生產(chǎn)力會(huì)越高，但生產(chǎn)力的波動(dòng)也變大了（用標(biāo)準(zhǔn)差反映），數(shù)據(jù)見下表。雇傭人數(shù)平均生產(chǎn)力生產(chǎn)力的標(biāo)準(zhǔn)差1-45-910-1920-4950-99100-249250-499500-9991000-249993558544796283758389941897951028111750248726423055270631194493491058935550表明生產(chǎn)力的波動(dòng)(bdng)隨著企業(yè)人數(shù)的增加而變大。三、產(chǎn)生異方差的背景1、由于模型中缺失了某些重要解釋變量，或者是隨著時(shí)間的推移有可能成為重要影響因素的變量，但也應(yīng)注意設(shè)定誤差問題。2、截面數(shù)據(jù)更

7、易引起異方差（時(shí)間序列數(shù)據(jù)也要引起異方差，比如人們的打字技術(shù)隨時(shí)間推移而出現(xiàn)的差異）。3、由于樣本數(shù)據(jù)的觀測(cè)誤差。4、異方差的出現(xiàn)與某個(gè)解釋變量的變動(dòng)有關(guān)。5、模型的設(shè)定誤差。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，人們很難得到總體u的信息，因此，我們只能夠通過對(duì)殘差e的認(rèn)識(shí)和處理，來實(shí)現(xiàn)對(duì)總體隨機(jī)誤差是否存在異方差的推斷和分析。第二節(jié) 異方差性對(duì)模型的影響一、在異方差存在(cnzi)的前提下，參數(shù)估計(jì)值的特性1、參數(shù)(cnsh)估計(jì)值仍是無偏的。設(shè)模型(mxng)為 對(duì)于參數(shù)的估計(jì)量用如下離差形式表示 式中。則 在證明中用了假定。2、參數(shù)估計(jì)值的方差不再是最小。在異方差下同理在上述推導(dǎo)中用(zhngyng)了假定

8、。在上述(shngsh)討論的過程中，用到了邊際分析的思想。比較上述（a）式與（b）式的結(jié)果(ji gu)，可以看到只有當(dāng)對(duì)每個(gè)i都有時(shí)，才能相等。因此，在同方差假定下，有參數(shù)估計(jì)值的方差最小，而在異方差下，參數(shù)估計(jì)值的方差就不再最小了。二、參數(shù)顯著性檢驗(yàn)失效在參數(shù)估計(jì)中，如果忽略上述差異，仍然用（b）作為參數(shù)估計(jì)方差去衡量，可能會(huì)使得參數(shù)估計(jì)值的方差低估其真實(shí)方差。同時(shí)，當(dāng)出現(xiàn)異方差時(shí)，與Xi的變化有關(guān)，它不再為一固定值。從而t統(tǒng)計(jì)量不確定，這時(shí)參數(shù)（如）的置信區(qū)間將會(huì)無意義。三、預(yù)測(cè)精度降低由于受上述差異的影響，這時(shí)不再是的無偏估計(jì)，從而置信區(qū)間將受到嚴(yán)重的誤導(dǎo)，并且預(yù)測(cè)區(qū)間也會(huì)隨著方差的

9、變動(dòng)而變化，從而使Y的預(yù)測(cè)區(qū)間的精度會(huì)降低。 異方差性的檢驗(yàn)對(duì)異方差性的檢驗(yàn)主要有以下一些方法，1、圖形(txng)法。2、Goldfeld-Quandt方法(fngf)。3、Glejser方法(fngf)。4、White方法。5、ARCH方法。6、Park檢驗(yàn)。7、Spearman等級(jí)相關(guān)檢驗(yàn)。8、Breusch-Pagan-Godfrey檢驗(yàn)。9、Koenker-Bassett檢驗(yàn)。等等。下面只介紹前1-5檢驗(yàn)方法。圖形法。由殘差，得到。以為縱軸，某個(gè)解釋變量為橫軸，畫出散點(diǎn)圖，由此可粗略判斷異方差的存在。利用前面制造業(yè)利潤(rùn)與銷售收入之間短系的例子，由殘差平方與解釋變量的散點(diǎn)圖說明異方差存

10、在。2、Goldfeld-Quandt方法。（1）前提條件。樣本容量要充分(chngfn)的大（為什么？）；隨機(jī)誤差項(xiàng)正態(tài)分布，除異方差(fn ch)以外，其它基本假定成立。（2）檢驗(yàn)的基本(jbn)步驟。將解釋變量的取值按從小到大排序（也可從大到小，但F統(tǒng)計(jì)量的分子于分母需要交換，為什么？）。將排列在中間的約1/4的觀察值刪除掉，記為c，再將剩余的分為兩個(gè)部分，每部分觀察值的個(gè)數(shù)為(n-c)/2（根據(jù)Goldfeld和Quandt的證實(shí)，一元線性模型里當(dāng)樣本容量大于60時(shí)，c可取16，而當(dāng)n=30時(shí)，取c為4）。Jack Johnston，John DiNardo （2002）指出，在除去其

