高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：8.1立空間幾何體及其表面積和體積31

1、第八章 立體幾何本章知識結(jié)構(gòu)圖點與線空間點、線、面的位置關(guān)系點在直線上點在直線外點與面點在面內(nèi)點在面外線與線共面直線異面直線相交平行沒有公共點只有一個公共點線與面平行相交有公共點沒有公共點直線在平面外直線在平面內(nèi)面與面平行相交平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線線垂直線面垂直面面垂直空間的角異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角范圍：(0，90范圍：0，90范圍：0，180點到面的距離直線與平面的距離平行平面之間的距離相互之間的轉(zhuǎn)化cos eq o(sup5(|o(a,sup4()o(b,sup4()|),sdo7(|o(a,sup4()|o(b,sup4()|)s

2、in eq o(sup5(|o(a,sup4()o(n,sup4()|),sdo7(|o(a,sup4()|o(n,sup4()|)cos eq o(sup5(o(n1,sup4()o(n2,sup4(),sdo7(|o(n1,sup4()|o(n2,sup4()|)d eq o(sup5(|o(a,sup4()o(n,sup4()|),sdo7(|o(n,sup4()|)空間向量空間直角坐標(biāo)系空間的距離空間幾何體柱體棱柱圓柱正棱柱、長方體、正方體臺體棱臺圓臺錐體棱錐圓錐球三棱錐、四面體、正四面體直觀圖側(cè)面積、表面積三視圖體積長對正高平齊寬相等第一節(jié) 空間幾何體及其表面積和體積考綱解讀了解球、

3、棱柱、棱錐及臺體的表面積和體積的計算公式.命題趨勢探究高考中考查表面積和體積問題，主要分為以下三類：（1）柱、錐、臺體的側(cè)面積分別是側(cè)面面展開圖的面積，因此，弄清側(cè)面展開圖的形狀及各棱的位置關(guān)系是求側(cè)面積及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵.（2）求柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的底面積和高.可充分運用多面體的截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（3）解決球的有關(guān)問題，要注意利用球半徑、截面圓半徑及球心到截面圓距離構(gòu)成的直角三角形.柱、錐、臺體的側(cè)面積和體積以公式為主，一般情況下，只要記住公式，題目就可以順利求解因此，題目從難度上講屬于中、低檔題，在高考中直接出題的可能性大，容易出現(xiàn)相關(guān)的選擇

4、題或填空題.知識點精講 一、構(gòu)成空間幾何體的基本元素點、線、面 （1）空間中，點動成線，線動成面，面動成體.（1）空間中，不重合的兩點確定一條直線，不共線的三點確定一個平面，不共面的四點確定一個空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）.二、簡單凸多面體棱柱、棱錐、棱臺1棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長

5、方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體.2棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.3棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺.簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖8-1所示.三、簡單旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺、球1圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.2圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的

6、面所圍成的幾何體叫做圓錐.3圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.4球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）.四、組合體由柱體、椎體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.五、表面積與體積計算公式（見表8-1和8-2）表8-1表面積柱體為直截面周長椎體臺體球表8-2體積柱體椎體臺體球題型歸納及思路提示題型103 幾何體的表面積與體積思路提示 熟悉幾何體的表面積、體積的基本公式，注意直角等特殊角.例8-1三棱錐的側(cè)棱，兩兩垂直，側(cè)面積分別是，則三棱錐的表面積是 ，體積是

7、.解析 如圖8-2所示，設(shè)，則 ,得 , 三式相乘得 , 所以 ,圖 8-2因此 , 又側(cè)棱 兩兩垂直, 所以 ,由余弦定理可得 ,所以 ,體積 .評注: 若三棱錐 的側(cè)棱 兩兩垂直, 則類比直角三角形中的勾股定理有, (本題 ), .變式1 如圖8-3所示,在 中, , 是 邊上的高, 沿 把 折起, 使 . 若 , 求三棱錐 的表面積.解析 因為折起前AD是BC邊上的高，所以當(dāng)ABC折起后，DADB，DADC，又BDC=90，即DBDC，所以DA,DB,DC兩兩垂直，又因為ABD=ACD=45，BD=1，所以DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,從而SDAB= SDBC=SDCA=,

