精選范文黃金分割專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)題有答案

1、黃金分割專(zhuān)項(xiàng)練習(xí) 3 0 題(有答案).定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿(mǎn)足AC2=BC?AB,則不K點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖 2, ABC 中，AB=AC=1, /A=36, BD 平分 /ABC 交 AC 于點(diǎn) D.(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)求出線段AD的長(zhǎng).如圖，用長(zhǎng)為 40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形 ABCD (ABAD).(1)若這個(gè)矩形的面積等于99cm2,求AB的長(zhǎng)度；(2)這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出 AB的長(zhǎng)度，若不能，說(shuō)明理由；(3)若這個(gè)矩形為黃金矩形(AD與AB之比等于黃金比 遮 T),求該矩形的面積.(結(jié)果保留根號(hào)) 2

2、.定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿(mǎn)足AC2=BC?AB,則不K點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖 2, AABC 中，AB=AC=2, / A=36 , BD 平分 /ABC 交 AC 于點(diǎn) D.(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)求出線段AD的長(zhǎng).作一個(gè)等腰三角形，使得腰與底之比為黃金比.(1)尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡；(2)寫(xiě)出你的作法；(3)證明：腰與底之比為黃金比. (1)已知線段 AB的長(zhǎng)為2, P是AB的黃金分割點(diǎn)，求 AP的長(zhǎng)； (2)求作線段 AB的黃金分割點(diǎn) P,要求尺規(guī)作圖，且使 APPB.如圖，線段AB的長(zhǎng)度為1.(1)線段AB上的點(diǎn)C滿(mǎn)足系式AC2=BC?AB

3、,求線段AC的長(zhǎng)度；(選做)(2)線段AC上的點(diǎn)D滿(mǎn)足關(guān)系式AD2=CD?AC,求線段AD的長(zhǎng)度；(選做)(3)線段AD上的點(diǎn)E滿(mǎn)足關(guān)系式AE2=DE?AD,求線段AE的長(zhǎng)度；上面各題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？(提示：在每一小題中設(shè)x和1).如圖，在 ABC中，AB=AC, /A=36, /1 = /2,請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)D是不是線段 AC的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)說(shuō)明理 由.在 AABC 中，AB=AC=2, BC=/5 1 , /A=36, BD 平分 / ABC,交于 AC 于 D.試說(shuō)明點(diǎn) D 是線段 AC 的黃金分割點(diǎn).在數(shù)學(xué)上稱(chēng)長(zhǎng)與寬N比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD中，當(dāng)AB=/BC時(shí)，稱(chēng)

4、矩形ABCD為黃金矩形ABCD.請(qǐng)你證明黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.如圖，設(shè) AB是已知線段，在 AB上作正方形 ABCD;取AD的中點(diǎn)E,連接EB;延長(zhǎng)DA至F,使 EF=EB以線段 AF為邊作正方形 AFGH.則點(diǎn)H是AB的黃金分割點(diǎn).為什么說(shuō)上述的方法作出的點(diǎn)H是這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說(shuō)出其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚕f(shuō)一說(shuō).如圖，已知 AABC 中，D 是 AC 邊上一點(diǎn)， /A=36, / C=72, ZADB=108.求證：AD=BD=BC;(2)點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).已知AB=2,點(diǎn)C是AB的黃金分割線，點(diǎn) D在AB上，且AD2=BD?AB,求嚕的值.ar

5、 赤-1.如果一個(gè)矩形 ABCD （AB BP,設(shè)以AP為邊長(zhǎng)的正方形面積為 S1,以PB為寬和 以AB為長(zhǎng)的矩形面積為 S2,試比較S1與S2的大小.如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 D為AE的黃金分割點(diǎn)，即出1蛆,BE交DC于點(diǎn)F,已知AB=V+1，求CF的長(zhǎng).V5 - 1 I.圖1是一張寬與長(zhǎng)之比為:1的矩形紙片，我們稱(chēng)這樣的矩形為黃金矩形.同學(xué)們都知道按圖2所示的折疊方法進(jìn)行折疊，折疊后再展開(kāi)，可以得到一個(gè)正方形ABEF和一個(gè)矩形EFDG那么EFDC這個(gè)矩形還是黃金矩形嗎？若是，請(qǐng)根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.（如圖1）,點(diǎn)P將線段AB分成一條較

