第12章薄板的小撓度彎曲問題

1、 # 第十二章薄板的小撓度彎曲問題 # # # #知識點薄板的基本概念薄板的位移與應(yīng)變分量薄板廣義力薄板小撓度彎曲問題基本方程薄板自由邊界條件的簡化薄板的萊維解矩形簡支薄板的撓度基爾霍夫假設(shè)薄板應(yīng)力廣義位移與薄板的平衡薄板的典型邊界條件薄板自由邊界角點邊界條件撓度函數(shù)的分解 # # 一、內(nèi)容介紹薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一種常用構(gòu)件，它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板。薄板的彎曲變形屬于彈性力學空間問題，由于數(shù)學求解的復(fù)雜性，因此，需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些

2、次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學模型。薄板的小撓度彎曲理論是由基爾霍夫基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，采用位移解法，就是以撓度函數(shù)作為基本未知量求解。因此，首先將薄板的應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力用撓度函數(shù)表達。然后根據(jù)薄板單元體的平衡，建立撓度函數(shù)表達到平衡方程。對于薄板問題，邊界條件的處理與彈性力學平面等問題有所不同，典型形式有幾何邊界、混合邊界和面力邊界條件。二、重點1、基爾霍夫假設(shè)；2、薄板的應(yīng)力、廣義力和廣義位移；3、薄板小撓度彎曲問題的基本方程；4、薄板的典型邊界條件及其簡化。12.1薄板的基本概念和基本假設(shè)學習要點:本節(jié)討論薄板的基本概念和基本假設(shè)。薄板主要幾何特

3、征是板的中面和厚度。首先，根據(jù)幾何尺寸，定義薄板為51/80，并且撓度小于厚度的五分之一，屬于小撓度問題。對于小撓度薄板，在橫向載荷作用下，將主要產(chǎn)生彎曲變形。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理論是彈性力學的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析。實踐證明是完全正確的。學習思路：1、薄板基本概念；2、基爾霍夫假設(shè)1、薄板基本概念薄板是工程結(jié)構(gòu)中的一

4、種常用構(gòu)件，它是由兩個平行面和垂直于它們的柱面所圍成的物體，幾何特征是其高度遠小于底面尺寸，簡稱板薄板的彎曲變形屬于彈性力學空間問題，由于數(shù)學求解的復(fù)雜性，因此，需要首先建立應(yīng)力和變形分布的基本假設(shè)。薄板的上下兩個平行面稱為板面，垂直于平行面的柱面稱為板邊，如圖所示。兩個平行面之間的距離稱為板厚，用表示。平分板厚的平面稱為板的中面。設(shè)薄板寬度為a、b，假如板的最小特征尺寸為b,如果ni/5，稱為厚板；如果bl/80，稱為膜板；如果l/80MbVl/5，稱為薄板。厚板屬于彈性力學空間問題，而膜板只能承受膜平面內(nèi)部的張力，因此，板的彎曲問題主要是薄板。如果薄板的外載荷作用于板的中面，而且不發(fā)生失穩(wěn)

5、問題時，屬于平面應(yīng)力問題討論。如果外載荷為垂直于板的中面作用的橫向載荷，則板主要變形為彎曲變形。中面在薄板彎曲時變形成為曲面，中面沿垂直方向，即橫向位移稱為撓度。對于薄板，仍然有相當?shù)膹澢鷦偠龋绻麚隙刃∮诤穸鹊奈宸种唬瑢儆谛隙葐栴}；如果超過這個界限，屬于大變形問題。本章只討論薄板的小撓度彎曲問題。根據(jù)薄板的外載荷和幾何特征，外力為橫向載荷，厚度遠小于薄板的平面寬度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本變形假設(shè)，抽象建立薄板彎曲的力學模型。薄板的小撓度彎曲理論是由三個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。2、基爾霍夫假設(shè)薄板的小撓度彎曲理論是由三

