2022年兩角差的余弦公式

1、兩角差的余弦公式 一、課標要求：本章學習的主要內容是兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換 . 三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結合點上.通過本章學習，要使學生在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力，使學生體會三角恒等變換的工具性作用，學會它們在數(shù)學中的一些應用 . 1. 了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；2. 理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系；3. 運用上述公式進行簡單的恒等變換，以引導學生推導半角公式，積化和差、

2、和差化積公式（不要求記憶）作為基本訓練，使學生進一步提高運用轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應用 . 二、編寫意圖與特色1.本章的內容分為兩節(jié)： “ 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”，“ 簡單的三角恒等變換”，在學習本章之前我們學習了向量的相關知識，因此作者的意圖是選擇兩角差的余弦公式作為基礎，運用向量的知識來予以證明，降低了難度，使學生容易接受；2. 本章是以兩角差的余弦公式作為基礎來推導其它的公式；3. 本章在內容的安排上有明暗兩條線，明線是建立公式，學會變換，暗線是發(fā)展推理和運算的能力，因此在本章全部內容的安排上，特

3、別注意恰時恰點的提出問題，引導學生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析、處理問題，強化運用數(shù)學思想方法指導設計變換思路的意識；4. 本章在內容的安排上貫徹“ 刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調細枝末葉的內容” 的理念，嚴格控制了三角恒等變換及其應用的繁、難程度，尤其注意不以半角公式、積化和差、和差化積公式作為變換的依據(jù)，而只把這些公式的推導作為變換的基本練習 . 三、教學內容及課時安排建議本章教學時間約 8 課時，具體分配如下：3.1 兩角和與差的正弦、余弦、和正切公式 約 3 課時3.2 簡單的恒等變換 約 3 課時復習 約 2 課時 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式一、課標要求：

4、本節(jié)的中心內容是建立相關的十一個公式，通過探索證明和初步應用，體會和認識公式的特征及作用 . 二、編寫意圖與特色本節(jié)內容可分為四個部分，即引入，兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用，和差公式的探索、證明和初步應用，倍角公式的探索、證明及初步應用 . 三、教學重點與難點1. 重點：引導學生通過獨立探索和討論交流，導出兩角和差的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內在聯(lián)系，為運用這些公式進行簡單的恒等變換打好基礎；2.難點：兩角差的余弦公式的探索與證明.3.1.1 兩角差的余弦公式一、教學目標掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運用， 使學生初步理解公式的結構及其功能，為建立其它和 （差）

5、公式打好基礎 . 二、教學重、難點1. 教學重點：通過探索得到兩角差的余弦公式；2. 教學難點：探索過程的組織和適當引導，這里不僅有學習積極性的問題，還有探索過程必用的基礎知識是否已經(jīng)具備的問題，運用已學知識和方法的能力問題，等等 . 三、學法與教學用具1. 學法：啟發(fā)式教學2. 教學用具：多媒體四、教學設想：（一）導入： 我們在初中時就知道cos452，cos303，由此我們能否得到cos15cos 4530?大22家可以猜想，是不是等于cos45cos30 呢？cos?根據(jù)我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式（二）探討過程：在第一章三角函數(shù)的學習

6、當中我們知道，在設角 的終邊與單位圓的交點為 1P ， cos 等于角 與單位圓交點的橫坐標，也可以用角 的余弦線來表示，大家思考：怎樣構造角 和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來 .）展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關系探索cos與 cos、 cos、 sin、 sin. 之間的關系，由此得到cos()coscossinsin，認識兩角差余弦公式的結構思考：我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？提示： 1、結合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公式得到探索結果？展

7、示多媒體課件比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處 . 思考： cos ?， cos cos，再利用兩角差的余弦公式得出cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin（三）例題講解例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15 的值 . 216245，要學會靈解：分析：把75 、 15 構造成兩個特殊角的和、差. cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin302322224cos 60c o s1 5co s 4 53 0c os 4 5 co s 3 02 3 2s i n 4 5 si n

