多元函數微分學及應用隱函數反函數_23

1、-. z.習題課：多元函數求偏導，多元函數微分的應用多元復合函數、隱函數的求導法(1)多元復合函數設二元函數在點處偏導數連續(xù)，二元函數在點處偏導數連續(xù), 并且,則復合函數 在點處可微，且多元函數微分形式的不變性：設，均為連續(xù)可微，則將看成的函數，有計算，代人，我們將叫做微分形式不變性。設，求。解：由微分形式不變性，故 。，求.解考慮二元函數, ，應用推論得(2)隱函數 假設函數, 由方程確定，求導之函數？按隱函數定義有恒等式：，。從這是可見：函數可導有一個必要條件是，.函數由方程是常數，求導函數。解：方程兩邊對求導，一般來說，假設函數, 由方程確定，求導之函數？ 將看作是的函數,對于方程兩端分

2、別關于求偏導數得到，并解,可得到公式 :設函數由方程組 確定， 求. 解 解方程得：=由此得到 .函數由參數方程:,給定，試求.解 這個問題涉及到復合函數微分法與隱函數微分法. 是自變量,是中間變量(是的函數), 先由 得到 是由方程的的隱函數，在這兩個等式兩端分別關于求偏導數，得 ， 得到 將這個結果代入前面的式子, 得到與 (3) 隱函數函數由方程確定，求解： 函數關系分析: 5 (變量) 3 (方程)=2(自變量); 一函 (u), 二自( *, y ), 二中( z, t ), , .二階偏導數：一階導函數的偏導數由決定，求解：，設，其中函數于的二階偏導數連續(xù)，求設，二階連續(xù)可微，求.

3、解記; ,則 ,因為 都是以為中間變量，以為自變量的函數，所以將以上兩式代入前式得:.設二階連續(xù)可微，并且滿足方程 假設令 試確定為何值時能變原方程為 .解將看成自變量，看成中間變量，利用鏈式法則得=由此可得,= =0 只要選取使得 , 可得 .問題成為方程有兩不同實根，即要求： .令,即可。此時，. .設,又, ,求, 解: ,兩邊對求導,. (1),兩邊對求導, . 兩再邊對求導,. (2)由 , (3)(1), (2), (3) 聯(lián)立可解得:多元微分的應用: 幾何應用，物理應用極值與條件極值問題空間曲面(1)空間曲面的表達式顯函數表示： 隱函數表示: 參數表示：(2)空間曲面的切平面與法

4、線空間曲面由顯函數表示，設，空間曲面過切平面方程為 法線方程是 法向量為空間曲面存在切平面的條件：假設曲面由顯函數表示在點可微, 則曲面在點有不平行軸的切平面.假設曲面由隱函數表示, 曲面過切平面方程為法線方程為法向量假設曲面由參數表示：，其切平面為或法線方程為法向量求曲面:上切平面與直線平行的切點的軌跡。解: (1) 直線的方向：. 切點為處曲面的法向：. (2)所求軌跡：,軌跡為空間曲線：證明球面與錐面正交.證明所謂兩曲面正交是指它們在交點處的法向量互相垂直.記 曲面上任一點處的法向量是 或者曲面上任一點處的法向量為.設點是兩曲面的公共點，則在該點有即在公共點處兩曲面的法向量相互垂直，因此

5、兩曲面正交.過直線作曲面的切平面，求該切平面的方程解：設切平面過曲面上的點，則切平面的法向量為過直線的平面可以表示為其法向量為 是曲面上的點，聯(lián)立，解得，或，切平面方程為，或通過曲面上點的切平面 B 通過軸； 平行于軸；垂直于軸； ，都不對.解題思路 令.則在其上任一點的法向量為于是在點的法向量為因此, 切平面的方程為.在的法向量垂直于軸，從而切平面平行于軸但是由于原點不在切平面，故切平面不含軸.可微，證明曲面上任意一點處的切平面通過一定點，并求此點位置證明：設，于是有：,則曲面在處的切平面是：可以得到：易見當時上式恒等于零。于是知道曲面上任意一點處的切平面通過一定點，此定點為S由方程確定,

6、試證明：曲面S上任一點的法線與*定直線相交。證明: 曲面上任意一點的法線為設相交的定直線為, 與法線向交:不平行于只要取即可.求過直線且與曲面相切的平面的方程.解：直線L平面F可表示為 ，設曲面為G則相切處有解得因此切平面方程為 或在橢球面上求一點，使橢球面在此點的法線與三個坐標軸的正向成等角。解：橢球面在此點的法線矢量為，設該點為，則有該點坐標為空間曲線的切線和法平面(1)空間曲面的表達式空間曲面的參數方程:參數方程又可以寫作 空間曲線的交面式：一條空間曲線，可以看作通過它的兩個曲面與的交線，假設設的方程為，的方程為，則的方程是 (2)空間曲線的切線與法平面空間曲面的參數方程表示，其切線為切向量為：法平面為： 空間曲線的交面式表達方式，其切線為切向量為：法平面為：求螺線 ；,在點 處的切線與法平面.解由于點對應的參數為，所以螺線在處的切向量是因而所求切線的參數方程為 法平面方程為 .求