第二部分電磁場(chǎng)基本方程Electromagneticfieldequations-課件

1、第二章 電磁場(chǎng)基本方程 Electromagnetic field equations2.0 電磁場(chǎng)的源 2.1 靜態(tài)電磁場(chǎng)的基本定律和基本場(chǎng)矢量2.2 法拉弟電磁感應(yīng)定律和全電流定律 2.3 麥克斯韋方程組 2.4 電磁場(chǎng)的邊界條件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 唯一性定理 一、電荷與電荷密度 Charge and charge density1、體電荷密度體電荷：電荷連續(xù)分布在一定體積內(nèi)形成的電荷體。體電荷密度 的定義：在電荷空間V內(nèi)，任取體積元 ，其中電荷量為2.0 電磁場(chǎng)的源量 Source of Electromagnetic field 電荷和電流是產(chǎn)生電磁場(chǎng)的源2、面電

2、荷密度面電荷：當(dāng)電荷只存在于一個(gè)薄層上時(shí)，稱電荷為面電荷。體電荷密度 的定義：在面電荷上，任取面積元 ，其中電荷量為3、線電荷密度線電荷：當(dāng)電荷只分布在一條細(xì)線上時(shí)，稱電荷為線電荷。線電荷密度 的定義：在線電荷上，任取線元 ，其中電荷量為4、點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷：當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時(shí)，稱為點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷可看作是電量q無(wú)限集中于一個(gè)幾何點(diǎn)上。運(yùn)動(dòng)的電荷形成電流。電流大小用電流強(qiáng)度I描述。電流強(qiáng)度I的定義： 設(shè)在 時(shí)間內(nèi)通過(guò)某曲面S的電量為 ，則定義通過(guò)曲面S的電流為： 電流強(qiáng)度的物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面S的電荷量。恒定電流：電流大小恒定不變。即：二、電流與電流密度 Electronic

3、 current(density) 引入電流密度矢量 描述空間電流分布狀態(tài)。1、體電流密度 Volume Electronic current density 體電流：電荷在一定體積空間內(nèi)流動(dòng)所形成的電流體電流密度 定義：設(shè)正電荷沿 方向流動(dòng)，則在垂直 方向上取一面元 ，若在 時(shí)間內(nèi)穿過(guò)面元的電荷量為 ，則：為空間中電荷體密度， 為正電荷流動(dòng)速度。2)2、面電流密度 Surface Electronic current density 當(dāng)電荷只在一個(gè)薄層內(nèi)流動(dòng)時(shí)，形成的電流為面電流。面電流密度 定義：電流在曲面S上流動(dòng)，在垂直于電流方向取一線元 ，若通過(guò)線元的電流為 ，則定義1） 的方向?yàn)殡娏?/p>

4、方向（即正電荷運(yùn)動(dòng)方向）討論：2）若表面上電荷密度為 ，且電荷沿某方向以速度 運(yùn)動(dòng)，則可推得此時(shí)面電流密度為：注意：體電流與面電流是兩個(gè)獨(dú)立概念，并非有體電流就有面電流。3、線電流與電流元電荷只在一條線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的電流即為線電流。電流元 ：長(zhǎng)度為無(wú)限小的線電流元。3）穿過(guò)任意曲線的電流：證明2.1 靜態(tài)電磁場(chǎng)的基本定律和基本場(chǎng)矢量基本場(chǎng)矢量：電場(chǎng)強(qiáng)度E電通量密度（電位移矢量）D磁通量密度 (磁感應(yīng)強(qiáng)度)B磁場(chǎng)強(qiáng)度H基本定律：庫(kù)侖定律 高斯定理畢奧-薩伐定律安培環(huán)路定律靜電場(chǎng)：恒定不變的電場(chǎng)，由靜止電荷產(chǎn)生。即：恒定電磁、場(chǎng)：恒定電流所產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。靜態(tài)電磁場(chǎng)：靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)