8、 3 02 2 216224點評：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：cos15活運用 . 例 2、已知sin4，2,cos5,是第三象限角，求cos53的值 . 513解：因為2,，sin4由此得cos1sin2142125552又因為cos5,是第三象限角，所以sin1cos21131313所以cos()coscossinsin3541233513513，65點評：注意角、的象限，也就是符號問題. 三、教學設想： （一）導入：問題1：我們在初中時就知道cos4522cos303，由此我們 能否得到 cos15cos 4530?大家2可以猜想， 是不是等于 cos4

9、5cos30 呢？根據(jù)我們在第一章所學的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式cos?（二）探討過程：在第一章三角函數(shù)的學習當中我們知道，在設角 的終邊與單位圓的交點為 P ， cos 等于角 與單位圓交點的橫坐標，也可以用角的余弦線來表示。思考 1：怎樣構造角和角？（注：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系）思考 2： 我們在第二章學習用向量的知識解決相關的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？（1）結合圖形，明確應該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？（2）怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計算公式得到探索結果？兩角差的余弦公式：cos()cos2cossinsin（

10、三）例題講解：例 1、利用和、差角余弦公式求cos75 、 cos15 的值 . 解：cos75cos 4530cos45 cos30sin 45 sin3023216222224cos15cos 4530cos45 cos30sin 45 sin 303216222224點評：把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：cos15 cos 60 45，要學會靈活運用 . 例 2、已知 sin 4，, ,cos 5, 是第三象限角，5 2 13求 cos 的值 . 解：因為 ,，sin 4由此得2 522 4 3cos 1 sin 15 5又因為 cos 5, 是第三象限角，

11、132所以 sin 1 cos 21 5 1213 13所以 cos( ) cos cos sin sin 3 5 4 12 335 13 5 13 65點評：注意角、的象限，也就是符號問題 . 思考：本題中沒有2,)，呢？（四）練習： 1. 不查表計算下列各式的值：（1）cos 80cos20sin80sin20) （1 2）2cos153sin152解: （1）cos 80cos20sin80sin20cos( 8020)cos6012(兩角差的余弦公式,兩角和與差的正弦、余弦、正切公式A 組 一、選擇題 :共 6 小題1、(易) tan2 tan3則 tan()( ) ) D.1 7A.

12、7B.1 5C.152、(易)設(0,2),若sin3,則2 cos(4)( ) 5A.1 5B.7 5C.7D.1 553、(易)sin110 sin 40cos40 cos70 等于 ( ) A.1B.3C.1 2D.3 2220 tan 24 ) 的值等于 ( 4、(中)(10 tan 21 )(10 tan 22 )(10 tan23 )(1A. 16B. 8C. 4D. 25、(中)13的值是 ( ) sin10sin 80D.1 4A.1 B.2 C.4 6、(中)sin123cos12的值是 ( ) D.1 2A.2B.2C.22二、填空題 :共 3 小題7、(易)已知sin3,

13、是第四象限角 ,則 sin4=_. 58、(中)若 tan(4)2,則2sin12 cos_. cos9、(中)tan 200tan 4000 3 tan 20 tan 400_. 三、解答題 :共 2 小題10、(中)化簡 :sincos1sin 2sin. 211、 (中 )已知44,04,cos(4+)=3 ,sin( 54+)=5 , 13求 sin()的值 . B 組一、選擇題 :共 6 小題1、(易)sin( x 27 )cos(18 x ) sin(18 x )cos( x 27 ) =( ) A.1 B. 1C. 2D. 22 2 2 22、(中)tan 20 tan( 50

14、) 1( ) tan20 tan 50A. 3 B. 3 C. 3D. 33 33、(中)2cos10 sin 20 的值是 ( ) cos20A. 3 B. 6C.1 D.12 24、(中)已知 tan( ) 1, tan 1 則 tan 的值為 ( ) 3 4A.1 B.1 C.7 D.1212 13 13 135、(難)如果sin( ) 2009,則 tan( )sin( ) 2010 tanA. 1 B. 1 C. 4019 D. 40194019 40195 106、(難)已知 A.B 均為鈍角 , sin A , sin B ,則 A+B 的值為 ( ) 5 10A.7 B.5 C

