等腰直角三角形-學案(共16頁)

1、個性化學案等腰直角三角形適用學科初中數(shù)學適用年級初中二年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60分鐘知識點1、等腰直角三角形的概念2、等腰直角三角形的性質學習目標1、認識等腰直角三角形，知道等腰直角三角形各部分名稱、各個角的度數(shù)和各條邊的關系。2、通過實踐操作，拓寬學生的解題渠道，誘發(fā)求異思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。學習重點 等腰直角三角形的定義及性質的應用學習難點等腰直角三角形的性質的應用學習(xux)過程(guchng)復習(fx)預習普通三角形共有（1） HYPERLINK /view/5670.htm t _blank 三角形三 HYPERLINK /view/2393704.htm t _blan

2、k 內角和等于180；（2）三角形的一個 HYPERLINK /view/1525769.htm t _blank 外角等于和它不 HYPERLINK /view/788784.htm t _blank 相鄰的兩個內角之和；（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；（4）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（5）在同一個三角形內，大邊對大角，大角對大邊.二、知識講解考點/易錯點1 等腰直角三角形特有（1）兩底角等于45。（2）兩腰相等?？键c/易錯點2等腰 HYPERLINK /view/8935.htm t _blank 直角三角形中的四條特殊的 HYPERLINK /vi

3、ew/476943.htm t _blank 線段： HYPERLINK /view/335273.htm t _blank 角平分線， HYPERLINK /view/240367.htm t _blank 中線， HYPERLINK /subview/41261/6286221.htm t _blank 高， HYPERLINK /view/417009.htm t _blank 中位線. HYPERLINK /view/240367.htm t _blank 中線：頂點與 HYPERLINK /view/3454270.htm t _blank 對邊中點的連線，平分三角形。 HYPERL

4、INK /view/41261.htm t _blank 高：頂點到對邊垂足的連線。 HYPERLINK /view/335273.htm t _blank 角平分線；頂點到兩邊 HYPERLINK /subview/21812/11244473.htm t _blank 距離相等的點所構成的 HYPERLINK /subview/15102/5140427.htm t _blank 直線。 HYPERLINK /view/417009.htm t _blank 中位線：任意兩邊中點的連線?？键c/易錯點3等腰直角三角形常見題型多垂直、銳角(rujio)相等通過(tnggu)三線合一構造全等3、

5、利用(lyng)垂直與等腰構造全等三、例題精析【例題1】【題干】ABC中, BAC=90, AB=AC, D為BC 上一點,過B，C做BEAD, CFAD求證: BE=EF+CF 【答案】BEAD,BAC=90 EBA=CAF 易證: EBA FAC AE=FC, BE=AF BE=EF+CF【解析】直角三角形中，兩銳角互余；結合三角形全等很容易得證【例題2】【題干】ABC中，BAC=90，AB=AC， AB是BC邊上中線，ABF=CAE，求證：EFAC【答案】RtABC中，AD為中線 BD=AD，ABD=DAC=45 又ABF=CAE DBF=DAE 易證：DBFDAE DE=DF， FED

6、=C=45EFAC【解析】通過三線合一構造全等【例題(lt)3】 【題干】ABC中，BAC=90，AB=AC，BD F 平分(pngfn)ABC，CEBD交BD延長線于E 求證(qizhng)：BD=2CE 【答案】證：BD平分ABC，且CEBE 延長CE、BA交于F 易證：FBECBE FE=CE，ABDACF BD=CF=2CE 【解析】利用垂直與等腰構造全等【例題4】【題干】如圖，點A的坐標為（1，0），點B在直線y=x上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為（）A、（0，0）B、（，）C、（，）D、（，）【答案】解：過A點作垂直于直線y=x的垂線AB，點B在直線y=x上運動，AOB=45

7、，AOB為等腰直角三角形，過B作BC垂直(chuzh)x軸垂足為C，則點C為OA的中點(zhn din)，則OC=BC=作圖可知(k zh)B在x下方，y的右方橫坐標正，縱坐標為負所以當線段AB最短時，點B的坐標為（，）故選B【解析】線段AB最短，說明AB此時為點A到y(tǒng)=x的距離過A點作垂直于直線y=x的垂線AB，由題意可知：AOB為等腰直角三角形，過B作BC垂直x軸垂足為C，則點C為OA的中點，有OC=BC=，故可確定出點B的坐標【例題5】【題干】ABC和AEF均為等腰直角三角形，其初始位置如圖所示，若AEF繞A點順時針旋轉，則BE與CF大小關系為（）A、BECFB、BE=CFC、BECFD