5、圖 2-1 兩點(diǎn)電荷間的作用力 庫(kù)侖定律描述了真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷間相互作用力的規(guī)律。一、庫(kù)侖定律 Coulombs Law 2 .1 .1 庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度Coulombs Law and Electronic field indensity式中, K是比例常數(shù), r是兩點(diǎn)電荷間的距離, 是從q1指向q2的單位矢量。若q1和q2同號(hào), 該力是斥力, 異號(hào)時(shí)為吸力。在國(guó)際單位制中, 庫(kù)侖定律表達(dá)為 式中, q1和q2的單位是庫(kù)侖(C), r的單位是米(m), 0是真空的介電常數(shù): 說(shuō)明：2、庫(kù)侖定律是在無(wú)限大的均勻、線性、各向同性介質(zhì)中總結(jié)出的實(shí)驗(yàn)定律。1、靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力稱為靜電力。

6、兩個(gè)點(diǎn)電荷之間靜電力的大小與兩個(gè)電荷的電量成正比、與電荷之間距離的平方成反比，方向在兩個(gè)電荷的連線上。3、靜電力遵從疊加原理，當(dāng)有多個(gè)點(diǎn)電荷存在時(shí)，其中任一個(gè)點(diǎn)電荷受到的靜電力是其他各點(diǎn)電荷對(duì)其作用力的矢量疊加 4、對(duì)于連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)（如體電荷、面電荷和線電荷），靜電力的求解不能簡(jiǎn)單地使用庫(kù)侖定律，必須進(jìn)行矢量積分 5)由庫(kù)侖定律知, 在離點(diǎn)電荷q距離為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 二、電場(chǎng)強(qiáng)度單位正電荷在電場(chǎng)中所受的作用力稱為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，以E 表示。 式中q 為試驗(yàn)電荷的電量，F(xiàn) 為電荷q 受到的作用力。 說(shuō)明：1）對(duì)q取極限是避免引入試驗(yàn)電荷影響原電場(chǎng)；2）電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)力的方向一致；3

7、）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與試驗(yàn)電荷q的電量無(wú)關(guān)。4) 電場(chǎng)的單位：牛頓/庫(kù)侖(N/C)定義： 是媒質(zhì)的介電常數(shù), 在真空中=0。 這樣, 對(duì)真空中的點(diǎn)電荷q, 除電場(chǎng)強(qiáng)度E外, 描述電場(chǎng)的另一個(gè)基本量是電通量密度D, 又稱為電位移矢量。 在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中, 電通量密度由下式定義: 一、電通量密度： Electronic flux電通量:電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過(guò)該曲面的電通量二、高斯定理2 .1 .2 高斯定理, 電通量密度Gausss Law, Electronic fluxGausss Law 此通量?jī)H取決于點(diǎn)電荷量q, 而與所取球面的半徑無(wú)關(guān)。如果在封閉面內(nèi)的電荷不止一個(gè), 則利用疊

8、加原理知, 穿出封閉面的電通量總和等于此面所包圍的總電量 即穿過(guò)任一封閉面的電通量, 等于此面所包圍的自由電荷總電量取積分曲面為半徑為r的球面，電通量為 ：高斯定理：說(shuō)明：若封閉面所包圍的體積內(nèi)的電荷是以體密度v分布的, 則所包圍的總電量為 上式對(duì)不同的V都應(yīng)成立, 因此兩邊被積函數(shù)必定相等, 于是有 高斯定理的微分形式三、利用高斯定理求解靜電場(chǎng)關(guān)鍵：高斯面的選擇。高斯面的選擇原則：用高斯定理求解電場(chǎng)的方法只能適用于一些呈對(duì)稱分布的電荷系統(tǒng)。1）場(chǎng)點(diǎn)位于高斯面上；2）高斯面為閉合面；3）在整個(gè)或分段高斯面上， 或 為恒定值。求真空中半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球在球外空間中產(chǎn)生E。分析：電場(chǎng)方向