8、SABC=所所以三棱錐D-ABC的表面積S=變式2 如圖8-4(a)所示, , 過動點 作 , 垂足 在線段 上且異于點 , 連接 ,沿 將 折起, 使 (如圖8-4(b)所示). 當(dāng) 的長為多少時, 三棱錐 的體積最大.DABCACDB(b)（a）ME.圖 8-4解析 解法一：在題圖8-4（a）所示的ABC中，設(shè)BD=（03）,則CD=3-,由ADDC, ACB=45,知ADC為等腰直角三角形，所以AD=CD=3-由折起前ADBD知，折起后（如圖8-4（b）所示），ADDC, ADBD,且BDDC-D 所以AD平面BCD又BDC=90，所以SBCD=BDCD=。故VA-BCDADSBCD=設(shè)

9、令得或（舍去），當(dāng)時，當(dāng)時，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，古當(dāng)時，取得最大值，即當(dāng)BD=1時,三棱錐A-BCD的體積最大解法2： 同解法1，可得，VA-BCDADSBCD= 當(dāng)且僅當(dāng) 2=3- 即 =1時，等號成立。 故當(dāng)BD=1時，三棱錐A-BCD的體積最大變式3 已知正四棱錐 中, , 那么當(dāng)該棱錐的體積最大時, 它的高為( ).A. 1 B. C. 2 D.3分析 以“高”為變量建立函數(shù)關(guān)系，屬函數(shù)最值問題。解析 如圖8-26所示，設(shè)高為則底面邊長為，所以體積.設(shè) 令 得當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng) 時，取最大值，故選C.例8.2 (2012江蘇7)

10、如圖8-5所示, 在長方體 中, , , 則四棱錐 的體積為 cm3. 解析 如圖8-6所示, 連接 交 于 , 在該長方體中 , 故底面 為正方形, 即 , 且 , 又顯然平面 平面 ,故 平面 . 所以 .變式1 )如圖8-7所示, 正方體 的棱長為1, 分別為線段 上的點, 則三棱錐 的體積為 .分析 計算幾何體的體積時，要學(xué)會等體積法，常用三棱錐作為載體選取便于計算的底面和高，即重點掌握以不同面作為底表示體積解析 思路提示半徑為 的球 , 表面積 , 體積 ; 球面上 兩點的球面距離為 , 其中 (弧度制). 這里可知球的表面積、體積計算實質(zhì)是求半徑.例8.3 已知三個球的半徑 滿足

11、, 則他們的表面積 滿足的等量關(guān)系是 .解析 , 即 , 同理得 , , 由 得 .變式1 若球 的表面積之比 ,則他們的半徑之比 .解析 ,即同理得所以變式2 正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為( )A. B. 1:3 C. D. 1:9解析 設(shè)正方體的棱長為，內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R,則有=2r，=2R，所以所以故選C。評注 球的表面積之比是半徑之比的平方，體積之比是半徑之比的立方。題型105 幾何體的外接球與內(nèi)切球思路提示(1)半徑為 的球 , 表面積 , 體積 .(2)設(shè)小圓 半徑為 , 則 ; 若 是 上兩點, 則 .(3)作出關(guān)鍵的軸截面, 在此軸截面內(nèi)尋找集合體的棱長或母

12、線長與球之間關(guān)系.例8.4 已知正方體外接球的體積是 , 那么正方形的棱長等于( )A. B. C. D. 分析 正方體外接球的直徑為正方體的體對角線.解析 設(shè)正方體的棱長為 , 外接球半徑為 , 則 . 故選D.變式1 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上, 且一個頂點上的三條棱額長分別為1,2,3, 則此球的表面積為 .分析 長方體的外接球直徑為其體對角線長。解析 由題意知變式2 正四面體的棱長為 , 則該正四面體的外接球的表面積為 .解析 如圖8-267所示，將正四面體ABCD置于正方體中，由正四面體的棱長為，得正四面體的棱長為1，且正方體的體對角線長為，則正四面體的外接球直徑等于正方體

13、的外接球直徑，即正方體的體對角線長，故正四面體外接球的表面積S=評注 如圖8-267所示，將正四面體放置在正方體中，不難知正方體的棱長；正四面體的棱長：正方體的體對角線長。例8.5 正三棱柱 內(nèi)接于半徑為2的球, 若 兩點的球面距離為 , 則正三棱柱的體積為 .解析 設(shè) 為球心, 由題意知 , 底面圓的半徑為: , 則正三棱柱的高為 , 所以正三棱柱的體積為 .變式1直三棱柱的各頂點都在同一球面上, 若 , 則此球的表面積等于 .解析 由題意知，在ABC中有AB=AC=2，BAC=120BC=2AB設(shè)ABC外接圓半徑為r,球的半徑為R，則由正弦定理得 又2=AA1=2=5所以球的表面積為=20

