線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析

1、線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析2022/7/201系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要性系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)設(shè)計必須已知數(shù)學(xué)模型本課程數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型辨識方法：由實驗數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2022/7/202系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的分類2022/7/203系統(tǒng)模型非線性線性連續(xù)離散混合單變量多變量定常時變主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方框圖描述系統(tǒng)的化簡系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換線性系統(tǒng)的模型降階線性系統(tǒng)的模型辨識本章要點簡介2022/7/2043.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué) 模型與M

2、ATLAB表示線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型3.1.2 線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型3.1.3 線性系統(tǒng)的零極點模型3.1.4 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣模型2022/7/2053.1.1 線性連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及MATLAB 表示線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型 為階次， 為常數(shù)， 物理可實現(xiàn)2022/7/206傳遞函數(shù)的引入 Pierre-Simon Laplace (1749-1827)，法國數(shù)學(xué)家 Laplace變換 Laplace變換的一條重要性質(zhì)： 若 則2022/7/207傳遞函數(shù)表示數(shù)學(xué)方式MATLAB輸入語句2022/7/208傳遞函數(shù)可以表示成兩個多項式的比值，在matlab中，多項式可以用向量表示。

3、將多項式的系數(shù)按s降冪次序排列可以得到一個數(shù)值向量，用這個向量就可以表示多項式。分別表示完分子和分母后，再利用控制系統(tǒng)工具箱函數(shù)tf（）就可以用一個變量表示傳遞函數(shù)模型。2022/7/209傳遞函數(shù)輸入舉例例3-1 輸入傳遞函數(shù)模型MATLAB輸入語句 在MATLAB環(huán)境中建立一個變量 G2022/7/2010顯示結(jié)果為：Transfer function: 12 s3 + 24 s2 + 12 s + 20-2 s4 + 4 s3 + 6 s2 + 2 s + 22022/7/2011另外一種傳遞函數(shù)輸入方法例3-2 如何處理如下的傳遞函數(shù)？定義算子 ，再輸入傳遞函數(shù)2022/7/2012M

4、altab顯示為：Transfer function: 3 s2 + 9-s7 + 8 s6 + 30 s5 + 78 s4 + 153 s3 + 198 s2 + 140 s + 402022/7/2013采用上面第一種方法很容易輸入，方法真直觀，但如果分子或分母多項式給出的不是完全的展開式，而是若干個因式的乘積，則事先需要將其變換為完全展開式的形式，兩個多項式的乘積在matlab中可以用conv（）函數(shù)得出：pconv（p1，p2）其中p1和p2是兩個多項式，調(diào)用這個函數(shù)就能返回多項式乘積p如果有3個多項式的乘積，就需要嵌套使用此函數(shù)。2022/7/2014conv的嵌套使用p=conv(

5、p1,conv(p2,p3)或者p=conv(conv(p1,p2），p3)例如上面的例子： num=3*1 0 3; den=conv(conv(conv(conv(1 2 1,1 0 5),1 2),1 2),1 2); G=tf(num,den)2022/7/2015MATLAB的傳遞函數(shù)對象2022/7/2016傳遞函數(shù)屬性修改例3-4 延遲傳遞函數(shù) ，即若假設(shè)復(fù)域變量為 ，則2022/7/2017傳遞函數(shù)參數(shù)提取由于使用單元數(shù)組，直接用 不行有兩種方法可以提取參數(shù)這樣定義的優(yōu)點：可以直接描述多變量系統(tǒng)第 i 輸入對第 j 輸入的傳遞函數(shù)2022/7/20183.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)

6、方程模型狀態(tài)方程模型狀態(tài)變量 ， 階次 n ，輸入和輸出非線性函數(shù)： 一般非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述2022/7/2019線性狀態(tài)方程時變模型線性時不變模型 (linear time invariant, LTI)2022/7/2020線性時不變模型的MATLAB描述MATLAB 輸入方法 矩陣是 方陣， 為 矩陣 為 矩陣， 為 矩陣可以直接處理多變量模型給出 矩陣即可注意維數(shù)的兼容性2022/7/2021獲取狀態(tài)方程對象參數(shù)可以使用ssdata（）函數(shù)A,B,C,D = ssdata(G)或者使用命令提取A矩陣。2022/7/2022例3-52022/7/2023帶時間延遲的狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型