6、個基本假設(shè)作為基礎(chǔ)的，因為這些基本假設(shè)是由基爾霍夫首先提出的，因此又稱為基爾霍夫假設(shè)。設(shè)中面為xy平面，則1、變形前垂直于中面的直線變形后仍然保持直線，而且長度不變。這相當于梁的彎曲變形平面假設(shè)，如圖所示根據(jù)這一假設(shè)，二二二0。zzxzy2、垂直于中面方向的應(yīng)力分量，遠小于其他應(yīng)力分量，其引起的zzxzy變形可以不計，但是對于維持平衡是必要的，這相當于梁的彎曲無擠壓應(yīng)力假設(shè)3、薄板彎曲時，中面各點只有垂直中面的位移w，沒有平行中面的位移，uz=0=0，vz=0=0，w=w(x,y)根據(jù)這一假設(shè)，板的中面將沒有變形發(fā)生。板的中面位移函數(shù)w(x,y)稱為撓度函數(shù)。根據(jù)上述假設(shè)建立的薄板小撓度彎曲理

7、論是彈性力學的經(jīng)典理論，長期應(yīng)用于工程問題的分析，實踐證明是完全正確的。根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w(x,y)。下面的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，用撓度函數(shù)w(x,y)表達薄板內(nèi)部任意一點的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解屬于位移解法。12.2薄板小撓度彎曲問題的基本方程學習要點:根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，薄板彎曲的基本未知量可以取撓度函數(shù)w(x,y)。因此，薄板的小撓度彎曲問題求解采用位移解法。本節(jié)的工作是通過平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)方程，用撓度函數(shù)w(x,y)表達薄板內(nèi)部任

8、意一點的位移、應(yīng)力、應(yīng)變和內(nèi)力等，然后利用薄板單元體的平衡建立撓度函數(shù)所要滿足的微分方程。分析中應(yīng)該注意，根據(jù)基本假設(shè)，與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對應(yīng)的應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形是忽略不計的。但是應(yīng)該注意這些應(yīng)力分量對于平衡的影響必須考慮。通過分析可以得到薄板問題的廣義力和對應(yīng)的廣義位移。根據(jù)單元體的平衡，可以得到關(guān)于廣義力和廣義位移的關(guān)系式。然后將其描述為撓度函數(shù)表達的薄板基本方程。學習思路：1、位移與應(yīng)變分量；2、應(yīng)力分量；3、廣義力；4、廣義位移與平衡關(guān)系；5、薄板彎曲小撓度問題的基本方程。1、薄板位移和應(yīng)變分量削二0根據(jù)薄板彎曲的第一個假設(shè)，則幾何方程為根據(jù)幾何方程的第3式，則匪，從而w

9、=w（x，y）。薄板厚度方向的位移與z坐標無關(guān)，可以應(yīng)用板的中面位移表達板的撓度。根據(jù)幾何方程的5，6式，有dzdx對z積分，可得注意到第3個假設(shè)，uz=0=O,vz=0=O，因此f（x，y）=g（x，y）=0，所以 # # #上述分析將位移分量通過撓度函數(shù)w（x,y）表示。根據(jù)幾何方程可以得到撓度函數(shù)表達的應(yīng)變分量。有上式表明，薄板的彎曲應(yīng)變是沿厚度線性分布的，在板的中面為零，上下板面處達到極值。2、薄板的應(yīng)力分量 # 根據(jù)基爾霍夫假設(shè)，本構(gòu)方程簡化為代入應(yīng)變表達式加一氐那加薄板小撓度彎曲問題的正應(yīng)力-Ez,d2yv+d2w+d2w.-v2蘆-Ez滬w-1-v2-Ez1-y29x9 # #

10、# #和切應(yīng)力 #沿厚度也是線性分布的。基本假設(shè)中的二=二0,與厚度方向相關(guān)的應(yīng)變分量為零，其對應(yīng)的應(yīng)zzxzy力分量產(chǎn)生的變形是不計的。應(yīng)該注意的問題是，這些應(yīng)力分量相對于其它應(yīng)力分量產(chǎn)生的變形可以不計，但是對于平衡的影響必須考慮。這里必須放棄物理方程中關(guān)于的二二二0的結(jié)論，而要求二-(+丸；主主0。zzxzyzxyzxzy由于不計,，所以二二0,根據(jù)幾何方程，當然必須放棄物理方程xzyzxzyz中關(guān)于的和的部分，即要二二0,而，又不等于0。xyxyxy3、廣義力對于矩形薄板，采用圖示坐標系。如果從薄板中選取一個微小單元體xdy,單元體在Oxy平面的投影為矩形abed,單元體上部有橫向載荷q