14、變式2 直三棱柱的6個頂點都在球 的球面上, 若 , 則球 的半徑為( ).A. B. C. D. 分析 根據(jù)求得三棱柱的性質(zhì)求解。解析 如圖8-268所示，在直三棱柱中AB=3，AC=4.AA1=12，ABAC,所以BC=5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑，取BC中點D，則OD底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑。所以2R=即故選C. 評注 在B1BCC1這個截面中，有底面半徑、球半徑、高等主要元素，這樣空間問題就轉(zhuǎn)移到一個平面上，通過在平面內(nèi)找到各邊的關(guān)系便可解題。例8.6 一個正三棱錐的4個頂點都在半徑為1的球面上, 其中底面的3個頂點在該球的一

15、個大圓上, 則該正三棱錐的體積是( )A. B. C. D. 解析 設(shè)正三棱錐的底面邊長為 , 高為 , 由題意知 .故選C.變式1 已知 是球 表面上的點, 平面 , 則球 的表面積等于( )A. B. C. D. 解析 如圖8-269所示，四面體S-ABC是棱長為1,1，的長方體的一部分，它們具有公共的外接球的球心及半徑，則外接球半徑為=1，所以球表面積為。故選A。變式2已知三棱錐 的所有頂點都在球 的球面上, 是邊長為1的正三角形, 為 的直徑, 且 , 則此棱錐的體積為( ).A. B. C. D. 解析 設(shè)球O的半徑為R，設(shè)正ABC的外接圓的半徑為r，由正弦定理可得則則點O到平面AB

16、C的距離又SC為球O的直徑，故點S到平面ABC的距離為，所以。故選A。評注 在球面上求點面距離時要善于將其轉(zhuǎn)化為球心到截面的距離，本題亦可用排除法： 由VS-ABC1=r不符合題意，故舍去。則點S的軌跡為平行于平面ABCD且與平面ABCD的距離為的圓O2，上，所以點O2則是線段O O1的中點，故SO O1為等腰三角形，所以，| S O1|=| S O|=1故選C。最有效訓(xùn)練題31(限時45分鐘)1. 若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為 , 半徑為 的扇形, 則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是( ).A. 3:2 B. 2:1 C. 4:3 D. 5:32. 一個長方體上一個頂點所在的三個面的面積分別是

17、, 這個長方體的體對角線長為( ).A. B. C. 6 D. 3. 如圖8-8所示, 在等腰梯形 中, , E為 的中點, 將 與 分別沿 和 向上折起, 使 重合于點 , 則三棱錐 的外接球的體積為( ).A. B. C. D. 4. 過球的一條半徑的中點作垂直于這條半徑的球的截面, 則此截面面積是球表面積的( ).圖 8-8A. B. C. D. 5. 側(cè)棱長為4, 底面邊長為 的正三棱柱的各頂點均在同一個球面上, 則該球的表面積為( ).A. B. C. D. 6. 已知在四棱錐 , 則四棱錐 的體積 的取值范圍是( ).A. B. C. D. 7. 若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為 的

18、半圓面, 則該圓錐的體積為 .8. 將圓心角為 , 面積為 的扇形作為圓錐的側(cè)面, 則圓錐的表面積等于 .9. 正四棱錐底面邊長為4, 側(cè)棱長為3, 則其體積為 .10. 用一平行于圓錐底面的平面截這個圓錐, 截得圓臺上下底面的半徑的比是1:4, 截去的圓錐的母線長是3cm, 則圓臺的母線長為 cm.11. 如圖8-9所示, 長方體 中, , 并且 . 求沿著長方體的表面自 到 的最短線的長.12. 底面半徑為1, 高為 的圓錐, 其內(nèi)接圓柱的底面半徑為 , 當(dāng) 為何值時, 內(nèi)接圓柱的體積最大?最有效訓(xùn)練題311.C 解析 依題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則，得。圓錐的表面積為圓錐的側(cè)面積為所以圓錐的表面積與側(cè)面積的比為4:3.故選C.2 D 解析 設(shè)長方體的長，寬，高分別為a,b,c則解得，所以長方體的對角線長故選D.3.