7、MATLAB輸入語句其他延遲屬性：ioDelay2022/7/20243.1.3 線性系統(tǒng)的零極點模型零極點模型是因式型傳遞函數(shù)模型零點 、極點 和增益零極點模型的 MATLAB表示2022/7/2025例3-5 零極點模型MATLAB輸入方法另一種輸入方法2022/7/2026Matlab顯示結(jié)果：Zero/pole/gain:6 (s+5) (s2 + 4s + 8)-(s+1) (s+2) (s+3) (s+4)注意，在零極點模型顯示中，如果有復(fù)數(shù)零極點存在，則用二階多項式來表示兩個因式，而不直接展成復(fù)數(shù)的一階因式。2022/7/2027獲得零極點模型之后，可以給出pzmap（）命令在復(fù)

8、數(shù)平面上表示出該系統(tǒng)的零極點位置，用表示極點位置，用o表示零點位置。2022/7/20283.1.4 多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型傳遞函數(shù)矩陣 為第 i 輸出對第 j 輸入的傳遞函數(shù)可以先定義子傳遞函數(shù)，再由矩陣定義2022/7/2029例3-7 多變量模型2022/7/20303.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型單變量系統(tǒng)：差分方程取代微分方程主要內(nèi)容離散傳遞函數(shù)離散狀態(tài)方程2022/7/20313.2.1 離散傳遞函數(shù)模型數(shù)學(xué)表示 （Z變換代替Laplace變換）MATLAB表示（采樣周期 ）算子輸入方法：2022/7/2032例3-8 離散傳遞函數(shù)，采樣周期MATLAB輸入方法另一種輸入方法

9、2022/7/2033顯示結(jié)果Transfer function:- 2022/7/2034離散延遲系統(tǒng)與輸入數(shù)學(xué)模型延遲為采樣周期的整數(shù)倍MATLAB輸入方法2022/7/2035H.iodelay=2 Transfer function:z(-2) * - 2022/7/2036set(H,ioDelay,3) H Transfer function:z(-3) * - 2022/7/2037濾波器型描述方法濾波器型離散模型分子、分母除以記 ，則2022/7/2038MATLAB表示方法例3-92022/7/2039H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1)Zero/pole/gain

10、:0.0083333 (z-0.5) (z2 - z + 0.5)-(z+0.5) (z+0.3333) (z+0.25) (z+0.2) 2022/7/2040H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1,variable,q)Zero/pole/gain:0.0083333 q (1-0.5q) (1 - q + 0.5q2)-(1+0.5q) (1+0.3333q) (1+0.25q) (1+0.2q) 2022/7/20413.2.2 離散狀態(tài)方程模型數(shù)學(xué)形式注意兼容性MATLAB表示方法2022/7/2042離散延遲系統(tǒng)的狀態(tài)方程數(shù)學(xué)模型MATLAB表示方法2022/7/20433.

11、3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡單環(huán)節(jié)模型前面已經(jīng)介紹了實際系統(tǒng)為多個環(huán)節(jié)互連，如何解決互連問題，獲得等效模型？主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)節(jié)點移動時的等效變換復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化2022/7/20443.3.1 控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)系統(tǒng)串、并聯(lián)串聯(lián)傳遞函數(shù) 并聯(lián)傳遞函數(shù)2022/7/2045串、并聯(lián)狀態(tài)方程模型串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程2022/7/2046串、并聯(lián)系統(tǒng)的MATLAB求解若一個模型為傳遞函數(shù)、另一個為狀態(tài)方程，如何處理？將二者變換成同樣結(jié)構(gòu)再計算基于MATLAB的計算方法串聯(lián) 注意次序：多變量系統(tǒng)并聯(lián)優(yōu)點，無需實現(xiàn)轉(zhuǎn)換2022/7/2047系統(tǒng)的反饋連接反饋連接正反饋負(fù)反

