第十一章 _動量定理

1、第十章 動量定理(dn lin dn l)共四十九頁實際上的問題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì)點的運動,僅需要研究質(zhì)點系整體(zhngt)的運動情況。動力學(xué)普遍(pbin)定理概述對質(zhì)點動力學(xué)問題： 建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系動力學(xué)問題： 理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。 從本章起, 將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法, 而首先要討論的是動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。共四十九頁 它們以簡明的數(shù)學(xué)形式， 表明兩種量 一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量

2、矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力 矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進(jìn)行深入的研究。在一定條件下，用這些定理(dngl)來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷 。 本章中研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要(zhngyo)形式質(zhì)心運動定理。共四十九頁2動量定理(dn lin dn l)3質(zhì)心運動(yndng)定理第十章 動量定理1動量與沖量共四十九頁 一、動量(dngling) 1.質(zhì)點的動量：質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱為質(zhì)點的動量。 是瞬時矢量，方向與v 相同。單位是kgm/s。 動量是度量(dling)物體機

3、械運動強弱程度的一個物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量??； 船：速度小，質(zhì)量大。 10-1 動量與沖量共四十九頁2. 質(zhì)點系的動量(dngling)寫成分量(fn ling)形式為 式中，Px、Py、Pz分別表示質(zhì)點系的動量P在軸x、y、z軸上的投影。 共四十九頁質(zhì)點系的質(zhì)量(zhling)中心(簡稱質(zhì)心)C的矢徑為 即兩端(lin dun)同時對時間求導(dǎo)，可得 可見，質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。上式可寫成分量形式為共四十九頁 3.剛體系統(tǒng)的動量：設(shè)第i個剛體則整個系統(tǒng)：【例10-1】曲柄(qbng)連桿機構(gòu)的曲柄(qbng)OA以勻 轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l ,曲柄OA及連桿A

4、B都是勻質(zhì)桿, 質(zhì)量各為m , 滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng) = 45時系統(tǒng)的動量。共四十九頁 解: 曲柄OA：滑塊B：連桿AB： （ P為速度瞬心， ） 共四十九頁 共四十九頁下圖所示幾種(j zhn)運動剛體的動量： 1、細(xì)長桿的動量(dngling)為P=ml/2，方向與vC 方向相同 2、在水平地面上作純滾動的均質(zhì)滾輪的動量為P=mr，方向與vC方向相同 3、繞輪心轉(zhuǎn)動的均質(zhì)輪，則不論輪子轉(zhuǎn)動的角速度有多大，也不論輪子的質(zhì)量多大，由于其質(zhì)心不動，其動量總是等于零。 共四十九頁例102已知：均質(zhì)圓盤在OA桿上純滾動(gndng)，m20kg， R100mm， OA桿的角速度為 ，圓盤相對于O

5、A桿轉(zhuǎn) 動的角速度為 ， 。求：此時(c sh)圓盤的動量。共四十九頁 解：共四十九頁已知: 為常量,均質(zhì)桿OA = AB = ,兩桿質(zhì)量皆為 , 滑塊 B 質(zhì)量 . 求:質(zhì)心運動(yndng)方程、軌跡及系統(tǒng)動量.例10-3共四十九頁解:設(shè) ，質(zhì)心運動方程為消去t 得軌跡(guj)方程共四十九頁系統(tǒng)動量(dngling)沿x, y軸的投影為:系統(tǒng)動量(dngling)的大小為:共四十九頁2力是變矢量：（包括大小和方向的變化）元沖量： 沖量：1力是常矢量：二、沖量 力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)(xioyng)的度量。共四十九頁 3合力的沖量：等

6、于各分力(fnl)沖量的矢量和沖量的單位：與動量單位同共四十九頁沖量的一些(yxi)實例共四十九頁10-2 動量定理(dn lin dn l)1.質(zhì)點(zhdin)的動量定理或即質(zhì)點動量的增量等于作用于質(zhì)點上的力的元沖量.在 內(nèi), 速度由 , 有 即在某一時間間隔內(nèi),質(zhì)點動量的變化等于作用于質(zhì)點的力在此段時間內(nèi)的沖量.質(zhì)點動量定理的微分形式質(zhì)點動量定理的積分形式共四十九頁2.質(zhì)點系的動量定理(dn lin dn l)外力: , 內(nèi)力: 內(nèi)力(nil)性質(zhì):質(zhì)點:質(zhì)點系:或質(zhì)點系動量定理的微分形式 即質(zhì)點系動量的增量等于作用于質(zhì)點系的外力元沖量的矢量和;或質(zhì)點系動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點系的

