插值與擬合流量和問題分析

1、插值與擬合流量和問題分析一、插值1、插值問題： 不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達式，而只能通過實驗測量得到該函數(shù)在一系列點ax1, x2 , ., xn b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個簡單的函數(shù)P(x)來近似地代替f(x)，要求滿足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n)，此問題稱為插值問題。 P(x)稱為f(x)的插值函數(shù)， x1, x2 , ., xn 稱為插值節(jié)點，f(xi)稱為插值條件。幾種常用的插值方法 1、多項式插值 2、樣條插值1、多項式插值方法 設y=f(x)在n+1個互異點上的x0 , x1, x2 , ., xn 上的值 y

2、0, y1, y2, ., yn，要求一個次數(shù)不超過n次的代數(shù)多項式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn使之在節(jié)點上滿足Pn(xi)=f(xi)幾種常用的多項式插值拉格朗日插值：牛頓插值Hermite插值2、樣條插值方法 設給定區(qū)間a,b的一個分化： a=x0 x1xn=b， 如果函數(shù)s(x)滿足條件：在每個子區(qū)間xi-1,xi上是k次多項式，且具有直到k-1階的連續(xù)導數(shù)，則稱s(x)為一個k次多項式樣條。廣泛使用的樣條函數(shù)（1）二次樣條（2）三次樣條（3）B樣條。二次樣條的定義 設a,b 的一個劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點的值分別為：

3、 f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數(shù)：滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 三次樣條函數(shù)的定義 設a,b 的一個劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數(shù)：3滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 數(shù)據(jù)的擬合2.擬合的基本原理1.擬合問題引例3.用MATLAB求解擬合問題4.應用舉例5.插值與擬合的比較擬合問題引例一 電阻問題溫度t(0電阻R() 765 826 873 942 1032已知熱敏電阻電阻值與溫度的數(shù)據(jù)：求

4、600C時的電阻R。 設 R=at+ba,b為待定系數(shù)解答擬合問題引例二 給藥問題 t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).作半對數(shù)坐標系(semilogy)下的圖形MATLAB(aa1)解答曲 線 擬 合 問 題 的 提 法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準則下與所有數(shù)

5、據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)ii 為點（xi,yi) 與曲線 y=f(x) 的距離曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), m0)模型假設1. 機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型模型建立 在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v用線性最小二乘擬合c(t)MATLAB(lihe1)計算結(jié)果：d=300;t=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.

6、24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：用非線性最小二乘擬合c(t)給藥方案設計cc2c10t 設每次注射劑量D, 間隔時間 血藥濃度c(t) 應c1 c(t) c2 初次劑量D0 應加大給藥方案記為：2、1、計算結(jié)果：給藥方案：c1=10,c2=25故可制定給藥方案：即: 首次注射 375 mg， 其余每次注射 225 mg， 注射的間隔時間為 4 小時。用非線性最小二乘擬合c(t)-用lsqcurvefit(lsqnonlin)2、主程序如下cleartdata=0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;cdat

7、a=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01; x0=10,0.5;x=lsqcurvefit(curvefun3,x0,tdata,cdata);f=curvefun3(x,tdata) xMATLAB(lihe2)1、用M-文件curvefun3.m定義函數(shù)function f=curvefun3(x,tdata)d=300f=(x(1)d)*exp(-x(2)*tdata) % x(1)=v; x(2)=k MATLAB(FZXEC3)擬合與插值的比較問題：給定一批離散的數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面, 從而獲取整體的規(guī)律

8、。即通過窺幾斑來達到知全豹。 解決方案： 若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。 若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題； 從幾何意義上看，擬合是給定了空間中的一些點，找到一個已知形式的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點；而插值是找到一個(或幾個分片光滑的)連續(xù)曲面來穿過這些點。 擬合與插值的區(qū)別 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。 實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和 f之間的關(guān)系？MATLAB(cn)最臨近插值、線性插值、樣條插值與

9、曲線擬合結(jié)果：美國某州的各公用水管理機構(gòu)要求各社區(qū)提供各個時刻的用水率以及每天所用的總用水量但許多社區(qū)并沒有測量流入或流出當?shù)厮乃康脑O備，他們只能代之以每小時測量水塔中的水位更為重要的是，無論什么時候，只要水塔中的水位下降到某一最低水位L時，水泵就啟動向水塔重新充水直到某一最高水位，但也無法得到水泵的供水量的測量數(shù)據(jù)因此，在水泵正在工作時，人們不容易建立水塔中水位與水泵工作時的用水量之間的關(guān)系水泵每天向水塔充水一次或兩次，每次大約二小時試估計在任何時候，甚至包括水泵正在工作的時間內(nèi)，水從水塔流出的流量，并估計一天的總用水量表給出了某個小鎮(zhèn)某一天的真實數(shù)據(jù)估計水塔的水流量表某小鎮(zhèn)某天的水塔

10、水位 時間(s)水位(0.01英尺)時間(s）水位(0.01英尺)時間（s）水位(0.01英尺)0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表給出了從第

11、一次測量開始的以秒為單位的時刻，以及該時刻的高度單位為百分之一英尺的水塔中水位的測量值，例如3316秒后，水塔中的水位達到英尺水塔是一個垂直圓形柱體，高為40英尺，直徑為57英尺 二、問題分析我們很容易想到應通過對所給的數(shù)據(jù)進行數(shù)值擬合來建模在討論具體的建模方法以前，我們應先給出一些合理的假設(1)影響水從水塔中流出的流量的唯一因素是公眾對水的傳統(tǒng)要求因為表只給出了某一天（近26小時）水塔的水位數(shù)據(jù)，并沒有對這些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生有影響的因素作出具體的說明，我們只能假定所給數(shù)據(jù)反映了有代表性的一天，而不包括任何特殊情況，如自然災害、火災、水塔溢水、水塔漏水等對水的特殊要求(2)水塔中的水位不影響水流量

