經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第4章-定積分 課件

1、第4章 定積分及應(yīng)用第4章 定積分及應(yīng)用n元線性方程組與矩陣1定積分的概念與性質(zhì)11牛頓萊布尼茲公式 2n元線性方程組與矩陣1廣義積分4n元線性方程組與矩陣1定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用5n元線性方程組與矩陣1定積分換元積分法與分部積分法3第4章 定積分及應(yīng)用1學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì) ；2.會(huì)用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算定積分及各種平面圖形的面積 ；3.能用定積分解決簡單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題 。 若企業(yè)實(shí)行產(chǎn)品直銷，則利潤最大時(shí)的總銷售量及最大利潤是多少？第4章 定積分及應(yīng)用【經(jīng)濟(jì)問題4-1】你知道企業(yè)為什么實(shí)行差別定價(jià)嗎？企業(yè)產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為 ,總成本函數(shù)為 ， (1)在生產(chǎn)環(huán)節(jié)

2、，若已知產(chǎn)量與時(shí)間 的關(guān)系為 ,試求從時(shí)刻 到 企業(yè)的總收益。 若直銷市場只有A、B兩個(gè)市場，企業(yè)在A、B市場實(shí)行差別價(jià)格，已知A、B市場邊際收益函數(shù)分別為 和 ，并要求各完成企業(yè)原利潤最大時(shí)的銷售量的 和 ，求實(shí)行差別價(jià)格后企業(yè)所獲利潤。已知收益的變化率求總收益解【經(jīng)濟(jì)問題】(1)4.1定積分的概念與性質(zhì)4.1.1引例我們知道：總收益=單位時(shí)間的收益時(shí)間由題知 ，得到故有 4.1定積分的概念與性質(zhì)由于 隨時(shí)間的變化而變化，不是常數(shù)，所以不能用公式： 總收益=單位時(shí)間的收益時(shí)間計(jì)算1,3區(qū)間上的總收益。4.1定積分的概念與性質(zhì) 取n+1個(gè)等分點(diǎn) （也可不等分），把區(qū)間1,3 分割成n個(gè)相等的小

3、區(qū)間 ，（1） 分割每個(gè)小區(qū)間的長度是4.1 定積分的概念與性質(zhì) 取小區(qū)間的右端點(diǎn) ，以常量 代替 ，則時(shí)間段 上總收益的增加值 。 取近似值 求n個(gè)時(shí)間段上總產(chǎn)量增加之和（積零為整）4.1 定積分的概念與性質(zhì) 求和 收益的近似值過渡到精確值（收益精確化）4.1 定積分的概念與性質(zhì) 取極限4.1 定積分的概念與性質(zhì) 定義4.1設(shè)函數(shù) 在區(qū)間a，b上有定義，取分點(diǎn)4.1.2定積分的概念每個(gè)小區(qū)間長度記為： ，且最大小區(qū)間長度記為將區(qū)間a，b分成個(gè)n小區(qū)間 , 在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),作和式 .4.1 定積分的概念與性質(zhì)即法及 的取法無關(guān)，則稱函數(shù) 在a，b上可積，并稱此極限值為函數(shù) 在a，b上的

4、定積分，記為若極限 存在，且此極限與a，b的分4.1 定積分的概念與性質(zhì)說明（）定積分 的值只與被積函數(shù) 及積分區(qū)間a，b有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即 （）可以證明當(dāng)函數(shù) 在區(qū)間a，b上連續(xù)或函數(shù) 在區(qū)間a，b有界，且只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)時(shí)，則函數(shù) 在a，b上可積無界函數(shù)不可積 （）規(guī)定 ，特別地，當(dāng)a=b時(shí)，有 4.1 定積分的概念與性質(zhì)y=f(x)abyOxS即 的值就是曲線 ，直線 ， 及 軸所圍成的曲邊梯形的面積， 若在a，b上，連續(xù)函數(shù) ，則定積分4.1.3定積分幾何意義4.1 定積分的概念與性質(zhì) 若在a，b上，連續(xù)函數(shù) ，則定積分 的值就是對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積S 的相

5、反數(shù)（見圖），即 y=f(x)abyxS一般地，我們有：4.1 定積分的概念與性質(zhì) 對(duì)a，b上的任意連續(xù)函數(shù) ，則定積分 的值應(yīng)是對(duì)應(yīng)的各個(gè)曲邊梯形的面積的代數(shù)和（見圖），即S2yy=f(x)abxS1S3cdo4.1 定積分的概念與性質(zhì) 所圍成的曲邊四 邊形（見圖）的面積S 為 一般地，由兩條連續(xù)曲線 , 和直線 ,yOxy=f(x)y=g(x)abS4.1 定積分的概念與性質(zhì)類似地，由連續(xù)曲線 ， 和直線y=c，y=d (cd)所圍成的曲邊四邊形（見圖）的面積S為x=(y)dcyOxs4.1 定積分的概念與性質(zhì)例1 由定積分的幾何意義，確定定積分 的值解 作定積分 對(duì)應(yīng)的曲邊梯形（見圖），