8、、無法確定【答案】解：連接BE、CFABC和AEF均為等腰直角三角形，BA=BC，BAC=FAE，AF=AE，BAECAF，BE=CF故選B【解析】連接BE、CF，證明BAECAF即可得到結論【例題6】【題干】下面的方格圖案中的正方形頂點叫做(jiozu)格點，圖1中以格點為頂點的等腰直角三角形共有4個，圖2中以格點為頂點的等腰直角三角形共有10個，圖3中以格點為頂點(dngdin)的等腰直角三角形共有28個，圖4中以格點為頂點(dngdin)的等腰直角三角形共有50個【答案】解答：解：第一空 4 （正方形邊長為1，直角邊長為1的等腰三角形有4個 ）；第二空 42+2=10 （每個正方形都有4

9、個邊長為1的等腰直角三角形，還有2個直角邊長為的就是以2為斜邊）第三空 44+24+4=28 （4個小正方形就是44，而相鄰的兩個小正方形都有2個直角邊為的等腰直角三角形，這樣相鄰的有4對所以是24，然后再加上4個直角邊長為2的）第四空 46+27+42+4=50（正方形邊長為1，直角邊長為1的等腰三角形有46個小正方形，7對相鄰的兩個小正方形，4對直角邊為2的大正方形，4個直角邊長為的 斜邊為【解析】分析：根據(jù)正方形的性質，知圖1中，連接2條對角線，可以有4個以格點為頂點的等腰直角三角形；圖2中，連接每個正方形的2條對角線，在圖1的基礎上，則共有42+2=10（個）以格點為頂點的等腰直角三角

10、形；圖3中，在圖1和圖2的基礎上，則共有102+8=28（個）以格點為頂點的等腰直角三角形；圖4中，在圖2和圖3的基礎上，分解為幾個（2）（3）的圖形，然后觀察形狀不是（2）（3）的四邊形中是否存在滿足條件的三角形，利用勾股定理的逆定理即可作出判斷四、課堂運用【基礎】1. 如圖，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD與BE相交于F，若BF=AC，則ABC的大小是（）A、40B、45C、50D、60分析：先利用(lyng)AAS判定BDFADC，從而得出BD=DA，即ABD為等腰直角三角形所以得出ABC=45解答(jid)：解：ADBC于D，BEAC于EBEA=ADC=90FBD+BFD=9

11、0，AFE+FAE=90，BFD=AFEFBD=FAEBDF=ADC=90，BF=ACBDFADC（ASA）BD=ADABC=BAD=45故選B2. 用兩個(lin )全等的等腰直角三角形拼下列圖形：等腰三角形；等邊三角形；正方形；等腰梯形一定可以拼成的圖形有（）A、B、C、D、分析：可以將兩個直角三角形拼拼，即可得到可以拼成等腰三角形與正方形解答：解：如圖：B=B=45，可以拼成等腰三角形；如圖：，可以拼成正方形；一定可以拼成的圖形有故選A3. 如圖，ABC中，C=Rt，AC=BC，AD是BAC的平分線，DEAB，垂足為E，若AB=10cm，則DBE的周長(zhu chn)等于（）A、10c

12、mB、8cmC、12cmD、9cm分析：根據(jù)角平分線性質求出CD=DE，根據(jù)勾股定理(u dn l)求出AC=AE=AB，求出BD+DE=AE，即可求出答案解答(jid)：解：AD平分CAB，C=90，DEAB，CD=DE，由勾股定理得：AC=，AE=，AE=AC=BC，DE+BD=CD+BE=BC，AC=BC，BD+DE=AC=AE，BDE的周長是BD+DE+BE=AE+BE=AB=10故選A【鞏固】1. 如圖，在把易拉罐中的水倒入一個圓水杯的過程中，若水杯中的水在點P與易拉罐剛好接觸，則此時水杯中的水深為（）A、2cmB、4cmC、6cmD、8cm分析：易得易拉罐進入水杯部分為等腰直角三角