11、dxdy,底面為自由表面。其中外法線與x軸平行的的側(cè)面有應(yīng)力分量，根據(jù)公式xxzxy二二蘭*空-Ez護w二EkF-Ez滬w可以知道，應(yīng)力分量均以中面為對稱面而反對稱分布。這些應(yīng)力分量xxzxy將分別組成合成彎矩M，扭矩M和橫向剪力FS，如圖所示xySx同理 #同理 如果用M，M和FS分別單位長度的彎矩，扭矩和橫向剪力。則xySx同理 #同理 #同理 #同理 #同理，討論外法線與x軸平行的的側(cè)面，有同理 #同理 #同理 #同理 #F面設(shè)法將上述內(nèi)力用撓度函數(shù)w(x,y)表示。將應(yīng)力表達式-Ez,d2yv92w+Vr1-l-r-Ez“護wBw+lz同理 #同理 #-Ezl-y29x9同理 #同理

12、#同理 同理 #代入上述內(nèi)力分量表達式，有其中 # # # #上述內(nèi)力M,M,M和FS和FS稱為廣義力。分別作用于單元體的側(cè)面邊界xyyySxSy如圖所示。4、廣義位移與平衡關(guān)系上述廣義力對應(yīng)的廣義應(yīng)變?yōu)橛?、”_肩，笙舉_忘亦是薄板中面在與Oxz平面平行的平面內(nèi)的曲率，曲率取負號是由于撓曲面x凸面向下為正曲率，而對應(yīng)的撓度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)甞為負值。kxy稱為中面對于x，y軸的扭率。利用廣義應(yīng)變，可以將廣義力表示為冷=Dg+)二0(+咗J考慮單元體的平衡如果討論乞嘰二0,即繞x軸的力矩之和等于零。考慮單元體內(nèi)力對于角點的力矩平衡，有則3M3%BF,th（胚+云砥）3-皿妙+嘰卜寸加皿一眄-（氐+寸

13、dx）如b:-汕如亍二0整理并且略去高階小量，有dxdM # # # 5、薄板彎曲小撓度問題的基本方程同理，根據(jù)工皿丁二0，有3x根據(jù)另璋二0，可以得到簡化并且略去高階小量，有嘰晉嘰dx卽將公式代入上式，并且注意到M=M，有xyyx9X+29X+M=_張23海涉鳥將撓度函數(shù)w（x,y）代入上式，則84刑+2*34w_qSc*3x23y29y4D或者寫作V2V2w=詈其中號2二+孑為拉普拉斯算符。公式V2V2w=尋就是薄板小撓度彎曲問題的基本方程。從而，問題歸結(jié)為在滿足邊界條件的基礎(chǔ)上求解基本方程，確定撓度函數(shù)； #然后根據(jù)公式計算廣義力彎矩和扭矩；再根據(jù)公式-Ezl-i/2+v-Ez # #

14、-Ez1-y29x9確定薄板應(yīng)力分量。12.3薄板邊界條件學習要點:薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于薄板基本方程為一個四階偏微分方程，因此對于矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式可以分為幾何邊界條件、面力邊界條件和混合邊界條件。分別對應(yīng)薄板的固定邊界、自由邊界和簡支邊界約束。由于薄板彎曲問題應(yīng)用位移解法，因此，本節(jié)對于不同的邊界約束，推導(dǎo)邊界條件的撓度函數(shù)表達形式。應(yīng)該注意的自由邊界條件，由于自由邊界屬于面力邊界，因此轉(zhuǎn)換為位移邊界條件時并不是完全獨立的，必須作進一步的簡化，特別是兩個自由邊界角點的約束變換。學習思路：1、典型邊界條件形式

