線性控制系統(tǒng)的數學模型分析

1、線性控制系統(tǒng)的數學模型分析2022/7/201系統(tǒng)的數學模型系統(tǒng)數學模型的重要性系統(tǒng)仿真分析必須已知數學模型系統(tǒng)設計必須已知數學模型本課程數學模型是基礎系統(tǒng)數學模型的獲取建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數學推導的方式建立起系統(tǒng)的數學模型辨識方法：由實驗數據擬合系統(tǒng)的數學模型2022/7/202系統(tǒng)數學模型的分類2022/7/203系統(tǒng)模型非線性線性連續(xù)離散混合單變量多變量定常時變主要內容線性連續(xù)系統(tǒng)的數學模型與MATLAB表示線性離散時間系統(tǒng)的數學模型方框圖描述系統(tǒng)的化簡系統(tǒng)模型的相互轉換線性系統(tǒng)的模型降階線性系統(tǒng)的模型辨識本章要點簡介2022/7/2043.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數學 模型與M

2、ATLAB表示線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型3.1.2 線性系統(tǒng)的傳遞函數模型3.1.3 線性系統(tǒng)的零極點模型3.1.4 多變量系統(tǒng)的傳遞函數矩陣模型2022/7/2053.1.1 線性連續(xù)系統(tǒng)數學模型及MATLAB 表示線性系統(tǒng)的傳遞函數模型 為階次， 為常數， 物理可實現2022/7/206傳遞函數的引入 Pierre-Simon Laplace (1749-1827)，法國數學家 Laplace變換 Laplace變換的一條重要性質： 若 則2022/7/207傳遞函數表示數學方式MATLAB輸入語句2022/7/208傳遞函數可以表示成兩個多項式的比值，在matlab中，多項式可以用向量表示。

3、將多項式的系數按s降冪次序排列可以得到一個數值向量，用這個向量就可以表示多項式。分別表示完分子和分母后，再利用控制系統(tǒng)工具箱函數tf（）就可以用一個變量表示傳遞函數模型。2022/7/209傳遞函數輸入舉例例3-1 輸入傳遞函數模型MATLAB輸入語句 在MATLAB環(huán)境中建立一個變量 G2022/7/2010顯示結果為：Transfer function: 12 s3 + 24 s2 + 12 s + 20-2 s4 + 4 s3 + 6 s2 + 2 s + 22022/7/2011另外一種傳遞函數輸入方法例3-2 如何處理如下的傳遞函數？定義算子 ，再輸入傳遞函數2022/7/2012M

4、altab顯示為：Transfer function: 3 s2 + 9-s7 + 8 s6 + 30 s5 + 78 s4 + 153 s3 + 198 s2 + 140 s + 402022/7/2013采用上面第一種方法很容易輸入，方法真直觀，但如果分子或分母多項式給出的不是完全的展開式，而是若干個因式的乘積，則事先需要將其變換為完全展開式的形式，兩個多項式的乘積在matlab中可以用conv（）函數得出：pconv（p1，p2）其中p1和p2是兩個多項式，調用這個函數就能返回多項式乘積p如果有3個多項式的乘積，就需要嵌套使用此函數。2022/7/2014conv的嵌套使用p=conv(

5、p1,conv(p2,p3)或者p=conv(conv(p1,p2），p3)例如上面的例子： num=3*1 0 3; den=conv(conv(conv(conv(1 2 1,1 0 5),1 2),1 2),1 2); G=tf(num,den)2022/7/2015MATLAB的傳遞函數對象2022/7/2016傳遞函數屬性修改例3-4 延遲傳遞函數 ，即若假設復域變量為 ，則2022/7/2017傳遞函數參數提取由于使用單元數組，直接用 不行有兩種方法可以提取參數這樣定義的優(yōu)點：可以直接描述多變量系統(tǒng)第 i 輸入對第 j 輸入的傳遞函數2022/7/20183.1.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)

6、方程模型狀態(tài)方程模型狀態(tài)變量 ， 階次 n ，輸入和輸出非線性函數： 一般非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述2022/7/2019線性狀態(tài)方程時變模型線性時不變模型 (linear time invariant, LTI)2022/7/2020線性時不變模型的MATLAB描述MATLAB 輸入方法 矩陣是 方陣， 為 矩陣 為 矩陣， 為 矩陣可以直接處理多變量模型給出 矩陣即可注意維數的兼容性2022/7/2021獲取狀態(tài)方程對象參數可以使用ssdata（）函數A,B,C,D = ssdata(G)或者使用命令提取A矩陣。2022/7/2022例3-52022/7/2023帶時間延遲的狀態(tài)方程數學模型