13、形，底邊長為8，可得底邊上的高讓10減去底邊上的高即為水深解答：解：易拉罐進入水杯部分(b fen)為等腰直角三角形，而斜邊與圓水杯底相等為8cmP點到杯口距離(jl)為4 cm水深為104=6cm故選C2. 如下圖，ABC中，C=90，B=45，AD是角平分線，DEAB于E，則下列(xili)結論不正確的是（）A、AC=AEB、CD=DEC、CD=DBD、AB=AC+CD分析：根據(jù)角平分線性質求出CD=DE，根據(jù)勾股定理求出AC=AE，根據(jù)三角形的內角和定理求出B=BDE，推出BE=DE=CD，即可推出AB=AC+CD解答：解：B、AD是角平分線，DEAB，C=90，CD=DE，故本選項錯誤

14、；A、由勾股定理得：AC=，AE=，AC=AE，故本選項錯誤；D、B=45，DEAB，BDE=1809045=45=B，BE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD，故本選項錯誤；C、CD=DE，BDDE，BDCD，故本選項正確；故選C3. 如圖，將等腰直角ABC沿BC方向平移得到A1B1C1若BC=3，ABC與A1B1C1重疊部分面積為2，則BB1=分析：重疊部分為等腰直角三角形，設B1C=2x，則B1C邊上的高為x，根據(jù)重疊部分的面積列方程求x，再求BB1解答：解：設B1C=2x，根據(jù)等腰三角形的性質(xngzh)可知，重疊部分為等腰直角三角形，則B1C邊上(bin shn)的高為x，x

15、2x=2，解得x=（舍去負值(f zh)），B1C=2，BB1=BCB1C=故答案為4. 如圖，以第個等腰直角三角形的斜邊長作為第個等腰直角三角形的腰，以第個等腰直角三角形的斜邊長做為第個等腰直角三角形的腰，依次類推，若第個等腰直角三角形的斜邊長為厘米，則第個等腰直角三角形的斜邊長為厘米分析：先設第個等腰直角三角形的斜邊是x，第個的等腰直角三角形的斜邊是x，那么第個等腰直角三角形的斜邊是2x，從而有第n個等腰直角三角形的斜邊是（）n1x，根據(jù)題意可得（）91x=16，解即可解答：解：設第個等腰直角三角形斜邊長是x，根據(jù)題意得：（）91x=16，16x=16，x=【拔高】1. 以點A和點B為其中

16、兩個頂點作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A、2個B、4個C、6個D、8個分析：利用等腰直角三角形的性質來作圖，要注意分不同的直角頂點來討論解答：解：此題應分三種情況：以AB為腰，點A為直角頂點；可作ABC1、ABC2，兩個等腰直角三角形；以AB為腰，點B為直角頂點；可作BAC3、BAC4，兩個(lin )等腰直角三角形；以AB為底，點C為直角(zhjio)頂點；可作ABC5、ABC6，兩個(lin )等腰直角三角形；綜上可知，可作6個等腰直角三角形，故選C2. 己知，如圖，在RtABC中，C=90，以RtABC的三邊為斜邊分別向外作三個等腰直角三角形，其中H、E、F是直角，若斜邊AB

17、=3，則圖中陰影部分的面積為（）A、1B、2C、D、分析：在直角ABC中，C=90，AB2=AC2+BC2，即可求證：陰影部分面積ACH和BCF的面積之和為ABE的面積，即陰影部分面積為2倍的ABE的面積，根據(jù)此等量關系即可求解解答：解：在直角ABC中，C=90，AB2=AC2+BC2，根據(jù)等腰直角三角形面積計算方法，AEB的面積為=，AHC的面積為=，BCF的面積為=，陰影(ynyng)部分面積為（AB2+AC2+BC2）=AB2，AB=3，陰影部分(b fen)面積為32=，故選C3. 如圖，以等腰三角形AOB的斜邊為直角(zhjio)邊向外作第2個等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角

18、形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個等腰直角三角形A1BB1，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個等腰直角三角形的面積Sn=分析：本題要先根據(jù)已知的條件求出S1、S2的值，然后通過這兩個面積的求解過程得出一般化規(guī)律，進而可得出Sn的表達式解答：解：根據(jù)直角三角形的面積公式，得S1=21；根據(jù)勾股定理，得：AB=，則S2=1=20；A1B1=2，則S3=21，依此類推，發(fā)現(xiàn)：Sn=2n24. 已知ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以RtABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰RtACD，再以RtACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰RtADE，依此類推，第n個等腰直角三角形的斜邊長是分析：依次、