6、=其面積 ，所以由定積分的幾何意義，知由直邊梯形的面積公式可得恰好是一個(gè)直邊梯形，1y0 xS2y=x+114.1 定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)4.1.4 定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 若 ，則=性質(zhì)2 常數(shù)因子k可以提到積分號(hào)外面，即=4.1 定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)對(duì)任意的點(diǎn) ，有 性質(zhì)5（定積分的比較性）若在a，b上，恒有，則4.1 定積分的概念與性質(zhì)性質(zhì) （積分中值定理）如果函數(shù) 在a，b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) 使得性質(zhì)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為 m與M ，則 4.1 定積分的概念與性質(zhì)積分中值定理的幾何意義 在區(qū)間a，b上至少存在一點(diǎn) ,使得以 為高，a，b為底的矩形面積等于定積分 的值（如

7、圖）oy4.1 定積分的概念與性質(zhì)解（）因?yàn)樵趨^(qū)間 上 ，得 解（）因?yàn)樵趨^(qū)間 上 ，得 例不計(jì)算定積分，比較下列定積分的大?。ǎ?與 ；（） 與 4.1 定積分的概念與性質(zhì)例估計(jì)定積分 的值解設(shè) ，則因此 在0,1上是單增函數(shù)，故 在0,1上的最大值為 ，最小值為，由定積分的性質(zhì)得 4.2 牛頓-萊布尼茲公式4.2.1積分上限函數(shù) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間a，b上連續(xù)，稱 為積分上限函數(shù). 定理4.1 如果函數(shù) 在區(qū)間a，b上連續(xù)，則積分上限函數(shù) 在區(qū)間a，b上可導(dǎo)并且4.2 牛頓萊布尼茲公式證明 給定自變量的一個(gè)改變量 ,則根據(jù)積分中值定理，存在介于 和 之間的 ，使得 ，所以當(dāng) 時(shí)， ，由于 的連

8、續(xù)性 ，上式的極限為4.2 牛頓萊布尼茲公式該定理表明如果 在區(qū)間a，b上連續(xù)，則積分上限函數(shù) 是 在區(qū)間a，b上的一個(gè)原函數(shù)也就是說，連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)總是存在解由定理得 例設(shè) ，求 4.2 牛頓萊布尼茲公式解例設(shè) ，求 4.2 牛頓萊布尼茲公式4.2.2牛頓萊布尼茨公式在區(qū)間是的任意一個(gè)原函數(shù)，則a，b上連續(xù)，定理4.2（微積分基本定理）若函數(shù)解例3計(jì)算解例4 計(jì)算4.2 牛頓萊布尼茲公式例6求由曲線 ，直線x=1，x=2和x軸所圍成的曲邊梯形的面積4.2 牛頓萊布尼茲公式解例5計(jì)算解解 如圖，拋物線和直線的交點(diǎn)為（-2，5），（1，2）例7 求由拋物線 與直線+y=3所圍的平面圖形的面積。

9、4.2 牛頓萊布尼茲公式1-2yOx4.3 定積分的換元積分法和分部積分法 定理4.3設(shè)函數(shù) 在區(qū)間a，b上連續(xù)， ,且 ， ，如果（1） 在區(qū)間 上連續(xù)；（2）當(dāng)t從 變化到 時(shí)， 從a單調(diào)地變化到b，則有 （） 4.3.1 換元積分法4.3 定積分的換元積分法和分部積分法說明：在運(yùn)用換元積分法時(shí)，不換元不換限，換元必?fù)Q限，此時(shí)，（原）上限對(duì)（新）上限，（原）下限對(duì)（新）下限。例1 求 解4.3 定積分的換元積分法和分部積分法例2 求解4.3 定積分的換元積分法和分部積分法例3 計(jì)算.所以 ，則，解令.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.4.3 定積分的換元積分法和分部積分法當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.則=例4 計(jì)算.解令，則

10、，.4.3 定積分的換元積分法和分部積分法例5計(jì)算 解令 ，則 ， 且x=1，t=0；x=2， 所以4.3 定積分的換元積分法和分部積分法證明 由定積分的可加性得在中令，即得例6 設(shè)函數(shù)在-a，a上連續(xù)，證明：為奇函數(shù)時(shí)， 當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)， 當(dāng)4.3 定積分的換元積分法和分部積分法 若為奇函數(shù)時(shí)，則= 若為偶函數(shù)時(shí)，同理可得4.3 定積分的換元積分法和分部積分法4.3.2 分部積分法和在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定理4.4設(shè)函數(shù)例7 計(jì)算 解 設(shè) ， 則4.3 定積分的換元積分法和分部積分法例8 計(jì)算 解 設(shè) ， ,則 4.3 定積分的換元積分法和分部積分法例9 計(jì)算 解 設(shè) ， ，則解令 ，則 ， ，且