6、小線段 AP和一條較大線段 BP,如果需考，那么稱(chēng)點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè) 鯉聿=k,則k就是黃金比，并且 k1BP AR（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰 AAPB （如圖2）,等腰AAPB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿(mǎn)足底.腰 能一底+德啕勺等腰三角形是黃金三角形；類(lèi)似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義：;（2）如圖1,設(shè)AB=1,請(qǐng)你說(shuō)明為什么 k約為；（3）由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的黃金分割線”，類(lèi)似地給出 黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè) S1GD） 29.三角形中，頂角等于 36 的等腰三角形稱(chēng)為黃金三角形，如圖

7、 1,在AABC中，已知：AB=AC,且 /A=36 :（1）在圖1中，用尺規(guī)作 AB的垂直平分線交 AC于D,并連接BD （保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2） BCD是不是黃金三角形？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）設(shè)里二匕試求k的值；ACBC（4）如圖 2,在 AAiBiCi 中，已知 A1B1=A1C1, /Ai=108,且 AiBi=AB,請(qǐng)直接寫(xiě)出 口 二 的值.B1C130.如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果些J丑，那么稱(chēng)點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).某研究小AB AC組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到黃金分割線”，類(lèi)似地給出 黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面

8、積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，如那么稱(chēng)直線l為該圖形的黃金分割線.(1)研究小組猜想：在 AABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn) (如圖2),則直線CD是AABC的黃 金分割線.你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？(2)請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交 AB于點(diǎn)E,再過(guò)點(diǎn)D作直線DF/CE,交AC于點(diǎn)F,連接EF (如圖3),則直線EF也是 ABC的黃金分割線.請(qǐng)你說(shuō)明理由.(4)如圖4,點(diǎn)E是平行四邊形 ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EF/ AD,交DC于點(diǎn)F,顯然直 線EF是平行四邊形 ABCD的黃金分割

9、線.請(qǐng)你畫(huà)一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過(guò)平行四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn).黃金分割專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)30題參考答案：1 . (1)證明：AB=AC=1,Z ABC=Z C(180 - Z A) (180 - 36 ) =72 ,22BD平分/ABC交AC于點(diǎn)D,Z ABD=Z CBDABC=36 ,2Z BDC=180 - 3672 =72 ；DA=DB, BD=BC,AD=BD=BQ易得BD3AABC,BC: AC=CD: BC,即 BC2=CD?AC, ad2=cd?ac,點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)； (2)設(shè) AD=x,貝U CD=AC AD=1 x,AD2=CD?AC,x2=1

10、x,解得即AD的長(zhǎng)為Vs.解：(1)設(shè) AB=xcm,則 AD= (20 x) cm, 根據(jù)題意得x (20 x) =99,整理得 x2- 20 x+99=0 ,解得 X1=9, x2=11 ,當(dāng) x=9 時(shí)，20 x=11;當(dāng) x=11 時(shí)，20 11=9,而 ABAD,所以x=11,即AB的長(zhǎng)為11cm；(2)不能.理由如下：設(shè) AB=xcm,則 AD= (20 - x) cm,根據(jù)題意得x (20 x) =101,整理得 x2 20 x+101=0,因?yàn)?A =202 4X 101= 4 BC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即AB: AC=AC: BC),則C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)7

11、.解：D是AC的黃金分割點(diǎn).理由如下：.在 ABC 中，AB=AC, /A=36 : zABC-zACB-1SQ36 z_ ABC乙 ACB-722- / 1-/2,/ 1-/2 -L ABC-36 :2在 ABDC中，/ BDC-180 , / 2 / C-72 ; / C-/ BDC,BC-BD.- / A-/ 1 , AD-BC. , AABC和 ABDC中，/ 2-/A, / C-/C, ABCsBDC,.且一二 一 ，BD CD又. AB-AC, AD-BC-BD,.AD2-AC?CD,即D是AC的黃金分割點(diǎn)8.證明：. AB-AC, /A-36, / ABC工(180 - 36 )

