2022年兩角差的余弦公式

1、兩角差的余弦公式 一、課標(biāo)要求：本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換 . 三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上.通過本章學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)三角恒等變換的工具性作用，學(xué)會(huì)它們?cè)跀?shù)學(xué)中的一些應(yīng)用 . 1. 了解用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3. 運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，以引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)半角公式，積化和差、

2、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步提高運(yùn)用轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)去處理問題的自覺性，體會(huì)一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用 . 二、編寫意圖與特色1.本章的內(nèi)容分為兩節(jié)： “ 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“ 簡(jiǎn)單的三角恒等變換”，在學(xué)習(xí)本章之前我們學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)，運(yùn)用向量的知識(shí)來予以證明，降低了難度，使學(xué)生容易接受；2. 本章是以兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)來推導(dǎo)其它的公式；3. 本章在內(nèi)容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學(xué)會(huì)變換，暗線是發(fā)展推理和運(yùn)算的能力，因此在本章全部?jī)?nèi)容的安排上，特

3、別注意恰時(shí)恰點(diǎn)的提出問題，引導(dǎo)學(xué)生用對(duì)比、聯(lián)系、化歸的觀點(diǎn)去分析、處理問題，強(qiáng)化運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)設(shè)計(jì)變換思路的意識(shí)；4. 本章在內(nèi)容的安排上貫徹“ 刪減繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末葉的內(nèi)容” 的理念，嚴(yán)格控制了三角恒等變換及其應(yīng)用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導(dǎo)作為變換的基本練習(xí) . 三、教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)安排建議本章教學(xué)時(shí)間約 8 課時(shí)，具體分配如下：3.1 兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式 約 3 課時(shí)3.2 簡(jiǎn)單的恒等變換 約 3 課時(shí)復(fù)習(xí) 約 2 課時(shí) 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、課標(biāo)要求：

4、本節(jié)的中心內(nèi)容是建立相關(guān)的十一個(gè)公式，通過探索證明和初步應(yīng)用，體會(huì)和認(rèn)識(shí)公式的特征及作用 . 二、編寫意圖與特色本節(jié)內(nèi)容可分為四個(gè)部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應(yīng)用，和差公式的探索、證明和初步應(yīng)用，倍角公式的探索、證明及初步應(yīng)用 . 三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立探索和討論交流，導(dǎo)出兩角和差的三角函數(shù)的十一個(gè)公式，并了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，為運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換打好基礎(chǔ)；2.難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式一、教學(xué)目標(biāo)掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡(jiǎn)單運(yùn)用， 使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和 （差）

5、公式打好基礎(chǔ) . 二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；2. 教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識(shí)是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和方法的能力問題，等等 . 三、學(xué)法與教學(xué)用具1. 學(xué)法：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)2. 教學(xué)用具：多媒體四、教學(xué)設(shè)想：（一）導(dǎo)入： 我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道cos452，cos303，由此我們能否得到cos15cos 4530?大22家可以猜想，是不是等于cos45cos30 呢？cos?根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式（二）探討過程：在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)

6、當(dāng)中我們知道，在設(shè)角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 1P ， cos 等于角 與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角 的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角 和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來 .）展示多媒體動(dòng)畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索cos與 cos、 cos、 sin、 sin. 之間的關(guān)系，由此得到cos()coscossinsin，認(rèn)識(shí)兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu)思考：我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來證明？提示： 1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？展

7、示多媒體課件比較用幾何知識(shí)和向量知識(shí)解決問題的不同之處，體會(huì)向量方法的作用與便利之處 . 思考： cos ?， cos cos，再利用兩角差的余弦公式得出cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin（三）例題講解例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15 的值 . 216245，要學(xué)會(huì)靈解：分析：把75 、 15 構(gòu)造成兩個(gè)特殊角的和、差. cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin302322224cos 60c o s1 5co s 4 53 0c os 4 5 co s 3 02 3 2s i n 4 5 si n