7、外力的矢量和.共四十九頁 即在某一時間間隔內(nèi),質(zhì)點系動量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點系外力(wil)沖量的矢量和.質(zhì)點系動量定理(dn lin dn l)微分形式的投影式 質(zhì)點系動量定理積分形式的投影式質(zhì)點系動量定理的積分形式3質(zhì)點系動量守恒定律若 , =恒矢量若 , = 恒量共四十九頁設(shè)大三角塊速度，小三角塊相對大三角塊速度為 ，則小三角塊運動(yndng)分析， 例10-4 質(zhì)量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面(ximin)上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析，水平方向常量。共四十九頁由水

8、平方向(fngxing)動量守恒及初始靜止；則共四十九頁 電動機外殼固定在水平基礎(chǔ)上,定子和外殼的質(zhì)量為 ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 .定子和機殼質(zhì)心 ,轉(zhuǎn)子質(zhì)心 , ,角速度 為常量.求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力.例10-5共四十九頁得解:由動約束力附加(fji)動約束力共四十九頁dt 內(nèi)流過截面的質(zhì)量(zhling)及動量變化為 流體在變截面(jimin)彎管中流動,設(shè)流體不可壓縮,且是定常流動.求管壁的附加動約束力.流體受外力如圖,由動量定理,有例10-6解:共四十九頁 為靜約束力; 為附加動約束力由于 得即 設(shè)共四十九頁 由作用與反作用定律，流體對管壁的附加動壓力 的大小等于此附加動反力，但方向相反，即

9、 管內(nèi)流體流動時給予管壁的附加動壓力(yl),等于單位時間內(nèi)流入該管的動量與流出該管的動量之差。設(shè)計高速管道時，應(yīng)考慮附加動壓力的影響。 如圖所示一水平的等截面直角形彎管。當(dāng)流體被迫(bi p)改變流動方向時，對管壁施加有附加的動反力共四十九頁 設(shè)進(jìn)口截面的截面面積為S1，出口截面的截面面積為S2。進(jìn)口平均流速為v1，出口平均流速度v2，流體的密度為。應(yīng)用上面分析的結(jié)論，可知流體對管壁施加附加(fji)的動壓力，它的大小等于管壁對流體作用的附加(fji)動反力，即 由此可見，當(dāng)流速(li s)很高或管子截面面積很大時，附加動壓力很大，在管子的彎頭處要安裝支座。共四十九頁【例10-7】如圖所示均

10、質(zhì)滑輪半徑分別(fnbi)為r1和r2，兩輪固連在一起并安裝在同一轉(zhuǎn)軸O上，兩輪共重為Q，兩重物的重量分別為P1、P2。已知M1向下運動的加速度為a1，求滑輪對轉(zhuǎn)軸的壓力。 解：以整體為研究(ynji)對象，受力分析如圖所示。用動量定理，可得 而代入上式，可得 共四十九頁應(yīng)用動量定理解題(ji t)步驟大致如下： (1) 選取研究對象，分析研究對象上的外力(wil)(包括主動力 和約束反力)。 (2) 如果外力主矢等于零或外力在某軸上的投影代數(shù)和等于零，則應(yīng)用質(zhì)點系動量守恒定理求解。 (3) 如果外力主矢不等于零，先計算質(zhì)點系的動量在坐標(biāo)軸上的投影，然后應(yīng)用動量定理求未知力(一般為約束反力)。

11、計算動量的速度必須是絕對速度，并要注意動量和力在坐標(biāo)軸上的投影的正負(fù)號。 共四十九頁10-3 質(zhì)心(zh xn)運動定理 問題(wnt)：內(nèi)力是否影響質(zhì)心的運動？由得或 質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和.質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理與動力學(xué)基本方程有何不同？共四十九頁質(zhì)心(zh xn)運動守恒定律在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)軸上的投影式為:在自然軸上的投影式為:若 則 常矢量 若則 常量 共四十九頁若，則 常矢量，質(zhì)心作勻速直線運動;若開始時系統(tǒng)靜止，即 則常矢量,質(zhì)心位置守恒。若則 常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在 則 常量，質(zhì)心在x 軸的位置坐標(biāo)保持不變