12、 -72 ；2BD平分/ABC,交于 AC于D, / DBC2 ABCX 72=36 ；22/ A-/ DBC,又 /C-/C,. BCMMBC,BC CDAB BC.AB-AC, AB-AC-2, BC-1 ,. (V5 1) 2-2 X (2-AD),解得 AD-J5 1,AD: AC-(訴 T) : 2.點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).9.證明：在 AB上截取 AE-BC DF-BC,連接EF. AE-BC, DF-BC. AE-DF-BC-AD又 / ADF-90 ,四邊形AEFD是正方形.be郃-AE=-3-BC - BC=爬 JbC，.BE V5 - 1-,BC 2,.矩形BCFE的寬

13、與長(zhǎng)的比是黃金分割比，矩形BCFE是黃金矩形.黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2, 在RtAAEB中，依題意，得 AE=1, AB=2,由勾股定理知EB= 1V.i=卜1= R,AH=AF=EF AE=EB AE=/S 1 , HB=AB AH=3 V5;. .ah2= (Vs T)2=6 2/5,AB?HB=2X (3 4)=6 2在， . . AH2=AB?HB,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).證明：(1) ./A=36, /C=72, / ABC=180 - 36 72 =72 ；/ ADB=108 : / ABD=180 - 36 108

14、=36 ；AADB是等腰三角形，/ BDC=180 - / ADC=180 - 108 =72 ；ABDC是等腰三角形，. AD=BD=BC(2) ./DBC=/ A=36 , /C=/ C,ABCsBDC,.BC: AC=CD: BC, BC2=AC?DC,BC=AD,. ad2=ac?dc,.點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).解：D 在 AB 上，且 AD2=BD?AB,點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)而點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，AC=O b=1, AD=AB- 1 3-5AB=2Ab=3 返或 AD=/5 1, AC=3 ,CD=* 1( 3-V5) =2/1 4,. 2v3-詆-CD 2- 4 V5 -

15、 1 記“-廠2或記3-我一皂.解：矩形 ABFE是黃金矩形. . AD=BC, DE=AB,AE AE-BE BC-AB BC 12. V5+1二二三 _ - _ 1 =AB_ Ab - AB AB 在 -12矩形ABFE是黃金矩形.解：D為AB的黃金分割點(diǎn)-1jAD=AB=1045 10,EC+CD=AC+CD=AD EC+CD=(10V5 10) cm . .解：設(shè)他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為x:=,ADBD),xm時(shí)才是黃金身段,x= x 以 m).:他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為時(shí)才是黃金身段.解：(1)在RtAAPD中，AP=1, AD=2,由勾股定理知AM=AF=PF AP=PA AP=75

16、1, 1=AD AM=3 75.AM的長(zhǎng)為V5 1, DM的長(zhǎng)為3-M寫(xiě);2)點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).PD=. ：，= E ,14-15根: 即 答16DM 故(由17又18把解; 故，19 證I又點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).解：點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 AP BP,AP2=BPX AB, S1=AP2, S2=PBX ABS1=S2.解：四邊形ABCD為平行四邊形，/ CBF=/ AEB, / BCF=Z BAE, BCM EAB,國(guó)也加鯉旦CF AE 皿， AD=Xi_L皿,AB=/s+1 代入得,得：CF=2.咨案為：2.解：矩形EFDC是黃金矩形, 里：二四邊形ABEF是正方形,AB

