【清華在線】新版GCT精講班-數(shù)學(xué)-線性代數(shù)講義

1、 GCT數(shù)學(xué).線性代數(shù)部分主講：王飛燕第一講行列式一. 行列式的定義一階行列式定義為二階行列式定義為 在階行列式中，劃去元素所在的第行第列，剩余元素構(gòu)成階行列式，稱為元素的余子式，記作令，稱為的代數(shù)余子式階行列式定義為二. 行列式的性質(zhì)1.行列式中行列互換，其值不變2.行列式中兩行對(duì)換，其值變號(hào)3.行列式中如果某行元素有公因子，可以將公因子提到行列式外4.行列式中如果有一行每個(gè)元素都由兩個(gè)數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個(gè)行列式的和由以上四條性質(zhì)，還能推出下面幾條性質(zhì)5.行列式中如果有兩行元素對(duì)應(yīng)相等，則行列式的值為6.行列式中如果有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為7.行列式中如果有一行元素全為

2、，則行列式的值為8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不變 三.階行列式展開(kāi)性質(zhì)等于它的任意一行的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和，即按列展開(kāi)定理階行列式的某一行的各元素與另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零即按列展開(kāi)的性質(zhì)四.特殊行列式; 上（下）三角行列式和上面的對(duì)角行列式的結(jié)果相同.五.計(jì)算行列式消零降階法.消為特殊行列式（上（下）三角行列式或和對(duì)角行列式）.典型習(xí)題1. =（ ）。 （）2. 設(shè)的代數(shù)余子式，則=（ ） A 2 B 1 C- D（） 3.中的系數(shù)是（ ） A 2 B 1 C D（） 4.的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A 4 B 2 C D0 （D）5設(shè)，則=（ ） A 4

3、 B 2 C D0 （C）6（ ） A 4 B C D (B)7，則（ ）( ) A. 或 B. C. D. 且 (A)8. 設(shè)則 A .2M B. 2M C.8M D.-8M (C)9. 的根的個(gè)數(shù)是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D.3 (B)10 的根的個(gè)數(shù)是（ ） A. B. C. D. (C)11. 設(shè)是方程 的三個(gè)根, 則行列式 ( )。 A. 0 B. 1 C. -4 D.2 (A)第二講 矩 陣一.矩陣概念和運(yùn)算1.矩陣的定義和相等.2.加法,數(shù)乘,乘法, 轉(zhuǎn)置,方陣的冪乘的定義及性質(zhì).尤其是矩陣乘法不滿足交換律和消去律.滿足結(jié)合律,左(右)乘分配律等.若是階方陣,則特殊

4、方陣：上（下）三角陣，對(duì)角陣，單位陣。3.逆矩陣定義：都是階方陣，滿足 ，則稱是的逆矩陣。記.可逆公式： 可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)4. 伴隨矩陣定義：基本關(guān)系式：與逆矩陣的關(guān)系：行列式：秩：5矩陣方程設(shè)是階方陣，是矩陣，若可逆，則矩陣方程有解，其解為設(shè)是階方陣，是矩陣，若可逆，則矩陣方程有解，其解為二.初等變換矩陣的初等行（列）變換：交換兩行（列）；用一個(gè)非零常數(shù)乘某一行（列）；某行（列）的倍加到另一行（列）上 (初等行變換)三.矩陣的秩1.定義在矩陣中，任取行列，位于這行列交叉處的個(gè)元素按其原來(lái)的次序組成一個(gè)階行列式，稱為矩陣的一個(gè)階子式若矩陣中有一個(gè)階子式不為零，而所有階子式全為零，則稱矩陣的秩

5、為。矩陣的秩記作顯然有 中有一個(gè)階子式不為零；中所有階子式全為零對(duì)于階方陣，對(duì)于階方陣，若，則稱是滿秩方陣重要定理對(duì)矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩矩陣的秩的求法階梯形矩陣滿足以下條件的矩陣稱為階梯形：所有零行都在矩陣的底部；非零行的第一個(gè)元素稱為主元，每個(gè)主元在前一行主元的右方；(初等變換)階梯形,則 中主元的個(gè)數(shù)4. 矩陣的秩有以下一些常用的性質(zhì)：. 若，則，其中為矩陣的列數(shù)若可逆，則若可逆，則典型習(xí)題 都是階陣,則下列結(jié)論不正確的是( )A . B. C. D. (A) 2.，且，求， (-108, 32/3)3, 則( ) 4.設(shè)則中第3行第2列的元素是 A. B. C. 1 D. (B