8、 3 02 2 216224點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos15活運(yùn)用 . 例 2、已知sin4，2,cos5,是第三象限角，求cos53的值 . 513解：因?yàn)?,，sin4由此得cos1sin2142125552又因?yàn)閏os5,是第三象限角，所以sin1cos21131313所以cos()coscossinsin3541233513513，65點(diǎn)評(píng)：注意角、的象限，也就是符號(hào)問題. 三、教學(xué)設(shè)想： （一）導(dǎo)入：?jiǎn)栴}1：我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道cos4522cos303，由此我們 能否得到 cos15cos 4530?大家2可以猜想， 是不是等于 cos4

9、5cos30 呢？根據(jù)我們?cè)诘谝徽滤鶎W(xué)的知識(shí)可知我們的猜想是錯(cuò)誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos?（二）探討過程：在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為 P ， cos 等于角 與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示。思考 1：怎樣構(gòu)造角和角？（注：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系）思考 2： 我們?cè)诘诙聦W(xué)習(xí)用向量的知識(shí)解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識(shí)來證明？（1）結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個(gè)向量，它們是怎樣表示的？（2）怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算公式得到探索結(jié)果？?jī)山遣畹挠嘞夜剑篶os()cos2cossinsin（

10、三）例題講解：例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15 的值 . 解：cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin3023216222224cos15cos 4530cos45 cos30sin 45 sin 303216222224點(diǎn)評(píng)：把一個(gè)具體角構(gòu)造成兩個(gè)角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：cos15 cos 60 45，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用 . 例 2、已知 sin 4，, ,cos 5, 是第三象限角，5 2 13求 cos 的值 . 解：因?yàn)?,，sin 4由此得2 522 4 3cos 1 sin 15 5又因?yàn)?cos 5, 是第三象限角，

11、132所以 sin 1 cos 21 5 1213 13所以 cos( ) cos cos sin sin 3 5 4 12 335 13 5 13 65點(diǎn)評(píng)：注意角、的象限，也就是符號(hào)問題 . 思考：本題中沒有2,)，呢？（四）練習(xí)： 1. 不查表計(jì)算下列各式的值：（1）cos 80cos20sin80sin20) （1 2）2cos153sin152解: （1）cos 80cos20sin80sin20cos( 8020)cos6012(兩角差的余弦公式,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式A 組 一、選擇題 :共 6 小題1、(易) tan2 tan3則 tan()( ) ) D.1 7A.

12、7B.1 5C.152、(易)設(shè)(0,2),若sin3,則2 cos(4)( ) 5A.1 5B.7 5C.7D.1 553、(易)sin110 sin 40cos40 cos70 等于 ( ) A.1B.3C.1 2D.3 2220 tan 24 ) 的值等于 ( 4、(中)(10 tan 21 )(10 tan 22 )(10 tan23 )(1A. 16B. 8C. 4D. 25、(中)13的值是 ( ) sin10sin 80D.1 4A.1 B.2 C.4 6、(中)sin123cos12的值是 ( ) D.1 2A.2B.2C.22二、填空題 :共 3 小題7、(易)已知sin3,

13、是第四象限角 ,則 sin4=_. 58、(中)若 tan(4)2,則2sin12 cos_. cos9、(中)tan 200tan 4000 3 tan 20 tan 400_. 三、解答題 :共 2 小題10、(中)化簡(jiǎn) :sincos1sin 2sin. 211、 (中 )已知44,04,cos(4+)=3 ,sin( 54+)=5 , 13求 sin()的值 . B 組一、選擇題 :共 6 小題1、(易)sin( x 27 )cos(18 x ) sin(18 x )cos( x 27 ) =( ) A.1 B. 1C. 2D. 22 2 2 22、(中)tan 20 tan( 50

14、) 1( ) tan20 tan 50A. 3 B. 3 C. 3D. 33 33、(中)2cos10 sin 20 的值是 ( ) cos20A. 3 B. 6C.1 D.12 24、(中)已知 tan( ) 1, tan 1 則 tan 的值為 ( ) 3 4A.1 B.1 C.7 D.1212 13 13 135、(難)如果sin( ) 2009,則 tan( )sin( ) 2010 tanA. 1 B. 1 C. 4019 D. 40194019 40195 106、(難)已知 A.B 均為鈍角 , sin A , sin B ,則 A+B 的值為 ( ) 5 10A.7 B.5 C