11、x=0，t=0；x=1，t=-1所以4.3 定積分的換元積分法和分部積分法例10計(jì)算 4.4 廣義積分4.4.1無窮區(qū)間上的廣義積分這時(shí)也稱廣義積分收斂；若極限 不存在，則稱廣義積分 發(fā)散定義4.3 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)，若極限 存在，則稱此極限為函數(shù) 在區(qū)間 上的廣義積分，記為 ，即4.4 廣義積分其中a是任意常數(shù)，當(dāng)上式右端的兩個(gè)廣義積分均收斂時(shí)，稱廣義積分 是收斂的；否則，稱廣義積分 是發(fā)散的類似地，可定義函數(shù) 在區(qū)間 上的廣義積分 在區(qū)間 上的廣義積分定義為4.4 廣義積分例計(jì)算廣義積分 解 說明：該類廣義積分的實(shí)質(zhì)就是先求定積分再取極限，因此這類廣義積分還可按以下方法計(jì)算4.4 廣

12、義積分例討論廣義積分 的斂散性解因?yàn)?所以該廣義積分發(fā)散解因?yàn)?，而 ， 所以該廣義積分收斂同理 ，所以該廣義積分也收斂因此廣義積分 收斂且 例討論廣義積分 的斂散性4.4 廣義積分4.4 廣義積分4.4.2無界函數(shù)的廣義積分 定義4.4 設(shè)函數(shù) 在（a，b上連續(xù)，且 ，如果極限 存在，則稱該極限為函數(shù) 在（a，b上的廣義積分，記為 即這時(shí)也稱廣義積分 收斂，點(diǎn)a稱為瑕點(diǎn)否則稱廣義積分 發(fā)散4.4 廣義積分例4計(jì)算廣義積分 解因?yàn)?，所以被積函數(shù)無界，由定義得例5 討論廣義積分 的斂散性解因?yàn)?，所以被積函數(shù)無界，由于且因此廣義積分 發(fā)散，所以廣義積分 發(fā)散4.4 廣義積分4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)

13、中的應(yīng)用 當(dāng)已知變化率或邊際函數(shù) ，要求這個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù) 時(shí)，一般地就有 當(dāng)已知變化率或邊際函數(shù) ，要求這個(gè)經(jīng)濟(jì)函數(shù) 在某區(qū)間a，b內(nèi)的總量（即經(jīng)濟(jì)函數(shù) 從a變化到b時(shí)的改變量）時(shí)，則有 由定積分的概念和牛頓萊布尼茨公式知：4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用解:由于總成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是邊際成本函數(shù)，則有，固定成本為100，求總成本例1已知某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為函數(shù)收益函數(shù) 解（）成本函數(shù)利潤函數(shù)；（）產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大？例2已知某產(chǎn)品的邊際成本（萬元/噸），固定成本為8萬元，邊際收益函數(shù)（萬元/噸），求（）4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用利潤函數(shù)（）當(dāng)邊際收益邊際成本時(shí)，利潤最大，即 所以 Q=90（噸）

14、 于是有4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 求產(chǎn)量由2百件增加到4百件時(shí)，總成本增加了多少？ 求總成本函數(shù)。 在利潤最大時(shí)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)2百件，利潤變化了多少？例3 已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品x單位（百件）的固定成本為1萬元，邊際成本和邊際收入分別為（萬元/百件）（萬元/百件）.解 產(chǎn)量由2百件增加到4百件時(shí)，總成本的增加量為（萬元） 因?yàn)楣潭ǔ杀緸?萬元，即C(0)=1，即總成本函數(shù)為4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 設(shè)利潤函數(shù)為當(dāng)邊際收益邊際成本時(shí)，利潤最大，即于是有當(dāng)x=3（百件）時(shí)，利潤最大。在利潤最大時(shí)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)2百件，這時(shí)利潤的改變量為（萬元）此結(jié)果表明，產(chǎn)量由3百件增加到5百件時(shí)，利潤將減少8/3萬元。4.5 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用鏈接 消費(fèi)者剩余是指消費(fèi)者對(duì)某種商品所愿意支付的最高價(jià)格與他實(shí)際支付的價(jià)格的差額。 例如：某人已知商品A每件在市場均價(jià)為25元，國慶期間他到商品A的產(chǎn)出地旅游，他本打算若價(jià)格23元就購買一件