6、)5.，則（ ） （）6. 都是階陣,.則下列結(jié)論正確的是( ) A. B.或 C. D. (B)7設(shè) .則下列結(jié)論不正確的是( ) A可逆. B. 不可逆. C.可逆 D.可逆 (B) 8. 設(shè)，則 () 9 是的伴隨矩陣, ,則的第三行的行向量是（ ）. A. B. C. D. (C)10， 則（ ）。 (B) A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 11設(shè)，（ ）時(shí) 。 (A) A. -3 B. -2 C. 1 D. 3 12. 設(shè)則 ( ). (D) A. B. C. D. 13設(shè) 則（ ）。 (C) A.3 B. 2 C.1 D. 0 14 設(shè),三階矩陣,且滿足,則( ). A. B

7、. C. D. (A)第三講 向 量一. 向量組 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1.向量組的線性組合與線性表示設(shè)是維向量，是數(shù)，則 稱為向量的一個(gè)線性組合若,稱可由線性表出稱為向量的長(zhǎng)度。若，則稱為單位向量。向量組：,稱為一組基本單位向量。線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義 設(shè)是維向量，若存在不全為零的數(shù)，使得，則稱線性相關(guān)否則稱線性無(wú)關(guān)定理 若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān), 則可由線性表出,，且表示法惟一判斷 設(shè)是維向量,線性相關(guān) 存在某個(gè)向量可被其余個(gè)向量線性表出個(gè)維向量線性相關(guān)個(gè)維向量必線性相關(guān)增加向量組向量的個(gè)數(shù),不改變向量組的線性相關(guān)性.減少向量組向量的個(gè)數(shù),不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性.含有零向量的向量組必線性相關(guān).

8、含有兩個(gè)相同向量的向量組必線性相關(guān).一組基本單位向量：,是線性無(wú)關(guān)的。二.向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組1.定義 設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分組滿足）線性無(wú)關(guān)；）向量組的每一個(gè)向量都可以由向量組線性表出，則稱部分組是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組且向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩2.求法任何矩陣都可以通過(guò)矩陣的行初等變換化作階梯形求極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：將向量依次按列寫成矩陣；對(duì)矩陣施行行初等變換，化作階梯形；階梯形中主元所在列標(biāo)對(duì)應(yīng)到原向量構(gòu)成一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組； 例如 (行初等變換)主元所在列是第列，第列，第列，因此的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是且3三向量組的秩與矩陣的秩設(shè)是矩陣，將

9、矩陣的每個(gè)行看作行向量，矩陣的個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩將矩陣的每個(gè)列看作列向量，矩陣的個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的秩（三秩相等）典型習(xí)題1下列向量組中線性相關(guān)性的向量組是（ ） A. B. C. D. , , , （D）2設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，下列向量組無(wú)關(guān)的是（ ）A B. C D. （A）3. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則 A. 3 B. 2 C.-2 D.-3 （D）4.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則是向量組線性無(wú)關(guān)的A. 充分必要條件 B. 充分條件，但非必要是條件C.必要條件，但非充分是條件 D. 既非充分條件，也

10、非必要是條件（C）5. ( )時(shí), 向量組 線性無(wú)關(guān). A B。 C. D. 且 (D)6.設(shè),則它們的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是( ) A.B. C. D. (D)7設(shè)是維單位向量，若，則（） (） 8. .設(shè), ,且.則( ). A.2 B.4 C.-2 D.-4 (B)第四講 線性方程組解的理論一 齊次線性方程組設(shè)元齊次線性方程組, 系數(shù)矩陣令，則線性方程組可寫成矩陣方程的形式：若令，則齊次線性方程組又可以寫成向量方程的形式：齊次線性方程組有非零解的判定條件設(shè)，齊次線性方程組有非零解只有零解.即系數(shù)矩陣列滿秩設(shè)是階方陣，齊次線性方程組有非零解只有零解設(shè)，當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組必有非零解齊次線性方

11、程組的解的性質(zhì)若，是齊次線性方程組的解，則和仍是的解若是齊次線性方程組的解，則的任意常數(shù)倍仍是的解齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的一個(gè)基礎(chǔ)解系其要點(diǎn)為：(1) 都是的解，(2)它們是線性無(wú)關(guān)的, (3)的任何一個(gè)解都可以由它們線性表出因此基礎(chǔ)解系往往不是惟一的若元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則基礎(chǔ)解系中含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(這一點(diǎn)和上面的(3)等價(jià),即).若是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則齊次線性方程組的通解（一般解）是其中是任意常數(shù)解齊次線性方程組的基本方法解元齊次線性方程組的基本步驟：對(duì)系數(shù)矩陣作矩陣的初等行變換，化作行階梯形；假設(shè)有個(gè)非零行，則基礎(chǔ)解系中有個(gè)解向量 選非主元所在列的變量為