17、=DC=AF .AB_V5-1 .AD 2AF V5-1 也.2 ，點(diǎn)F是線段AD的黃金分割點(diǎn).FD_AF_V5-1AF-AD- 2ManDC 2,.矩形CDFE是黃金矩形.20.解:(1)滿(mǎn)足寬；長(zhǎng) 長(zhǎng)二寬+長(zhǎng)啕勺矩形是黃金矩形(2)由世=k 得，BP=1X k=k,從而 AP=1 k, AB由三二上得，BP2=APXBP AR即 k2=( 1 k) x 解得k= - 1 土后, 2k0,(3)因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，所以 埋里BF AB設(shè) ABC的AB上的高為h,則遼皿士 h遼麗/pMh二-二. =-=S斷BP saabc 即SabpcSABPC AABC直線CP是 ABC的黃金分

18、割線.AQ與CP交于點(diǎn)(4)由(2)知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q,則AQ也是黃金分割線，設(shè)W,則過(guò)點(diǎn) W的直線均是 ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無(wú)數(shù)條.21 .解：根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是 160 X =96cm設(shè)選擇的高跟鞋的高度是xcm,則根據(jù)黃金分割的定義得：96+工_一.160+x 解得：XN故她應(yīng)該選擇左右的高跟鞋穿上看起來(lái)更美.22.解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2a,在 RtAAEB 中，依題意，得 AE=a, AB=2a,由勾股定理知EB= , r,- 1= . a,AH=AF=EF AE=EE52 AE=(收 T) a,HB=AB AH= ( 3_ V5) a

19、；AH2= (6 2巡)a2,AB?HB=2aX （3-5） a= （6 - 2后）a2, AH2=AB?HB,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).證明：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn)，BE=1=. .=又B E=BE=1. .AB，= AET 離 1,.ab，AB=（忘一 1） s 2點(diǎn)B是線段AB的黃金分割點(diǎn).證明：,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為BC的中點(diǎn),BE=1AE%AB?+BE咪后EF=BE=1AF=AE EF=75 1,AM=AF=f5 1 , AM : AB=（而 1）：2,.點(diǎn)M是線段AB的黃金分割點(diǎn).25.解：（1） .BD=DC=AC.貝|J/B=/DCB,

20、 /CDA=/ A.設(shè) / B=x,則 / DCB=x, / CDA=/ A=2x.又/ BOC=108 ,/ B+/A=108.x+2x=108, x=36 :/ B=36 ；（2）有三個(gè)： A BDC, A ADC, ABAC. , DB=DC, / B=36 ；ADBC是黃金三角形，（或CD=CA / ACD=180/ CDA / A=36 .ACDA是黃金三角形.或: /ACE=108,/ ACB=72又 / A=2x=72 , / A=/ACB.BA=BC.ABAC是黃金三角形.ABAC是黃金三角形，,AC_V5-1 ,BC 2 . BC=2, .AC=/T_BA=BC=2, BD=

21、AC=/5 1 ,AD=BA BD=2 （ V & 1） =3 V5, 存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P1、P2、P3.）以CD為底邊的黃金三角形：作 CD的垂直平分線分別交直線AB、BC得到點(diǎn)Pi、P2.）以CD為腰的黃金三角形：以點(diǎn) C為圓心，CD為半徑作弧與 BC的交點(diǎn)為點(diǎn) P3 .證明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a,N為BC的中點(diǎn)，NCBC=a2在RtADNC中，加叱口引/+）工后a- 又. NE=ND,CE=NE NC= （VeF- 1） a. -CD 2a 2故矩形DCEF為黃金矩形.解：（1）（2） CM=AB （4 分）.證明：如圖，連接 GF,設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1,

22、則DF*j.在 RtBCF 中，BF啦卷，則 A F=BF BA 近12設(shè) AG=A G=x 則 GD=1 x,解得x班二L 2在 RtAA G和 RtADGF 中，有 AF2+AG2=DF2+DG2,即即點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)（AGGD）.解：（1）如圖所示；ABCD是黃金三角形.證明如下：二點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，. AD=BD, / ABD=/A. / A=36 ； AB=AC, / ABC=/ C=72 ； / ABD=/ DBC=36又 / BDC=/ A+/ ABD=72 , / BDC=/ C,BD=BC,ABCD是黃金三角形.（3）設(shè) BC=x, AC=y,由（2）知，AD=BD=BC=x.,/DBC=/A, /C=/C,. . B