2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第八章　平面解析幾何8.5　第2課時　直線與橢圓

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第2課時直線與橢圓第八章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破03素養(yǎng)提升微專題8解析幾何減少運(yùn)算量的常見技巧 必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 5.中點(diǎn)弦(1)主要題型:求中點(diǎn)弦所在直線的方程;求弦中點(diǎn)的軌跡.(2)處理方法根與系數(shù)的關(guān)系法:將直線方程代入圓錐曲線的方程,消元后得到一個一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立等式求解.“點(diǎn)差法”:若斜率為k的直線l與圓錐曲線C有兩個交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),將A,B的坐標(biāo)代入曲線方程,通過作差,構(gòu)造出x1+x2,y1

2、+y2,x1-x2,y1-y2,從而建立中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.()(3)由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元可得一元二次方程.若二次項(xiàng)系數(shù)恒為正,且方程的b0)的右頂點(diǎn)為A(1,0),過其焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1,則橢圓方程為.5.(2020山西太原聯(lián)考)已知橢圓的方程為x2+2y2-4=0,則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為.答案x+2y-3=0 關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】 已知直線l:y=2x+m,橢圓C: .試問當(dāng)m取何值時,直線l與橢圓C:(1)有兩個公共點(diǎn)

3、;(2)有且只有一個公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn).解題心得判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,一般轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個數(shù).(2)對于過定點(diǎn)的直線,也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).對點(diǎn)訓(xùn)練1若直線y=kx+1與橢圓 總有公共點(diǎn),則m的取值范圍是()A.(1,+)B.(0,+)C.(0,1)(1,5)D.1,5)(5,+)答案 D 考點(diǎn)2弦長問題解題心得1.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時,可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時,斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則弦長

4、公式的常見形式有如下幾種:2.弦長公式的運(yùn)用技巧弦長公式的運(yùn)用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程,不同形式的直線方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大小.我們的經(jīng)驗(yàn)是:若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在y軸上且斜率存在,一般設(shè)為斜截式方程y=kx+b便于運(yùn)算;若直線經(jīng)過的定點(diǎn)在x軸上且斜率不為0,一般設(shè)為my=x-a可以減小運(yùn)算量.(2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時,另一條弦所在直線的斜率不存在,由題意知|AB|+|CD|=4+3=7,不滿足條件.當(dāng)兩條弦所在直線的斜率均存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),考點(diǎn)3橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用考向1由中點(diǎn)弦確定

5、直線方程或曲線方程 解題心得處理有關(guān)中點(diǎn)弦及對應(yīng)直線斜率關(guān)系的問題時,常用“點(diǎn)差法”,步驟如下: 考向2對稱問題【例4】 如圖,已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.因?yàn)橹本€AB過橢圓的左焦點(diǎn)F,所以直線AB與橢圓必有兩個交點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)N(x0,y0),解題心得求解橢圓中對稱問題的常用方法(1)將對稱兩點(diǎn)所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立,由0建立不等關(guān)系,再由對稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在所給直線上,建立相等關(guān)

6、系,由相等關(guān)系消參,由不等關(guān)系確定范圍.(2)用參數(shù)表示中點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式,解不等式得參數(shù)范圍.提醒解決對稱問題除掌握解決中點(diǎn)弦問題的方法外,還要注意“若點(diǎn)A,B關(guān)于直線l對稱,則l垂直于直線AB且AB的中點(diǎn)在直線l上”的應(yīng)用.考點(diǎn)4橢圓與向量的綜合問題解題心得解決橢圓中與向量有關(guān)問題的方法(1)將向量條件用坐標(biāo)表示,再利用函數(shù)、方程知識建立數(shù)量關(guān)系.(2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系.(3)利用向量運(yùn)算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系.素養(yǎng)提升微專題8解析幾何減少運(yùn)算量的常見技巧 技巧一巧用平面幾何性質(zhì) 答案 1 解析 設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F,則|PF|+|PF

7、|=4,所以|PF|=4-|PF|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF|-4.如圖,易知當(dāng)點(diǎn)P在線段AF上時,|PA|+|PF|取最小值解題心得解決此類問題要熟練掌握平面幾何的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合,找到解題的關(guān)鍵.技巧二設(shè)而不求,整體代換 答案 D 解題心得本題設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),卻不求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),巧妙地表達(dá)出直線AB的斜率,通過將直線AB的斜率“算兩次”建立幾何量之間的關(guān)系,從而快速解決問題.技巧三巧用“根與系數(shù)的關(guān)系”,化繁為簡【例3】 已知橢圓 +y2=1的左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作兩條互相垂直的弦AM,AN交橢圓于M,N兩點(diǎn).(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時,直線MN是否過x軸上的一個定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請給出證明,并求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請說明理由.解題心得在圓錐曲線問題中,常設(shè)出直線與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程,消元得到一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,得到兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系.這是解決圓錐曲線問題的常用方法.通過設(shè)而不求,大大降低了運(yùn)算量,體現(xiàn)了整體思想.技巧四巧妙“換元”減少運(yùn)算量 (1)求橢圓C的方程;(2)已知直線l:y=kx+m與圓O:x2+y2=1相切,若直線l與橢圓C交于M,