深圳市第二高級(jí)中學(xué)2012高二期中考試（選修2-2選修2—3）

1、20112012學(xué)年深圳市第二高級(jí)中學(xué)第三學(xué)段考試高 二 數(shù) 學(xué)（理科） 試 題時(shí)間：120分鐘 滿分： 150分 命題人：殷木森 審題人：廖國(guó)平第卷注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考試科目等寫在答題卷上指定位置，并將試卷類型（A）和考生號(hào)的對(duì)應(yīng)數(shù)字方格用2B鉛筆涂黑；2、選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后再選涂其他答案，不能答在試卷上；其他題直接答在試卷中指定的地方。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)把答案填涂在答題卡上1. 有一段演繹推理是這樣的：

2、“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)；是指數(shù)函數(shù)；是增函數(shù)”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，原因是 A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤2. 有兩組平行線，一組有條，另一組有條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成（ ）個(gè)平行四邊形.A. B. C. D. 3. 二項(xiàng)式的展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是 A. B. C. D.4. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5. 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次，事件“第一次出現(xiàn)正面”,事件“第二次出現(xiàn)正面”，則等于A B C D6. 已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，則A B C D7. 已知和式當(dāng)時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，則可用定積分表示為AB C

3、D8.高二年級(jí)某三個(gè)班級(jí)參加“深圳市第二高級(jí)中學(xué)第一屆數(shù)學(xué)競(jìng)賽”分別有名同學(xué)獲獎(jiǎng)，并站成一排合影留念，若相同班級(jí)的同學(xué)不能相鄰，則有（ ）種排法.A B C D第卷 非選擇題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分請(qǐng)把答案填在答卷內(nèi)9設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則 .10. 已知自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為， 則在到這一段時(shí)間內(nèi)落體的平均速度為 ，落體在時(shí)的瞬時(shí)速度為 .11. 已知二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)與復(fù)數(shù)的模相等，則 12. 與直線垂直的拋物線的切線方程為 .13. 中國(guó)已進(jìn)入了高油價(jià)時(shí)代，車主們想盡辦法減少用油.已知某型號(hào)汽車以速度行駛時(shí)，耗油率是，若要使每公里的耗油量最低，

4、則應(yīng)該以 的速度勻速行駛.14. 一般地，給定平面上有個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)之間有一個(gè)距離，最大距離與最小距離的比記為，已知的最小值是， 的最小值是， 的最小值是.試猜想的最小值是 .（這就是著名的Heilbron猜想，已經(jīng)被我國(guó)的數(shù)學(xué)家攻克）三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15. （本小題滿分12分）用到這個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)（1）這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？能被整除的有多少個(gè)？（2）這些四位數(shù)中大于的有多少個(gè)？解：（1）偶數(shù)的個(gè)位數(shù)只能是2、4、6、8有共4種排法，其它位上有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有四位偶數(shù)1344個(gè)；能被5整除的數(shù)個(gè)位必

5、須是5，故有336個(gè)；6分（2）最高位上是4時(shí)，百位上只能是到，共有種；最高位大于4時(shí)，共有種；由分類加法計(jì)數(shù)原理知，這些四位數(shù)中大于的共有1974個(gè)12分16. （本小題滿分14分） 已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）求曲線，所圍成的圖形的面積.解：（1），解得，解得，的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（注：也可以寫成閉區(qū)間或）4分（2）切點(diǎn)坐標(biāo)是，且在點(diǎn)處的切線方程是化簡(jiǎn)得9分（3）解得由的圖象特點(diǎn)得曲線，所圍成的圖形的面積是：（或由求得）14分17. （本小題滿分12分）小王參加2012年度某項(xiàng)勞動(dòng)技能考試考試按科目A，B依次進(jìn)行，只有科目A合格后才能繼續(xù)參加科