15、.3 D.4 4 4 4二、填空題 :共 3 小題7、(中) sin15cos 15=_ )的圖象中相鄰兩對(duì)稱軸的距離是. sin15cos158、(中)函數(shù)ysin2xcos(2x6339、(中)若sinsin2,則coscos的取值范圍 . . 2三、解答題 :共 2 小題10、(中)化簡(jiǎn) :2sin50 +sin10 (1+3 tan10 ) 2sin280. 11 、 ( 難 ) 已 知 t a n，t a n 是 一 元 二 次 方 程2mx2(4m2)x2 m30的 兩 個(gè) 不 等 實(shí) 根 , 求 函 數(shù))4的值域 . f m )5m23 mtan(C 組解答題 :共 2 小題1、

16、(難)已知非零常數(shù)a、b 滿足a sin5 cos5bcos=tan8,求b . a0.5 absin155cos2、(較難 )已知 sinsinsin0,coscos(1)求 cos() 的值 ; (2)若,0,3,求 sin() 的值 . 參考答案 A 組1.Dtan()tantan12233=13 21tantan72.A (0,2),sin3, cos4, 55原式 =2(coscos4sinsin4)=cossin4315553.B 原式cos40 cos70sin 40 sin(18070 )cos40 cos70sin 40 sin 70 =cos(4070 )cos( 30 )

17、4.C (10 tan21 )(10 tan 24 )2,(10 tan 22 )(10 tan 23 )2 ,更一般的結(jié)論0 4 5 , (1t a n) (1t a n, )25.C 原式 =cos10 3sin10sin10 cos10=2sin 301041 sin 20 26.B 原式 =21sin123cos12= 2sin1232sin42224 5, 7.7 2 10由sin3,是第四象限角 ,得cos1sin213255于是有 sinsincoscos 4sin24237 2 10; 4425258.2 3由tan(4)1tan2,得tan1cossin1tan32sin12

18、 cossin22 cos2tan212cos2sincoscos2tan139.3tan600tan(2000 40 )tan 200tan 4003, 10 tan20 tan40030 3tan 20 tan 400tan 2000 tan 40 ,即原式 =310.解:sincos1sin 2sin2= sincos1sinsin= 2sincos1sincoscossinsincos2=sincoscossin= sin=sin11.解: 43, 2+ .又 cos(+)=3, sin(+)=4. 444545又 0, 33+ .又 sin(3+)=5 , cos( 133+)=12

19、 , 1344444sin(+)=sin +(+)=sin(+)+(3+)44= sin(+)cos(3+)+cos(+)sin(3+)4444=4 (512 )133 55 = 1363 . 65B 組1.D 原式 = sin(x2718x)sin 45232009cossin, 22.B 原式 =tan 20 tan50 tan 50 tan 201tan(50120 )1tan303.A 2cos10 sin 20cos20=2cos 3020）sin 20cos20=3 cos20sin 20sin 20=3cos204.B tantan ()1tan()tan=1 13tan() t

20、ancos5.C 可得 2010sincos2010cossin2009sin sincos4019cossin,得 tan4019 tan,tan tan4019. 2s i n6.A 2A,2B,cosA2 5,cosB3 10510cos(AB)cosAcosBsinAsinB =2 5(3 10)5105105102又AB2AB747.3把原式分子、分母同除以cos15 ,有3sin15cos15=tan151=tan15tan451sin15cos15tan151tan15tan45si n 6=tan(15 45)=tan(30)=3 . 38.3 2y2 xs i n32 xc o s3c o s 62 xs i n3s i n 62x c o s 362 c o sx3cos(2x6),T23,相鄰兩對(duì)稱軸的距離是周期的一半32 / 39.14t14令 coscost , 22則(sinsin)2(coscos)2t21,222cos()t21,2cos()t23222t232,1t27,14t142222210.解:原式 = 2sin50 +sin10 (1+3 tan10 )2sin280= 2sin50 +sin10 (1+3sin10) 22 cos1