15、.3 D.4 4 4 4二、填空題 :共 3 小題7、(中) sin15cos 15=_ )的圖象中相鄰兩對稱軸的距離是. sin15cos158、(中)函數(shù)ysin2xcos(2x6339、(中)若sinsin2,則coscos的取值范圍 . . 2三、解答題 :共 2 小題10、(中)化簡 :2sin50 +sin10 (1+3 tan10 ) 2sin280. 11 、 ( 難 ) 已 知 t a n，t a n 是 一 元 二 次 方 程2mx2(4m2)x2 m30的 兩 個 不 等 實 根 , 求 函 數(shù))4的值域 . f m )5m23 mtan(C 組解答題 :共 2 小題1、

16、(難)已知非零常數(shù)a、b 滿足a sin5 cos5bcos=tan8,求b . a0.5 absin155cos2、(較難 )已知 sinsinsin0,coscos(1)求 cos() 的值 ; (2)若,0,3,求 sin() 的值 . 參考答案 A 組1.Dtan()tantan12233=13 21tantan72.A (0,2),sin3, cos4, 55原式 =2(coscos4sinsin4)=cossin4315553.B 原式cos40 cos70sin 40 sin(18070 )cos40 cos70sin 40 sin 70 =cos(4070 )cos( 30 )

17、4.C (10 tan21 )(10 tan 24 )2,(10 tan 22 )(10 tan 23 )2 ,更一般的結論0 4 5 , (1t a n) (1t a n, )25.C 原式 =cos10 3sin10sin10 cos10=2sin 301041 sin 20 26.B 原式 =21sin123cos12= 2sin1232sin42224 5, 7.7 2 10由sin3,是第四象限角 ,得cos1sin213255于是有 sinsincoscos 4sin24237 2 10; 4425258.2 3由tan(4)1tan2,得tan1cossin1tan32sin12

18、 cossin22 cos2tan212cos2sincoscos2tan139.3tan600tan(2000 40 )tan 200tan 4003, 10 tan20 tan40030 3tan 20 tan 400tan 2000 tan 40 ,即原式 =310.解:sincos1sin 2sin2= sincos1sinsin= 2sincos1sincoscossinsincos2=sincoscossin= sin=sin11.解: 43, 2+ .又 cos(+)=3, sin(+)=4. 444545又 0, 33+ .又 sin(3+)=5 , cos( 133+)=12

19、 , 1344444sin(+)=sin +(+)=sin(+)+(3+)44= sin(+)cos(3+)+cos(+)sin(3+)4444=4 (512 )133 55 = 1363 . 65B 組1.D 原式 = sin(x2718x)sin 45232009cossin, 22.B 原式 =tan 20 tan50 tan 50 tan 201tan(50120 )1tan303.A 2cos10 sin 20cos20=2cos 3020）sin 20cos20=3 cos20sin 20sin 20=3cos204.B tantan ()1tan()tan=1 13tan() t

20、ancos5.C 可得 2010sincos2010cossin2009sin sincos4019cossin,得 tan4019 tan,tan tan4019. 2s i n6.A 2A,2B,cosA2 5,cosB3 10510cos(AB)cosAcosBsinAsinB =2 5(3 10)5105105102又AB2AB747.3把原式分子、分母同除以cos15 ,有3sin15cos15=tan151=tan15tan451sin15cos15tan151tan15tan45si n 6=tan(15 45)=tan(30)=3 . 38.3 2y2 xs i n32 xc o s3c o s 62 xs i n3s i n 62x c o s 362 c o sx3cos(2x6),T23,相鄰兩對稱軸的距離是周期的一半32 / 39.14t14令 coscost , 22則(sinsin)2(coscos)2t21,222cos()t21,2cos()t23222t232,1t27,14t142222210.解:原式 = 2sin50 +sin10 (1+3 tan10 )2sin280= 2sin50 +sin10 (1+3sin10) 22 cos1