12、自由未知量；將自由變量依次設(shè)為單位向量，求得所需的線性無(wú)關(guān)的解向量為一個(gè)基礎(chǔ)解系二 非齊次線性方程組設(shè)非齊次線性方程組記系數(shù)矩陣為,常數(shù)項(xiàng)向量為，則非齊次線性方程組可寫作方程組的增廣矩陣記作對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組稱為非齊次線性方程組的導(dǎo)出組非齊次線性方程組有解的判定非齊次線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩即若元非齊次線性方程組有解，即當(dāng)時(shí)，方程組有惟一解；時(shí)，方程組有無(wú)窮多解當(dāng)系數(shù)矩陣時(shí)，非齊次線性方程組有唯一解非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)是非齊次線性方程組的兩個(gè)解，則是導(dǎo)出組的一個(gè)解非齊次線性方程組的任一解與導(dǎo)出組的解的和是非齊次線性方程組的解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊

13、次線性方程組的通解（一般解）是非齊次線性方程組的一個(gè)特解+導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的線性組合即 設(shè)非齊次線性方程組，若，是的一個(gè)特解， 是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則的通解（一般解）是, 其中是任意常數(shù)典型習(xí)題1.只有零解的充分必要條件是A A的列向量組線性相關(guān) B A的列向量組線性無(wú)關(guān) C A的行向量組線性相關(guān) D A的行向量組線性無(wú)關(guān) （）2. 是對(duì)應(yīng)的齊次方程組.則若只有零解,則有唯一解.若有非零解,則有無(wú)窮多解.若有無(wú)窮多解,則有非零解.若無(wú)解,則 只有零解. (C). 的行向量線性無(wú)關(guān)，則錯(cuò)誤的是只有零解.必有無(wú)窮多解.有惟一解.總有無(wú)窮多解 （）4已知三階矩陣的秩， 是方程組的三個(gè)解向量,則常數(shù)（

14、 ）. A. B. C. D. 3 (D)5.當(dāng)為( )時(shí),方程組有非零解. A.且 B. 且 C. 或 D. 或 (C)6.已知三階非零矩陣的每一列都是方程組 的解,則. A. B. C.1 D. 3 (C)7. 設(shè),是的三個(gè)解向量,且 則的通解是( ). ()8. 為( )時(shí)，方程組有無(wú)窮多解. A. B. 1 C. D. 3 (B)9. 設(shè) , 則當(dāng)( )時(shí), 方程組無(wú)解. A.1 B.2 C. D. (B)10. 設(shè) 為齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,則 A. B. C. D. (A)11.設(shè)且可逆，則方程組 A.有唯一解 B.有無(wú)窮多解 C.無(wú)解 D.不能確定 （C）第五講 特征值與特征向

15、量一 特征值和特征向量的定義，性質(zhì)與計(jì)算定義設(shè)是階方陣，是非零的維向量，且滿足，則稱是的特征值，是的屬于特征值的特征向量性質(zhì)若都是的屬于特征值的特征向量， 則也是的屬于特征值 的特征向量若是的屬于特征值的特征向量, 是非零常數(shù)，則也是的屬于特征值的特征向量求法的特征多項(xiàng)式：由特征方程由方程組屬于的特征向量（求基礎(chǔ)解系）（其它重要結(jié)論：屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的二 相似矩陣定義 設(shè)是階方陣，是階可逆矩陣，滿足 ，則稱相似于.記作2. 性質(zhì) 相似矩陣有相同的秩，相同的跡，相同的行列式，相同的特征值3.階方陣可相似對(duì)角化的條件階方陣可對(duì)角化是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量階方陣可對(duì)角化的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)等于它對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù) 即若 (其中) 則階方陣可對(duì)角化方陣有個(gè)不同的特征值,可對(duì)角化方陣的相似對(duì)角化的步驟(1) 解的特征多項(xiàng)式：求出的個(gè)特征值.(其中可能有相重的特征值) (2)解齊次方程組: (), 求出的每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量即求的基礎(chǔ)解系. (3)若共有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量則令,有 . 注意與的對(duì)應(yīng)關(guān)系.典型習(xí)題1.是的特征向量,則. A. B. C. D. (B)2設(shè) ,則對(duì)應(yīng)于特征值2的一個(gè)特征向量是( ) A. B. C. D. (D)3. 設(shè)，的特征值為。則（ ）. A. B.20 C. D. (A)4 設(shè)，若的特征值和的特征值相