教學(xué)課件5.1不定積分（合）

1、 山東理工職業(yè)學(xué)院 高等數(shù)學(xué)不 定 積 分5.1 不定積分的概念和性質(zhì)分析: (1)邊際成本即成本函數(shù)的導(dǎo)數(shù); (2)固定成本5000元即產(chǎn)量為零時的成本(引例)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知每月生產(chǎn)的產(chǎn)品的邊際成本是 , 且固定成本是5000元.求總成本C與月產(chǎn)量 的函數(shù)關(guān)系.工作中遇到這樣的經(jīng)濟(jì)問題：?已知一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，如何求這個函數(shù)？ 乘法 1. 原函數(shù)定義 微分法 逆運算 積分法 在微分學(xué)中,我們所研究的問題是尋求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 但在許多實際問題中,常常需要研究相反問題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求原來的函數(shù). 除法 逆運算5.1 不定積分的概念和性質(zhì) 積分法 逆運算 微分法 微分法是研究如

2、何從已知函數(shù)求出其導(dǎo)函數(shù).如已知函數(shù)要求它的導(dǎo)函數(shù): 還會遇到的問題是: 已知函數(shù) ,要求一個函數(shù) ,使其導(dǎo)函數(shù)恰是:已知函數(shù) ,要求它的導(dǎo)函數(shù) 已知導(dǎo)函數(shù) ,要還原函數(shù) 逆問題5.1 不定積分的概念和性質(zhì)5.1 不定積分的概念和性質(zhì)原函數(shù)舉例因為 , 定義1設(shè)函數(shù) 和 在區(qū)間 上有定義，若對 ，有 或則稱函數(shù) 是 在區(qū)間 上的一個原函數(shù).又因為 , 所以 是 在區(qū)間 上的一個原函數(shù). 所以 是 在區(qū)間 上的一個原函數(shù). 你明白了嗎？定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上連續(xù), 則它在該區(qū)間上存在原函數(shù).注：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 每個初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都有原函數(shù). 提

3、問：在什么條件下,函數(shù)的原函數(shù)存在？ 如果存在，是否只有一個？5.1 不定積分的概念和性質(zhì)原函數(shù)有如下特性： （1）如果函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù), 那么函數(shù)族F(x)C（C為任意常數(shù)）也是函數(shù)f(x)的原函數(shù)；（2） 函數(shù) f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù), 即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù), 則 (x)F(x)C (C為某個常數(shù)). 是 在區(qū)間 上的一個原函數(shù). 5.1 不定積分的概念和性質(zhì)2.不定積分 函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)稱為f(x)的不定積分, 定義2根據(jù)定義, 如果 F(x) 是 f(x) 的一個原函數(shù), 那么 F(x)C 就是 f(x)

4、 的不定積分, 即積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分常數(shù)5.1 不定積分的概念和性質(zhì)記作5.1 不定積分的概念和性質(zhì) 是 的一個原函數(shù) 是 的一個原函數(shù)如：例1 求.解：因為 ，即 是 的一個原函數(shù)， 所以5.1 不定積分的概念和性質(zhì)解：因為故 例2 求 所以分析：與 有關(guān)的求導(dǎo)公式 例3 求函數(shù) 的不定積分 合并上面兩式, 得到 解： 5.1 不定積分的概念和性質(zhì)5.1 不定積分的概念和性質(zhì)解： 因為 ,所以 (引例)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知每月生產(chǎn)的產(chǎn)品的邊際成本是 , 且固定成本是5000元.求總成本 與月產(chǎn)量 的函數(shù)關(guān)系.= ?不定積分的運算從幾何上看,函數(shù) 的任意一個原函數(shù) 的圖像

5、是一條曲線；不定積分 代表一族曲線,稱為函數(shù) 的積分曲線族.不定積分的幾何意義5.1 不定積分的概念和性質(zhì)-幾何意義、性質(zhì)每條曲線上相同橫坐標(biāo)點處的切線的斜率相等解 由題意知此曲線的方程為設(shè)所求曲線方程為：xyo112例4. 求過 點，且在任意一點 處切線的斜率為 的 曲線方程.又曲線通過點 ，5.1 不定積分的概念和性質(zhì)-幾何意義、性質(zhì)不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 求不定積分與求導(dǎo)數(shù)(或微分)互為逆運算性質(zhì)2 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分符號的前面性質(zhì)3 兩個函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于它們不定積分的代數(shù)和（可推廣）5.1 不定積分的概念和性質(zhì)-幾何意義、性質(zhì)3.若 的一個原函數(shù)為 ，則 （

6、） 1.若 ，則 2.若 ，則 課 堂 練 習(xí)（A） （B） （C） （D）析：根據(jù)不定積分的定義，B析：5.1 不定積分的概念和性質(zhì)-幾何意義、性質(zhì)4.設(shè) 是區(qū)間 內(nèi)連續(xù)函數(shù) 的兩個不同的原函數(shù)，且 ，則在區(qū)間 內(nèi)必有 （ ）.（A） （B） 析：函數(shù) f(x)的任意兩個原函數(shù)之間只差一個常數(shù)5.設(shè)曲線通過點 ,且其上任意一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的平方,求此曲線的方程. （C）（D）D解：設(shè)曲線的方程為：即由題意：所以又曲線過點故曲線的方程為課 堂 練 習(xí)5.1 不定積分的概念和性質(zhì)-幾何意義、性質(zhì)基本積分公式 (k是常數(shù))說明：5.2 不定積分的基本公式和直接積分法5.2 不定積分的