12、。質(zhì)心(zh xn)運動定理可求解兩類動力學(xué)問題：已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 求作用于質(zhì)點系的外力(包括約束反力)。已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。共四十九頁均質(zhì)曲柄AB長為r,質(zhì)量為m1 ,假設(shè)受力偶作用以不變的角速度轉(zhuǎn)動,并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D ,如圖所示.滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2 ,質(zhì)心(zh xn)在點C .在活塞上作用一恒力F .不計摩擦及滑塊B的質(zhì)量,求:作用在曲柄軸A 處的最大水平約束力Fx .例10-8共四十九頁顯然(xinrn),最大水平約束力為應(yīng)用質(zhì)心(zh xn)運動定理,解得如圖所示解:共四十九頁求:電機外殼(wi k)的運動.已知：地面水平,光滑

13、, , , ,初始靜止, 常量.例 10-9 共四十九頁設(shè)由 ,得解:共四十九頁【例10-10】 如圖所示滑塊A質(zhì)量為m，可在水平光滑槽中運動，具有剛性系數(shù)為k 的彈簧一端與滑塊相連接，另一端固定。桿AB長為L，質(zhì)量不計，A端與滑塊A鉸接，B端裝有質(zhì)量為m1的小球，在鉛直平面內(nèi)可繞點A轉(zhuǎn)動。設(shè)在力矩作用下，轉(zhuǎn)動角速度為常數(shù)，初始時 ，彈簧恰為原長，求滑塊A的運動規(guī)律。 解：取整體為研究對象，受力如圖所示，建立水平向右的坐標(biāo)軸Ox，點O取在運動初始時滑塊A質(zhì)心(zh xn)上，質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)為共四十九頁根據(jù)(gnj)質(zhì)心運動定理，有 解此微分方程，并注意到初始條件t = 0時， ， 故可得A的

14、穩(wěn)態(tài)解的運動規(guī)律為共四十九頁解：取人和船組成(z chn)的系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖所示。取坐標(biāo)軸如圖所示。設(shè)人在走動前，人和船的質(zhì)心x坐標(biāo)分別為a和b。則系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為【例10-11】如圖所示的小船，船長為l，質(zhì)量為m，船上有質(zhì)量為m1的人。設(shè)初始(ch sh)時小船和人靜止，人站立在船的最左端，后來沿甲板向右行走，如不計水的阻力，求當(dāng)人走到船的最右端時，船向左移動的距離為多少？共四十九頁由于(yuy)在x軸上的坐標(biāo)保持不變，即解得當(dāng)人走到船的右端時，設(shè)船移動的距離為s，則系統(tǒng)質(zhì)心(zh xn)的坐標(biāo)為共四十九頁解：取起重(q zhn)船，起重(q zhn)桿和重物組成的質(zhì)點系為研究對

15、象。例10-12 浮動起重船, 船的重量為P1=200kN, 起重桿的重量為P2=10kN, 長l=8m，起吊物體的重量為P3=20kN 。 設(shè)開始起吊時整個系統(tǒng)處于靜止，起重桿OA與鉛直位置的夾角為1=60, 水的阻力(zl)不計, 求起重桿OA與鉛直位置成角2 =30時船的位移。受力分析如圖示，且初始時系統(tǒng)靜止，所以系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標(biāo)XC保持不變。共四十九頁船的位移(wiy)x，桿的位移重物(zhn w)的位移計算結(jié)果為負(fù)值，表明船的位移水平向左。共四十九頁應(yīng)用質(zhì)心運動定理解題(ji t)的步驟如下： (1) 選取(xunq)研究對象，分析受力(畫出質(zhì)點系所受全部外力，包括主動力和約束反力)。 (2) 如果外力主矢等于零，或外力在某軸上的投影為零，則應(yīng)用質(zhì)心運動守恒定理求解。若初始靜止，則質(zhì)心的坐標(biāo)保持不變。分別計算兩個時刻質(zhì)心的坐標(biāo)(用各質(zhì)點的坐標(biāo)表示)，令其相等，即可求出所要求的某質(zhì)點位移。共四十九頁 (3) 如果外力主矢不等于零, 若已知質(zhì)心的運動規(guī)律, 先求出質(zhì)心加速度,然后應(yīng)用(yngyng)質(zhì)心運動定理求未知力(一般為約束反力) ；若已知作用于質(zhì)點系的外力，先計算質(zhì)心坐標(biāo)，然后應(yīng)用質(zhì)心運動定理求某質(zhì)點的運動規(guī)律。共四十九頁Thank You !共四十九頁內(nèi)容摘要第十章 動量定理。