7、MATLAB輸入語句其他延遲屬性：ioDelay2022/7/20243.1.3 線性系統(tǒng)的零極點模型零極點模型是因式型傳遞函數模型零點 、極點 和增益零極點模型的 MATLAB表示2022/7/2025例3-5 零極點模型MATLAB輸入方法另一種輸入方法2022/7/2026Matlab顯示結果：Zero/pole/gain:6 (s+5) (s2 + 4s + 8)-(s+1) (s+2) (s+3) (s+4)注意，在零極點模型顯示中，如果有復數零極點存在，則用二階多項式來表示兩個因式，而不直接展成復數的一階因式。2022/7/2027獲得零極點模型之后，可以給出pzmap（）命令在復

8、數平面上表示出該系統(tǒng)的零極點位置，用表示極點位置，用o表示零點位置。2022/7/20283.1.4 多變量系統(tǒng)傳遞函數矩陣模型傳遞函數矩陣 為第 i 輸出對第 j 輸入的傳遞函數可以先定義子傳遞函數，再由矩陣定義2022/7/2029例3-7 多變量模型2022/7/20303.2 線性離散時間系統(tǒng)的數學模型單變量系統(tǒng)：差分方程取代微分方程主要內容離散傳遞函數離散狀態(tài)方程2022/7/20313.2.1 離散傳遞函數模型數學表示 （Z變換代替Laplace變換）MATLAB表示（采樣周期 ）算子輸入方法：2022/7/2032例3-8 離散傳遞函數，采樣周期MATLAB輸入方法另一種輸入方法

9、2022/7/2033顯示結果Transfer function:- 2022/7/2034離散延遲系統(tǒng)與輸入數學模型延遲為采樣周期的整數倍MATLAB輸入方法2022/7/2035H.iodelay=2 Transfer function:z(-2) * - 2022/7/2036set(H,ioDelay,3) H Transfer function:z(-3) * - 2022/7/2037濾波器型描述方法濾波器型離散模型分子、分母除以記 ，則2022/7/2038MATLAB表示方法例3-92022/7/2039H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1)Zero/pole/gain

10、:0.0083333 (z-0.5) (z2 - z + 0.5)-(z+0.5) (z+0.3333) (z+0.25) (z+0.2) 2022/7/2040H=zpk(z,p,1/120,Ts,0.1,variable,q)Zero/pole/gain:0.0083333 q (1-0.5q) (1 - q + 0.5q2)-(1+0.5q) (1+0.3333q) (1+0.25q) (1+0.2q) 2022/7/20413.2.2 離散狀態(tài)方程模型數學形式注意兼容性MATLAB表示方法2022/7/2042離散延遲系統(tǒng)的狀態(tài)方程數學模型MATLAB表示方法2022/7/20433.

11、3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡單環(huán)節(jié)模型前面已經介紹了實際系統(tǒng)為多個環(huán)節(jié)互連，如何解決互連問題，獲得等效模型？主要內容控制系統(tǒng)的典型連接結構節(jié)點移動時的等效變換復雜系統(tǒng)模型的簡化2022/7/20443.3.1 控制系統(tǒng)的典型連接結構系統(tǒng)串、并聯串聯傳遞函數 并聯傳遞函數2022/7/2045串、并聯狀態(tài)方程模型串聯系統(tǒng)的狀態(tài)方程并聯系統(tǒng)的狀態(tài)方程2022/7/2046串、并聯系統(tǒng)的MATLAB求解若一個模型為傳遞函數、另一個為狀態(tài)方程，如何處理？將二者變換成同樣結構再計算基于MATLAB的計算方法串聯 注意次序：多變量系統(tǒng)并聯優(yōu)點，無需實現轉換2022/7/2047系統(tǒng)的反饋連接反饋連接正反饋負反