12、饋2022/7/2048狀態(tài)方程的反饋等效方法其中若2022/7/2049反饋連接的MATLAB求解LTI 模型符號運算 (置于sym目錄)2022/7/2050例3-10 2022/7/2051顯示結(jié)果Transfer function: 60 s5 + 60156 s4 + 156132 s3 + 132136 s2 + 136060 s + 60000-2 s6 + 2004 s5 + 64006 s4 + 162002 s3 + 134002 s2 + 138000 s + 60000 2022/7/2052例3-11控制器為對角矩陣反饋矩陣H為單位矩陣2022/7/20532022/

13、7/2054eye（）函數(shù)EYE(N) is the N-by-N identity matrix. EYE(M,N) or EYE(M,N) is an M-by-N matrix with 1s on the diagonal and zeros elsewhere. EYE(SIZE(A) is the same size as A.2022/7/2055Gc=g11,0;0,g22Transfer function from input 1 to output. 2 s + 1 #1: - s #2: 0 Transfer function from input 2 to output

14、. #1: 0 5 s + 2 #2: - s2022/7/2056GG=feedback(G*Gc,H)Transfer function from input 1 to output. 12 s4 + 30 s3 + 24 s2 + 26 s + 10 #1: - s5 + 14 s4 + 33 s3 + 25 s2 + 27 s + 10 #2: 0 Transfer function from input 2 to output. #1: 0 30 s4 + 72 s3 + 54 s2 + 62 s + 20 #2: - s5 + 32 s4 + 75 s3 + 55 s2 + 63

15、s + 202022/7/20573.3.2 節(jié)點移動時的等效變換考慮模型難點：A點在回路間，移至輸出端2022/7/2058節(jié)點移動2022/7/20593.3.3 復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化例3-12 原系統(tǒng)可以移動新支路模型2022/7/2060得出2022/7/2061G=feedback(C2*G1,H1)G = G2*G4*G3*G1/(1+G4*G3*H3+G3*G2*H2+G2*G4*G3*G1*H1)2022/7/2062pretty(G) G2 G4 G3 G1-1 + G4 G3 H3 + G3 G2 H2 + G2 G4 G3 G1 H12022/7/2063PRETTY(S)

16、 prints the symbolic expression S in a format that resembles type-set mathematics例3-13 電機拖動模型 2022/7/2064collect( )函數(shù)f = -1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)；collect(f,exp(-2*x) (-1/4*x+3/16)*exp(-2*x)2022/7/2065 信號單獨輸入得出另一個傳遞函數(shù)2022/7/2066Simplify( )函數(shù)simplify(sin(x)2 + cos(x)2)顯示結(jié)果為12022/7/2067最終得出傳遞函數(shù)矩

17、陣2022/7/20683.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內(nèi)容連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現(xiàn)狀態(tài)方程的最小實現(xiàn)傳遞函數(shù)與符號表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換2022/7/20693.4.1 連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換連續(xù)狀態(tài)方程的解析階采樣周期選擇2022/7/2070這樣可以得出離散模型記則可以得出離散狀態(tài)方程模型MATLAB函數(shù)直接求解2022/7/2071還可以采用Tustin變換（雙線性變換）例3-14 雙輸入模型，2022/7/2072輸入模型、變換2022/7/2073模型2022/7/2074例3-15 時間延遲系統(tǒng)的離散化

18、MATLAB求解零階保持器變換變換結(jié)果2022/7/2075Tustin變換數(shù)學(xué)表示其他轉(zhuǎn)換方法FOH 一階保持器matched 單變量系統(tǒng)零極點不變imp 脈沖響應(yīng)不變準(zhǔn)則2022/7/2076離散模型連續(xù)化對前面的變換求逆Tustin反變換MATLAB求解 (無需 )2022/7/2077例3-16 對前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對結(jié)果再連續(xù)化，則 可以基本上還原連續(xù)模型2022/7/20783.4.2 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取已知狀態(tài)方程兩端Laplace變換則2022/7/2079因此可以得出傳遞函數(shù)難點基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好結(jié)果由零極點模型，直接展開分子分母用MATLAB統(tǒng)一求解2022/7/2080例3-17 多變量模型，求傳遞函數(shù)矩陣2022/7/20813.4.3 控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現(xiàn)由傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換不同狀態(tài)變量選擇，結(jié)果不唯一默認(rèn)變換方式，采用M