7、基本公式和直接積分法熟 記5.2 不定積分的基本公式和直接積分法直接積分法 直接利用基本積分公式和不定積分的運算性質(zhì),有時須先將被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形,便可求得一些函數(shù)的不定積分. . 5.2 不定積分的基本公式和直接積分法例1. 求解：不要忘記常數(shù)C例2. 求解：5.2 不定積分的基本公式和直接積分法5.2 不定積分的基本公式和直接積分法例3. 求解：例4. 求解： 例5 例6 5.2 不定積分的基本公式和直接積分法例7 5.2 不定積分的基本公式和直接積分法5.2 不定積分的基本公式和直接積分法注意：當(dāng)不定積分不能直接應(yīng)用基本積分表和不定積分的性質(zhì)進(jìn)行計算時，需先將被積函數(shù)化簡或變形再進(jìn)行計

8、算計算的結(jié)果是否正確，只需對結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)例如，要檢查例3的結(jié)果是否正確，只需計算，就可以肯定計算結(jié)果一定正確5.2 不定積分的基本公式和直接積分法課 堂 練 習(xí)1.求解2. 求解3.求解解：課 堂 練 習(xí)4.求5.2 不定積分的基本公式和直接積分法 5.3 換元積分法5.3.1第一換元積分法（湊微分法） 5.3.2第二換元積分法5.3 換元積分法-第一換元積分法（湊微分）這是因為例如, 所以,的原函數(shù).不是 換元 積分法 要解決上述問題,可進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q 在利用基本積分公式對被積函數(shù) 求不定積分 時,要求積分變量 與被積函數(shù) 中的元(即 )必須嚴(yán)格對應(yīng).只有這樣才能直

9、接積分.否則,就不能利用直接積分法.5.3 換元積分法-第一換元積分法（湊微分）這是因為例如, 的原函數(shù).不是 換元 積分法 所以,令則被積函數(shù)被積表達(dá)式所以,將 代回 換元 積分法 5.3.1第一換元積分法 換元 積分法 令則由于即 是 的原函數(shù).所求不定積分是正確的.上述方法具有普遍性是否正 確呢? 5.3.1第一換元積分法=變量替換=用積分公式=變量還原 第一換元 積分法 設(shè) 若 可導(dǎo), 則有5.3.1第一換元積分法對照案例一換元積分法公式 這是 的函數(shù) 案例的計算過程 這是 的函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 關(guān)鍵是找到 ，使 與 結(jié)合湊成微分湊微分法 5.3.1第一換元積分法恰是的導(dǎo)數(shù).例1求解

10、被積函數(shù)是兩個因子: 和 的乘積 注意到視則因子是的函數(shù) 因子由此 正是 形式. 設(shè)則于是可用換元 積分法 5.3.1第一換元積分法例2求解被積函數(shù)是兩個因子: 和 的乘積 視于是被積函數(shù)具有形式 可用換元 積分法 因本例可不設(shè)出中間變量 ,按如下格式書寫:5.3.1第一換元積分法例3求解5.3.1第一換元積分法例4求解因為，而所以5.3.1第一換元積分法1. 下列各題求積方法有何不同?思考與練習(xí)5.3.1第一換元積分法應(yīng)用第一類換元法的常見的積分類型如下：1.；2.；3.；4.；5.3.1第一換元積分法應(yīng)用第一類換元法的常見的積分類型如下：1.；2.；3.；4.；5.3.1第一換元積分法6.

11、 ，5.； 7. 8.5.3.1第一換元積分法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求則得第二類換元積分法 .難求5.3.2第二換元積分法設(shè)函數(shù) 連續(xù)， 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ，且 ， 是其反函數(shù)。定理2若則稱為不定積分的第二類換元積分公式5.3.2第二換元積分法第二換元法的步驟對于被積函數(shù)含有根式的不定積分,常用第二換元法,引入適當(dāng)?shù)拇鷵Q,以去掉根號.說明5.3.2第二換元積分法例 求解 令5.3.2第二換元積分法根式代換例如 求解 令5.3.2第二換元積分法例1求設(shè) ，則 ，解5.3.2第二換元積分法例2 求解 令5.3.2第二換元積分法思考與練習(xí)1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ?令令

12、令5.3.2第二換元積分法三角代換5.3.2第二換元積分法 例1. 求解: 令則 原式5.3.2第二換元積分法例2. 求解: 令則 原式5.3.2第二換元積分法小結(jié)1. 第二類換元法常見類型: 令令令令令令5.3.2第二換元積分法常用基本積分公式的補(bǔ)充 小結(jié)5.3.2第二換元積分法小結(jié)5.3.2第二換元積分法分部積分公式設(shè)函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 那么, (uv)uvuv, 移項得 uv(uv)uv. 對這個等式兩邊求不定積分, 得 分部積分公式5.4 分部積分法或5.4 分部積分法（1）分部積分公式主要解決被積函數(shù)是兩類函數(shù)乘積的 不定積分（2）使用分部積分公式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)?/p>

13、選擇 和 ，一般地, 公式使用時，應(yīng)注意：易求,且新積分 比原積分 易求. 例1 解：設(shè) 如果令 于是則計算更復(fù)雜則5.4 分部積分法設(shè) ， 例2 解： 試一試： 5.4 分部積分法當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)之積時,如:要用分部積分公式.并選冪函數(shù)為即說明對某些不定積分來說,有時需用連續(xù)用若干次分部積分公式.當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積時,如:要用分部積分公式.并選冪函數(shù)為即5.4 分部積分法 例3 求： 被積函數(shù)可看作 與 1 的乘積解：5.4 分部積分法 例4 解：5.4 分部積分法 例5 解：5.4 分部積分法當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積時,如:要用分部積分公式.并選對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)為說明當(dāng)被積函數(shù)單純?yōu)閷?shù)函數(shù),反三角函數(shù)時,也用分部積分公式5.4 分部積分法 解 例6 5.4 分部積分法因