19、反復運用勾股定理計算，根據(jù)計算結果即可得到結論解答：解：根據(jù)勾股定理，第1個等腰直角三角形的斜邊長是，第2個等腰直角三角形的斜邊長是2=（）2，第3個等腰直角三角形的斜邊長是2=（）3，第n個等腰直角三角形的斜邊長是（）n課程小結等腰直角三角形的判定與性質的靈活應用課后作業(yè)(zuy)【基礎(jch)】1. 在ABC中，BC：AC：AB=1：1：，則ABC是（）A、等腰三角形B、鈍角(dnjio)三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形分析：根據(jù)題意設出三邊分別為k、k、k，然后利用勾股定理的逆定理判定三角形為直角三角形，又有BC、AC邊相等，所以三角形為等腰直角三角形解答：解：設BC、AC、AB

20、分別為k，k，k，k2+k2=（k）2，BC2+AC2=AB2，ABC是直角三角形，又BC=AC，ABC是等腰直角三角形故選D2. 等腰直角三角形的一個底角的度數(shù)是（）A、30B、45C、60D、90分析：根據(jù)等腰直角三角形的定義可知其頂角為90，然后可根據(jù)三角形內角和定理及等腰三角形的性質求出其底角的度數(shù)解答：解：等腰直角三角形一個底角的度數(shù)=（18090）2=45故選B3. 等腰直角三角形的底角為45度分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質和三角形內角和定理解答解答：解：C=90，AC=ABA=B=454. 等腰直角三角形一條邊長是1 cm，那么它斜邊上的高是 分析：題中沒有指明該邊是直角邊不是斜

21、邊，則應該分情況進行分析解答：解：（1）當1cm是斜邊，則其高就是斜邊1的一半是cm；（2）當其直角邊是1cm時，根據(jù)勾股定理得其斜邊是cm，再根據(jù)其高是斜邊的一半得高是cm；所以(suy)它斜邊上的高是cm或cm【鞏固(gngg)】1. 如圖，將圓桶中的水倒入一個直徑為40cm，高為55cm的圓口容器(rngq)中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45度若使容器中的水面與圓桶相接觸，則容器中水的深度至少應為（）A、10cmB、20cmC、30cmD、35cm分析：由題可知，進入容器中的三角形ABC可看作是一個斜邊為40的等腰直角三角形，所以在此三角形中斜邊上的高應該為20，因此若使高為55容器

22、中的水面與圓桶相接觸，由此可以求出水深解答：解：如圖，依題意得ABC是一個斜邊為40的等腰直角三角形，此三角形中斜邊上的高應該為20，水深至少應為5520=35cm故選D2. 如果等腰三角形底邊上的高等于底邊的一半，那么這個等腰三角形的頂角等于 度分析：根據(jù)等腰直角三角形底邊上的“三線合一”的性質，判定等腰直角三角形解答：解：根據(jù)等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線和頂角的角平分線可知，高把原等腰直角三角形分成兩個等腰直角三角形，頂角也就平分成兩個45，故頂角是90，故填903. 等腰直角三角形的一邊長為2cm，則它的周長(zhu chn)為4+2或2+2分析：在等腰直角三角形中，已知了一邊(

23、ybin)的長，但未明確此邊是底還是腰，因此要分類討論解答(jid)：解：當?shù)走呴L為2cm時，腰長是cm，則周長是2+2（cm）；當腰長為2cm時，底邊是2cm，因而周長是：4+（cm）因此這個等腰直角三角形的周長為4+2或2+2（cm）4. 等腰直角三角形的一條直角邊為1cm，則它的斜邊上的高為cm考點：等腰直角三角形。分析：根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)勾股定理和三角形的面積求出斜邊及斜邊上的高解答：解：如圖：ABC為等腰直角三角形，ABC=ACB=45AB=AB=1cm，BC=AB=，ABAC=BCAD，AD=cm【拔高】1. 如圖，AD是ABC的中線，ADC=45，把ADC沿AD對折，點C落在C處，則BC與BC之間的數(shù)量關系是BC=BC分析：設BD=x，則BC=2x；根據(jù)折疊的性質可得，找出對應的邊角即可求出解答：解：BD=CD=x，BC