11、它因素之外，該檢驗(yàn)功效有賴于剔除的c的多少。如果c太大，的自由度會(huì)很小，檢驗(yàn)功效自然會(huì)很低；如果c太小，將會(huì)減弱之間的對(duì)比，檢驗(yàn)供銷也會(huì)很低。因此，按照經(jīng)驗(yàn)，一般c的選取大致在左右。提出假設(shè)。即構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量。分別對(duì)上述兩個(gè)部分的觀察值求回歸模型，由此得到的兩個(gè)部分的殘差平方和為，它們的自由度均為(n-c)/2-k，其中k為參數(shù)的個(gè)數(shù)。（這里如果假定u服從正態(tài)分布，并且同方差性假定是真實(shí)的，則可證明下式成立）于是在原假設(shè)成立的前提下，有 判斷。給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值，如果 F*則拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，即模型中的隨機(jī)誤差存在異方差。例如，分析某地區(qū)家庭(jitng)消費(fèi)與收入之間

12、的關(guān)系，n=30。下面是在EViews上運(yùn)用G-Q檢驗(yàn)的操作過程。3、Glejser方法(fngf)。Glejser檢驗(yàn)的基本思想(sxing)是，由OLS法得到殘差，取的絕對(duì)值，然后將對(duì)某個(gè)解釋變量回歸，根據(jù)回歸模型的顯著性和擬合優(yōu)度來判斷是否存在異方差。該檢驗(yàn)的特點(diǎn)是不僅能對(duì)異方差的存在進(jìn)行判斷，而且還能對(duì)異方差隨某個(gè)解釋變量變化的函數(shù)形式進(jìn)行診斷。該檢驗(yàn)要求變量的觀測(cè)值為大樣本。Glejser檢驗(yàn)的具體步驟：（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立回歸模型，并求殘差序列。 （2）用殘差絕對(duì)值對(duì)的進(jìn)行回歸，由于與的真實(shí)函數(shù)形式并不知道，只能用樣本數(shù)據(jù)對(duì)各種函數(shù)形式進(jìn)行試驗(yàn)，從中選擇最佳形式。Glejser曾

13、提出如下一些假設(shè)的函數(shù)形式： 式中v為隨機(jī)誤差項(xiàng)。（3）通?？捎米鳛榈奶娲兞?，對(duì)所選函數(shù)形式回歸。用回歸所得到的、t、F等信息判斷，若表明參數(shù)顯著不為零，即認(rèn)為存在異方差性。如果是小樣本情況，Glejser檢驗(yàn)只能作為了解異方差性某些信息的一種手段。4、White檢驗(yàn)方法。檢驗(yàn)條件，要求在大樣本下（為什么？）。White檢驗(yàn)的基本步驟，以一個(gè)二元線性回歸模型為例。設(shè)模型(mxng)為 并且(bngqi)，設(shè)異方差與的一般(ybn)關(guān)系為 其中為隨機(jī)誤差項(xiàng)。具體操作如下求樣本回歸模型。計(jì)算殘差，并求。用殘差平方作為異方差的估計(jì)，并建立對(duì)的輔助回歸，即 。由此計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，其中n為樣本容量，為輔助

14、回歸函數(shù)的可決系數(shù)。提出假設(shè)中至少有一個(gè)不為零，漸進(jìn)服從自由度為5（在本例中除了截距項(xiàng)以外，斜率系數(shù)有5項(xiàng)）的分布，給定顯著性水平，查分布表得臨界值。判斷，計(jì)算值，如果，則拒絕原假設(shè)，表明模型中隨機(jī)誤差存在異方差。注意，該檢驗(yàn)的功效易受自由度的影響，一般地，當(dāng)有k-1個(gè)解釋變量時(shí)，分布的自由度為。Wooldridge（2000）指出在解釋變量過多時(shí)，White檢驗(yàn)存在自由度減少的缺陷，因此，建議采用如下方法可較好彌補(bǔ)其不足。設(shè)樣本回歸模型為 將Y的擬合值平方，構(gòu)建解釋變量所有平方項(xiàng)和所有交叉乘積項(xiàng)的特殊函數(shù)其中(qzhng)，v為隨機(jī)誤差項(xiàng)。 提出(t ch)原假設(shè)H0：。則可根據(jù)估計(jì)結(jié)果的F