12、饋2022/7/2048狀態(tài)方程的反饋等效方法其中若2022/7/2049反饋連接的MATLAB求解LTI 模型符號運算 (置于sym目錄)2022/7/2050例3-10 2022/7/2051顯示結果Transfer function: 60 s5 + 60156 s4 + 156132 s3 + 132136 s2 + 136060 s + 60000-2 s6 + 2004 s5 + 64006 s4 + 162002 s3 + 134002 s2 + 138000 s + 60000 2022/7/2052例3-11控制器為對角矩陣反饋矩陣H為單位矩陣2022/7/20532022/

13、7/2054eye（）函數EYE(N) is the N-by-N identity matrix. EYE(M,N) or EYE(M,N) is an M-by-N matrix with 1s on the diagonal and zeros elsewhere. EYE(SIZE(A) is the same size as A.2022/7/2055Gc=g11,0;0,g22Transfer function from input 1 to output. 2 s + 1 #1: - s #2: 0 Transfer function from input 2 to output

14、. #1: 0 5 s + 2 #2: - s2022/7/2056GG=feedback(G*Gc,H)Transfer function from input 1 to output. 12 s4 + 30 s3 + 24 s2 + 26 s + 10 #1: - s5 + 14 s4 + 33 s3 + 25 s2 + 27 s + 10 #2: 0 Transfer function from input 2 to output. #1: 0 30 s4 + 72 s3 + 54 s2 + 62 s + 20 #2: - s5 + 32 s4 + 75 s3 + 55 s2 + 63

15、s + 202022/7/20573.3.2 節(jié)點移動時的等效變換考慮模型難點：A點在回路間，移至輸出端2022/7/2058節(jié)點移動2022/7/20593.3.3 復雜系統(tǒng)模型的簡化例3-12 原系統(tǒng)可以移動新支路模型2022/7/2060得出2022/7/2061G=feedback(C2*G1,H1)G = G2*G4*G3*G1/(1+G4*G3*H3+G3*G2*H2+G2*G4*G3*G1*H1)2022/7/2062pretty(G) G2 G4 G3 G1-1 + G4 G3 H3 + G3 G2 H2 + G2 G4 G3 G1 H12022/7/2063PRETTY(S)

16、 prints the symbolic expression S in a format that resembles type-set mathematics例3-13 電機拖動模型 2022/7/2064collect( )函數f = -1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)；collect(f,exp(-2*x) (-1/4*x+3/16)*exp(-2*x)2022/7/2065 信號單獨輸入得出另一個傳遞函數2022/7/2066Simplify( )函數simplify(sin(x)2 + cos(x)2)顯示結果為12022/7/2067最終得出傳遞函數矩

17、陣2022/7/20683.4 系統(tǒng)模型的相互轉換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內容連續(xù)模型和離散模型的相互轉換系統(tǒng)傳遞函數的獲取控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現狀態(tài)方程的最小實現傳遞函數與符號表達式的相互轉換2022/7/20693.4.1 連續(xù)模型和離散模型的相互轉換連續(xù)狀態(tài)方程的解析階采樣周期選擇2022/7/2070這樣可以得出離散模型記則可以得出離散狀態(tài)方程模型MATLAB函數直接求解2022/7/2071還可以采用Tustin變換（雙線性變換）例3-14 雙輸入模型，2022/7/2072輸入模型、變換2022/7/2073模型2022/7/2074例3-15 時間延遲系統(tǒng)的離散化

18、MATLAB求解零階保持器變換變換結果2022/7/2075Tustin變換數學表示其他轉換方法FOH 一階保持器matched 單變量系統(tǒng)零極點不變imp 脈沖響應不變準則2022/7/2076離散模型連續(xù)化對前面的變換求逆Tustin反變換MATLAB求解 (無需 )2022/7/2077例3-16 對前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對結果再連續(xù)化，則 可以基本上還原連續(xù)模型2022/7/20783.4.2 系統(tǒng)傳遞函數的獲取已知狀態(tài)方程兩端Laplace變換則2022/7/2079因此可以得出傳遞函數難點基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好結果由零極點模型，直接展開分子分母用MATLAB統(tǒng)一求解2022/7/2080例3-17 多變量模型，求傳遞函數矩陣2022/7/20813.4.3 控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實現由傳遞函數到狀態(tài)方程的轉換不同狀態(tài)變量選擇，結果不唯一默認變換方式，采用M