15、；2、自由邊界條件。1、典型邊界條件形式薄板彎曲問題的解必須滿足基本方程和給定的邊界條件。由于方程于*二尋為一個四階偏微分方程，因此對于矩形薄板，每個邊界必須給出兩個邊界條件。薄板彎曲問題的典型邊界條件形式為1、幾何邊界條件：就是在邊界上給定邊界撓度w和邊界切線方向轉(zhuǎn)角讐,t為邊界切線方向。2、面力邊界條件：在邊界給定橫向剪力和彎矩。3、混合邊界條件。在邊界同時給出廣義力和廣義位移。以下討論常見的邊界支承形式和對應(yīng)的邊界條件：一、固定邊界對于固定邊界，如圖所示顯然有邊界撓度和轉(zhuǎn)角均為零的幾何條件。因此，在x=0邊界，有=0二、簡支邊界薄板在簡支邊界，不能有撓度，但是可以有微小的轉(zhuǎn)動。因此邊界條

16、件為撓度為零和彎矩為零，屬于混合邊界條件。在x=0邊界，有兩心二。由于皿嚴-。（蘆+石可），同時在邊界x=0，有百二肩二。所以邊界條件可以寫作三、自由邊界對于自由邊界自由邊祥在x=0邊界，有上式給出了3個面力邊界條件，進一步分析可以證明，這3個面力邊界條件并不是獨立的。其中扭矩可以用等效剪力來表示。作用在x=a邊界上長度為dy的微單元體上的扭矩可以用兩個大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代。顯然這種代換是靜力等效的 # 根據(jù)圣維南原理，代換的影響僅僅是局部的。因此，代換后，兩個微小單元之間增加一個集度為的剪力。因此邊界x=a自由邊界，總的分布剪力為因此，邊界條件可以改寫作 # # # #應(yīng)該

17、指出，如果相鄰的兩個邊界都是自由邊界，則扭矩用上述剪力等效替代時，在兩個邊界的角點將會出現(xiàn)沒有抵消的集中剪力Fsr,如果邊界角點受到支承，這個集中剪力就是支座對于薄板的角點的集中反力，如圖所示=1 #z!f融對于懸空的角點，由于邊界角點B處于自由狀態(tài)，因此有=1 # #=1 # 根據(jù)公式M廠g碩，有=0如果在角點有支座，而且撓度被阻止發(fā)生，有此時，支座反力可以根據(jù)公式計算。12.4矩形薄板的經(jīng)典解法學習要點:本節(jié)以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。問題求解的方法比較多，本節(jié)介紹分離變量法。這種方法采用無窮級數(shù)形式求解，在一般條件下，級數(shù)的收斂很快。求解的方法是根據(jù)薄板變形，首先

18、將撓度函數(shù)寫作坐標x和y的函數(shù)乘積形式。然后將撓度函數(shù)分解為基本方程的特解和齊次方程解兩部份，分別應(yīng)用邊界條件確定。學習思路：1、邊界條件與撓度函數(shù)形式；2、撓度函數(shù)的分解；3、基本方程的齊次解和特解；4、薄板的撓度和最大撓度。1、邊界條件與撓度函數(shù)形式下面以簡支邊界矩形薄板為例，說明薄板彎曲問題的求解方法。設(shè)矩形薄板邊長分別為a和b,受均勻分布橫向載荷q(x,y)作用，如圖所示=1 # #=1 # #薄板的邊界條件為=1 # #=1 #因此，問題的求解歸結(jié)為在滿足上述邊界條件求解基本方程薄板彎曲問題求解的方法比較多，以下介紹應(yīng)用最廣泛的分離變量法。這種方法采用無窮級數(shù)形式求解，在一般條件下，級數(shù)的收斂很快。對于直角坐標，最為其中Ym(y)是坐標y的函數(shù)。方便的是萊維()解。設(shè)由于x=0和x=a為簡支邊界，因此上述撓度函數(shù)是滿足簡支邊界條件的。問題是如何使得撓度函數(shù)的每一項都滿足了二土b/2的邊界條件。2、撓度函數(shù)的分解由于問題的基本方程是非齊次的偏微分方程，為簡化分析，設(shè)w=w1