人教版八年級下冊數(shù)學 18.2.3 第1課時 正方形的性質 教案

1、18.2.3正方形第1課時正方形的性質1掌握正方形的概念、性質，并會用它們進行有關的論證和計算；(重點)2理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別(難點)一、情境導入做一做：用一張長方形的紙片(如圖所示)折出一個正方形學生在動手中對正方形產(chǎn)生感性認識，并感知正方形與矩形的關系問題：什么樣的四邊形是正方形？二、合作探究探究點一：正方形的性質【類型一】 特殊平行四邊形的性質的綜合 菱形，矩形，正方形都具有的性質是()A對角線相等且互相平分B對角線相等且互相垂直平分C對角線互相平分D四條邊相等，四個角相等解析：選項A不正確，菱形的對角線不相等；選項B不正確，菱形的對角線不相等，矩形的對角線不互

2、相垂直；選項C正確，三者均具有此性質；選項D不正確，矩形的四條邊不相等，菱形的四個角不相等故選C.方法總結：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有性質【類型二】 利用正方形的性質解決線段的計算或證明問題 如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，AC是對角線，AE平分BAC，EFAC于點F.(1)求證：BECF；(2)求BE的長解析：(1)由角平分線的性質可得到BEEF，再證明CEF為等腰直角三角形，即可證BECF；(2)設BEx，在CEF中可表示出CE.由BC1，可列出方程，即可求得BE.(1)證明：四邊形ABCD為正方形，B90.EFAC，EFA90.AE平分BAC，BEEF.又AC是正

3、方形ABCD的對角線，AC平分BCD，ACB45，F(xiàn)ECFCE45，EFFC，BECF；(2)解：設BEx，則EFCFx，CE1x.在RtCEF中，由勾股定理可得CEeq r(2)x.eq r(2)x1x，解得xeq r(2)1，即BE的長為eq r(2)1.方法總結：正方形被每條對角線分成兩個直角三角形，被兩條對角線分成四個等腰直角三角形，因此正方形的計算問題可以轉化到直角三角形和等腰直角三角形中去解決【類型三】 利用正方形的性質解決角的計算或證明問題 在正方形ABCD中，點F是邊AB上一點，連接DF，點E為DF的中點連接BE、CE、AE.(1)求證：AEBDEC；(2)當EBBC時，求AF

4、D的度數(shù)解析：(1)根據(jù)“正方形的四條邊都相等”可得ABCD，根據(jù)“正方形每一個角都是直角”可得BADADC90，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得AEEFDEeq f(1,2)DF，根據(jù)“等邊對等角”可得EADEDA，再得出BAECDE，然后利用“SAS”證明即可；(2)根據(jù)“全等三角形對應邊相等”可得EBEC，再得出BCE是等邊三角形根據(jù)等邊三角形的性質可得EBC60，然后求出ABE30.再根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”求出BAE，然后根據(jù)“等邊對等角”可得AFDBAE.(1)證明：在正方形ABCD中，ABCD，BADADC90.點E為DF中點，AEEFDEeq f(1,2)

5、DF，EADEDA.BAEBADEAD，CDEADCEDA，BAECDE.在AEB和DEC中，eq blc(avs4alco1(ABCD，,BAECDE，,AEDE，)AEBDEC(SAS)；(2)解：AEBDEC，EBEC.EBBC，EBBCEC，BCE是等邊三角形，EBC60，ABE906030.EBBCAB，BAEeq f(1,2)(18030)75.又AEEF，AFDBAE75.方法總結：正方形是最特殊的平行四邊形，在正方形中進行計算時，要注意計算出相關的角的度數(shù)，要注意分析圖形中有哪些相等的線段等探究點二：正方形性質的綜合應用【類型一】 利用正方形的性質解決線段的倍、分、和、差關系

6、如圖，AE是正方形ABCD中BAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求證：(1)BEBF；(2)OFeq f(1,2)CE.解析：(1)根據(jù)正方形的性質可求得ABEAOF90.由于AE是正方形ABCD中BAC的平分線，根據(jù)“等角的余角相等”即可求得AFOAEB.根據(jù)“對頂角相等”即可求得BFEAEB，BEBF；(2)連接O和AE的中點G.根據(jù)三角形的中位線的性質即可證得OGBC，OGeq f(1,2)CE.根據(jù)平行線的性質即可求得OGFFEB，從而證得OGFAFO，OGOF，進而證得OFeq f(1,2)CE.證明：(1)四邊形ABCD是正方形，ACBD，ABEAOF

7、90，BAEAEBCAEAFO90.AE是BAC的平分線，CAEBAE，AFOAEB.又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)連接O和AE的中點G.AOCO，AGEG，OGBC，OGeq f(1,2)CE，OGFFEB.AFOAEB，OGFAFO，OGOF，OFeq f(1,2)CE.方法總結：在正方形的條件下證明線段的關系，通常的方法是連接對角線構造垂直平分線，利用垂直平分線的性質、中位線定理、角平分線、等腰三角形等知識來證明，有時也利用全等三角形來解決【類型二】 有關正方形性質的綜合應用題 如圖，正方形AFCE中，D是邊CE上一點，B是CF延長線上一點，且ABAD，若四邊形ABCD的

8、面積是24cm2.則AC長是_cm.解析：四邊形AFCE是正方形，AFAE，EAFCAFB90.在RtAED和RtAFB中，eq blc(avs4alco1(ADAB，,AEAF，)RtAEDRtAFB(HL)，SAEDSAFB.S四邊形ABCD24cm2，S正方形AFCE24cm2，AEEC2eq r(6)cm.根據(jù)勾股定理得ACeq r(（2r(6)）2（2r(6)）2)4eq r(3)(cm)故答案為4eq r(,3).方法總結：在解決與面積相關的問題時，可通過證三角形全等實現(xiàn)轉化，使不規(guī)則圖形的面積轉變成我們熟悉的圖形面積，從而解決問題三、板書設計1正方形的定義和性質四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形對邊平行，四條邊都相等；四個角都是直角；對角線互相垂直、平分且相等，并且每一條對角線平分