6、目B的考試每個(gè)科目本年度只有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，只有兩個(gè)科目都合格才能獲得該項(xiàng)勞動(dòng)技能合格證已知他每次參加科目A考試合格的概率均為，每次參加科目B考試合格的概率均為，且各次考試是否合格互不影響（1）求小王不用補(bǔ)考就順利獲得2012年度該項(xiàng)勞動(dòng)技能合格證的概率；（2）記小王參加2012年度該項(xiàng)勞動(dòng)技能考試的次數(shù)為（含可能的補(bǔ)考次數(shù)），求隨機(jī)變量的分布列解： （1）設(shè)小王參加科目A考試合格與補(bǔ)考合格分別為事件，參加科目B考試合格與補(bǔ)考合格分別為事件，由已知， 2分又，相互獨(dú)立，所以“小王不用補(bǔ)考就順利獲得2012年度該項(xiàng)勞動(dòng)技能合格證” 5分故小王不用補(bǔ)考就順利獲得2012年度該項(xiàng)勞動(dòng)技能合格證的概率為

7、 6分（2）隨機(jī)變量的可能取值為2，3，4 7分則，8分 11分所以隨機(jī)變量的分布列為：12分18. ABCDOFE如圖，有一正方形鋼板缺損一角(圖中的陰影部分)，邊緣線是以線段的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線的一部分.工人師傅要將缺損一角切割下來(lái)，使剩余的部分成為一個(gè)直角梯形. 若正方形的邊長(zhǎng)為，問(wèn)如何畫切割線，可使剩余的直角梯形的面積最大？并求其最大值.ABCDOFExyP解：（法一）以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線弧的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為，故邊緣線的方程為. 4分要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的的方程可表示為，即，7分由此可求得，.，9

8、分設(shè)梯形的面積為，則. 12分當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為.此時(shí).13分答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為. 14分解法二：以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線弧的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為， 故邊緣線的方程為. i4分要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的的方程可表示為，即，7分由此可求得，.，9分設(shè)梯形的面積為，則. 12分當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為.此時(shí).13分答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為. 14分（法二）以為原點(diǎn)，直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，依題意可設(shè)拋物線弧的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為， 故邊緣線的方程

9、為. i4分要使梯形的面積最大，則所在的直線必與拋物線弧相切，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的的方程可表示為，即，7分由此可求得，.，9分設(shè)梯形的面積為，則. 12分當(dāng)時(shí)，取最大值，其最大值為.此時(shí).13分答：當(dāng)時(shí)，可使剩余的直角梯形的面積最大，其最大值為. 14分19. 某校要組建明星籃球隊(duì)，需要在各班選拔預(yù)備隊(duì)員，規(guī)定投籃成績(jī)級(jí)的可作為入圍選手，選拔過(guò)程中每人投籃次，若投中次則確定為級(jí)；若投中次及以上則可確定為級(jí).已知某班同學(xué)小明每次投籃投中的概率是.（1）求小明投籃次才被確定為級(jí)的概率；（2）設(shè)小明投籃投中次數(shù)為，求的分布列；（3）若連續(xù)兩次投籃不中則停止投籃，求小明不能入圍的概率.解：解：（1）阿

10、明投籃4次才被確定為B級(jí)的概率；4分 （2）由已知，的分布列為：012345P 8分 （3）若連續(xù)兩次投籃不中則停止投籃，阿明不能入圍這一事件有如下幾種情況：5次投中3次，有種投球方式，其概率為；投中2次，分別是中中否否、中否中否否、否中中否否、否中否中否，概率是；投中1次分別有中否否、否中否否，概率為；投中0次只有否否一種，概率為；所以阿明不能入圍這一事件的概率是.14分20. 已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）證明：（）為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解： （1）是的一個(gè)極值點(diǎn)，則 ，驗(yàn)證知=0符合條件. 3分（2）. 4分1）若=0時(shí)， 單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；5分 2）若 上單調(diào)遞減. 6分 3）若. . 再令. 7分 在. 綜上所述，若上單調(diào)遞減若 . 8分若時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)