回歸分析的基本思想及其初步應用 同步教案 高中數(shù)學人教A版選修1-2（2022年）

1、回歸分析的基本思想及其初步應用 教學目標1. 通過典型案例的探究，進一步了解回歸分析的基本思想、方法及初步應用，會求線性回歸方程；2. 通過實例了解線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，會做殘差圖并分析數(shù)據(jù)是否與模型的擬合效果。 重點難點會求線性回歸方程，通過實例了解線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，會做殘差圖并分析數(shù)據(jù)是否與模型的擬合效果 教學過程自主學習問題1：“名師出高徒”這句彥語的意思是什么？有名氣的老師就一定能教出厲害的學生嗎？這兩者之間是否有關(guān)？【答案】 負有盛名的老師能教出好徒弟；不一定；有關(guān)系但不是確定關(guān)系?！驹O計意圖】引入相關(guān)關(guān)系。復習1：函數(shù)關(guān)系是一種 關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種 關(guān)系.

2、復習2：回歸分析是對具有 關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法，其步驟： .【答案】復習1：確定、不確定。 復習2：相關(guān)關(guān)系；確定變量畫散點圖建立回歸模型進行回歸分析 .【設計意圖】復習舊知，引發(fā)新知。（二）學習探究實例 從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高/cm和體重/kg數(shù)據(jù)如下表所示：編號12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359問題：畫出散點圖,求根據(jù)一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重.解：由于問題中要求根據(jù)身高預報體重，因此 身高 自變量x， 體重 為因變量.（1）做

3、散點圖:從散點圖可以看出 身高 和 體重 有比較好的 線性 相關(guān)關(guān)系.（2）= 165.25 ，=54.5，72315，218774，所以0.849，-85.712，于是得到回歸直線的方程為.（3）身高為172cm的女大學生,由回歸方程可以預報其體重大約為 60.316/kg.合作探究問題：身高為172cm的女大學生,體重一定是上述預報值嗎?【答案】不一定，是個預測值.【設計意圖】引發(fā)學生對預測數(shù)據(jù)的思考。思考：顯然用一次函數(shù)作為模型所得結(jié)果與真實值之間有一定誤差，所以真實值.(1)（其中e稱為隨機誤差)，那么產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么？【答案】1.數(shù)據(jù)收集過程中的測量等誤差；2.其他省略變

4、量的影響，如上述初身高對體重的影響外，基因，飲食質(zhì)量與習慣，生活習慣等都會對體重產(chǎn)生影響；3.模型選取誤差；4.其他隨機行為?！驹O計意圖】啟發(fā)學生新的思考與研究。探究1：在線性回歸模型中，e是bx+a預報真實值 y的隨機誤差，它是一個不可觀測的量，那么應該怎樣研究隨機誤差呢？【答案】 記 為預報值，為觀測值，y為真實值。其中，.(1)，線性回歸模型（1）與我們熟悉的一次函數(shù)模型的不同之處是增加了隨機誤差項e，因變量y的值由自變量x和隨機誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化.在統(tǒng)計中，我們也把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預報變量.2：制作前面例子的殘差圖，并說明如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯

5、誤，衡量模型的擬合效果？【答案】在實際應用中，我們用回歸方程中的估計（1）中的bx+a，由于隨機誤差，所以是e的估計量.對于樣本點而言，它們的隨機誤差為，其估計值為.稱為相應于點的殘差.我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖，下圖是以樣本編號為橫坐標的殘差圖.從上圖中可以看出，第1個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤，如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因.另外，殘差點比較均勻地落在水

6、平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)城的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高.遷移應用下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應的生產(chǎn)能耗 (噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù)： (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤試根據(jù)(2)求出的線性同歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤? (參考數(shù)值)作出殘差圖評價擬合效果.【答案】（1）散點圖如下：（2）= 4.5，=3.5，66.5，86，所以0.7，0.3

7、5，于是得到回歸直線的方程為.(3)由（2）知技術(shù)改造后能耗2大約為70.35噸煤，比技術(shù)改進前減少19.65噸煤。(4) 2.453.153.854.55-0.05-0.150.150.05從上表與圖能看出，該回歸模型殘差較小，帶狀分布，說明擬合效果較好。總結(jié)反思（五）當堂檢測 1. 下列兩個變量具有相關(guān)關(guān)系的是（ C ）A. 正方體的體積與邊長 B. 人的身高與視力 C.人的身高與體重 D.勻速直線運動中的位移與時間2. 在畫兩個變量的散點圖時，下面哪個敘述是正確的（ B ）A. 預報變量在x 軸上，解釋變量在 y 軸上 B. 解釋變量在x 軸上，預報變量在 y 軸上C. 可以選擇兩個變量中任意一個變量在x 軸上 D. 可選擇兩個變量中任意一個變量在 y 軸上3. 回歸直線必過（ D ）A. B. C. D. 4.越接近于1，兩個變量的線性相關(guān)關(guān)系 越強 .5. 已知回歸直線方程,則時,y的估計值為 11.69 .6.一臺機器使用的時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機器的運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x (轉(zhuǎn)/秒)1614128有缺點零件數(shù) y （件）11985（1）畫散點圖；（2）求回歸直線方