12、的大小，氣候條件、溫度變化等也不影響水流量(3)水泵工作起止時間有它的水位決定，每次充水時間大約為兩個小時二、問題分析(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量遠大于水塔的水流量，以保證人們對水的需求水泵工作時不需要維修，也不中途停止工作(5)水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨立，并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線了逼近這時，在每一個數(shù)據(jù)點，水流量的兩階導數(shù)是連續(xù)的因為水的消耗量是基于社區(qū)公眾一天的活動，如洗澡、做飯、洗衣服等，每一個使用者的要求與整個社區(qū)的要求相比是微不足道的，而整個社區(qū)的需求是不可能同時增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以假設水流量曲

13、線是一條連續(xù)光滑的曲線(7)表的數(shù)據(jù)是準確的二、問題分析對所給的問題，其建模方法是經(jīng)典的，基本上是分成三步：首先由所給數(shù)據(jù)得到在各數(shù)據(jù)點處的水流量，然后找出一個水從水塔流出的水流量的光滑擬合逼近，最后處理水泵工作時的充水水量以及一天該小鎮(zhèn)公眾的總用水量，同時也重建了水泵工作時所缺的數(shù)據(jù)所給數(shù)據(jù)的初步處理.我們把表所給的數(shù)據(jù)作為時間的函數(shù)畫成圖二、問題分析圖1時間與水位的關(guān)系圖 二、問題分析從圖可以看出，最大的困難是要解決如何描述水塔充水期間的水流量的行為，為此，我們先分析一下水泵充水期間的觀察數(shù)據(jù)，要解決兩個問題：一是兩次充水準確的起始時間和停止時間，如果無法得到準確時間的話，以哪一時刻作為起

14、止時間比較合理；二是充水期間的水流量如何描述從所給的數(shù)據(jù)自然無法知道水泵開始和停止的準確時間，但是已知第一次充水前的最后一個數(shù)據(jù)為32284秒時水位為英尺 ，充水中第二個數(shù)據(jù)為39332秒時而39332-32284=7048秒，即約為小時，由水泵每次充水要大約小時可知，水泵是在32284秒時開始充水的停止時間在39332秒與39435秒之間，但這兩個時刻的差距為103秒，約小時，很短的時間，所以我們可以假定水泵停止工作時間為39332秒充水開始時水塔水位為英尺，可以認為L大約為英尺 二、問題分析、水流量曲線的擬合 表給出的是水位與時間的關(guān)系，而題目要求我們求出的是水流量與時間的關(guān)系，因此，我們

15、先將表的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為水塔中水的體積與時間的關(guān)系，然后再轉(zhuǎn)化為水流量與時間的關(guān)系表、圖代表水的體積與時間的關(guān)系（程序見實驗解答中程序二） 二、問題分析表2時間與體積的關(guān)系時間（秒）體積(立方英尺)時間（秒）體積(立方英尺)時間（秒）體積(立方英尺)081018.33735932working6853572520.98331679359.69339332working7185470607.161663577930.7093943590587.4317502168820.931061976399.6534331887908.08579154working1393775200.3274663685483

16、.91482649working1792173796.864995383187.3318596888673.6122124072725.1215393680814.1968995386683.2412522371372.6895725478772.7899327085228.7382854370224.3986057476858.973228468820.936455474689.975二、問題分析圖2時間與體積的關(guān)系圖二、問題分析我們用 從水的體積與時間的關(guān)系得到水流量與時間的關(guān)系（由于在充水時，沒有水的體積與時間的關(guān)系，所以也沒有水流量與時間的關(guān)系）我們采用差分法來解決這個問題由于水泵充水

17、兩次，數(shù)據(jù)被分割成三組，因而我們也分三組來處理數(shù)據(jù)對每一組數(shù)據(jù)，我們采用中心差分公式 二、問題分析來計算每一組中間數(shù)據(jù)點的水流量而對每組前兩個和最后兩個數(shù)據(jù)點，采用如下的公式來計算對于最后的倒數(shù)第二個數(shù)據(jù)，我們用下面的公式計算：二、問題分析(4)水泵充水速度恒定，且水泵充水的水流量遠大于水塔的水流量，以保證人們對水的需求水泵工作時不需要維修，也不中途停止工作(5)水塔的水流量與水泵狀態(tài)獨立，并不因水泵工作而增加或減少水流量的大小(6)水塔的水流量曲線可以用一條光滑的曲線了逼近這時，在每一個數(shù)據(jù)點，水流量的兩階導數(shù)是連續(xù)的因為水的消耗量是基于社區(qū)公眾一天的活動，如洗澡、做飯、洗衣服等，每一個使用者的要求與整個社區(qū)的要求相比是微不足道的，而整個社區(qū)的需求是不可能同時增加或減少的，由于水的消耗的自然性，可以假設水流量曲線是一條連續(xù)光滑的曲線(7)表的數(shù)據(jù)是準確的二、問題分析計算結(jié)果見表和圖時間（秒）流量(立方英尺/秒)時間（秒）流量(立方英尺/秒)時間（秒）流量(立方英尺/秒)00.53482335932working685350.6182733160.4151739332working71854,0.089697366350.373626394350.722878750210.090645106190.408886433180.74983979154working139370.