15、檢驗(yàn)值判斷是否存在(cnzi)異方差，這時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從自由度為（2，n-3）的F分布。因此，便可根據(jù)顯著性水平查得臨界值，通過與F統(tǒng)計(jì)量值比較，最終得到對(duì)模型異方差的檢驗(yàn)。EViews操作結(jié)果及判斷分析。見實(shí)例。5、ARCH檢驗(yàn)方法。檢驗(yàn)的步驟。建立ARCH過程 式中為隨機(jī)誤差。提出假設(shè)， 中至少有一個(gè)不為零對(duì)原模型進(jìn)行回歸，求殘差e，并計(jì)算殘差平方序列。求輔助回歸 計(jì)算輔助回歸得可決系數(shù)，并且在H0成立下，基于大樣本，有漸進(jìn)服從，因此，ARCH檢驗(yàn)要求為大樣本。給定顯著性水平，查卡方分布表得臨界值，如果，則拒絕原假設(shè)，表明模型中得隨機(jī)誤差存在異方差。ARCH檢驗(yàn)的EViews操作及對(duì)結(jié)果的

16、解釋。White檢驗(yàn)與ARCH檢驗(yàn)的共同特點(diǎn)是能比較方便地對(duì)異方差進(jìn)行診斷，但ARCH檢驗(yàn)不能確定是哪一個(gè)解釋變量以什么形式引起的異方差現(xiàn)象。第四節(jié) 異方差(fn ch)性的補(bǔ)救措施如果經(jīng)過檢驗(yàn)后模型中發(fā)現(xiàn)存在異方差，就需要采取必要(byo)的措施對(duì)異方差問題進(jìn)行修正。基本想法是運(yùn)用適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法，消除或減弱異方差性對(duì)模型的影響，以提高估計(jì)參數(shù)的精度。 一、加權(quán)最小二乘法(chngf)（WLS）1、加權(quán)最小二乘法的基本含義：在異方差性的情況下，由于不同的Xi使得ui偏離均值的離散程度不一樣，但是，在人們對(duì)總體異方差并無信息的情況下，要直接對(duì)異方差進(jìn)行修正是很困難的?；跇颖镜男畔?，則存在當(dāng)?shù)闹?/p>

17、較小時(shí)，殘差ei所提供的信息較少，這時(shí)需要給予重視，則對(duì)較小的給予較大的權(quán)數(shù)；而當(dāng)?shù)闹递^大時(shí)，殘差ei所提供的信息較大，這時(shí)需要給予折扣，則對(duì)較大的給予較小的權(quán)數(shù)。從而，使得更好地反映對(duì)殘差平方和的影響程度。2、按照上述意義，如果已知，則假設(shè)權(quán)數(shù)為，（），有對(duì)運(yùn)用最小二乘法，得參數(shù)估計(jì)式： 式中，。所以，加權(quán)最小二乘法是對(duì)式運(yùn)用最小二乘法，所得的估計(jì)量稱為加權(quán)最小二乘估計(jì)量。并且，當(dāng)權(quán)數(shù)為1或相同時(shí)，加權(quán)最小二乘估計(jì)量就是普通最小二乘估計(jì)量。3、加權(quán)的結(jié)果，即對(duì)原模型中每一個(gè)變量進(jìn)行轉(zhuǎn)換(zhunhun)，轉(zhuǎn)換的目的使得隨機(jī)誤差滿足同方差假定。 由此可知，新的隨機(jī)誤差的方差(fn ch)為同方

18、差。 （練習(xí)(linx)：試說明式（）與式（）等價(jià)）二、對(duì)原模型變換的方法基本思路：設(shè)模型為，并且存在異方差。 （1）設(shè)（的具體形式可由Glejser檢驗(yàn)得以證實(shí)）。（2）令權(quán)數(shù)為，將該權(quán)數(shù)同乘上述模型式的兩端，這時(shí)新的隨機(jī)誤差項(xiàng)為，并且是同方差。事實(shí)上 表明為同方差了。（3）可有如下若干種形式：注意(zh y)，對(duì)模型變換的方法與加權(quán)最小二乘法是等價(jià)的。三、模型(mxng)的對(duì)數(shù)變換1、對(duì)數(shù)變換的含義(hny)，對(duì)變量取對(duì)數(shù)強(qiáng)調(diào)應(yīng)符合經(jīng)濟(jì)意義。2、運(yùn)用對(duì)數(shù)變換具有以下特點(diǎn)：（1）對(duì)數(shù)變換可以縮小測(cè)定變量值尺度的差異。（2）對(duì)數(shù)變換后的隨機(jī)誤差是相對(duì)誤差。 （3）對(duì)數(shù)變換模型（全對(duì)數(shù)模型）又稱彈性不變模型，這在實(shí)際分析中有較強(qiáng)的應(yīng)用意義。四、舉例北京市人均儲(chǔ)蓄與人均收入之間關(guān)系的實(shí)證分析。 五、幾個(gè)證明的補(bǔ)充（一）在異方差性條件下參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的證明1、參數(shù)估計(jì)的無偏性仍然成立設(shè)模型為 （1）用離差形式表示 (其中) （2）參數(shù)的估計(jì)量為在證明(zhngmng)中僅用到了假定。2、參數(shù)估計(jì)的有效性不成立(chngl)假設(shè)（1）式存在(cnzi)異方差，且，則參數(shù)的估計(jì)的方差為 (5)在上述