9、沿半徑方向：電場(chǎng)大小只與場(chǎng)點(diǎn)距離球心的距離相關(guān)。解：在球面上取面元ds，該面元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)徑向分量為：式中：例題一說(shuō)明：與位于球心的點(diǎn)電荷Q在空間中產(chǎn)生的電場(chǎng)等效。已知真空中電荷分布函數(shù)為：式中r為球坐標(biāo)系中的半徑求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由高斯定理ra例2 .1 .3 畢奧-薩伐定律, 磁通量密度The Biot-Savart Law, Magnetic flux density 運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的作用力的特點(diǎn)：與電荷量及運(yùn)動(dòng)速度的大小成正比，而且還與電荷的運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。電荷沿某一方向運(yùn)動(dòng)時(shí)受力最大，而垂直此方向運(yùn)動(dòng)時(shí)受力為零。受力為零的方向?yàn)榱憔€方向如果最大作用力為 Fm ，則實(shí)

10、驗(yàn)發(fā)現(xiàn)沿偏離零線方向 角度運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力為Fmsin磁場(chǎng)的重要特性：會(huì)對(duì)處于其中的運(yùn)動(dòng)電荷（電流）產(chǎn)生力的作用，稱為磁場(chǎng)力。磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量 :描述空間磁場(chǎng)分布。一、磁感應(yīng)強(qiáng)度 Magnetic flux density 在磁場(chǎng) 空間中，以速度 運(yùn)動(dòng)的電荷q0所受的作用力為說(shuō)明： 稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁通密度，單位為T（特斯拉）。其方向與電荷受磁場(chǎng)力為零時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向相同。兩個(gè)載流回路間的作用力 真空中，兩電流回路C1,C2，載流分別為I1,I2，則： r是電流元Idl至Idl的距離, 是由dl指向dl的單位矢量, 0是真空的磁導(dǎo)率: 二、畢奧-薩伐定律The Biot-Savart Law兩個(gè)電流回路

11、之間的作用力為：安培力定律: Amperes force law 電流元 在磁場(chǎng) 中受到的磁場(chǎng)力為：若 由電流元 產(chǎn)生，則由安培力定律可知，電流元 產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：畢奧薩伐爾定律說(shuō)明： 、 、 三者滿足右手螺旋關(guān)系。二、電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度1、體電流三、體電流與面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度2、面電流3、載流為I的無(wú)限長(zhǎng)線電流在空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)例題一求半徑為a的電流環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁場(chǎng)。分析：在軸線上，磁場(chǎng)方向沿z向。電流分布呈軸對(duì)稱。解：建立如圖柱面坐標(biāo)系。在電流環(huán)上任取電流元 ，令其坐標(biāo)位置矢量為 。易知：例 2 .1 參看圖2-3, 長(zhǎng)2l的直導(dǎo)線上流過(guò)電流I。 求真空中P點(diǎn)的磁通量密

12、度。圖 2-3 載流直導(dǎo)線 解 采用柱坐標(biāo), 電流Idz到P點(diǎn)的距離矢量是解 采用柱坐標(biāo), 電流Idz到P點(diǎn)的距離矢量是對(duì)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線, l, 有在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中, 磁場(chǎng)強(qiáng)度H由下式定義: 在恒定磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量沿任意閉合路徑的環(huán)量等于其與回路交鏈的電流之和，即：稱為媒質(zhì)磁導(dǎo)率。為真空中的磁場(chǎng)強(qiáng)度 Magnetic field intensity安培環(huán)路定律 Amperes circuital law安培環(huán)路定律(積分形式)2 .1 .4 安培環(huán)路定律、磁場(chǎng)強(qiáng)度因?yàn)镾面是任意取的, 所以必有 由斯托克斯定理，J為電流密度，是一個(gè)矢量，電流密度的方向?yàn)檎姾傻倪\(yùn)動(dòng)方向，其大小為單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過(guò)

13、單位面積的電荷量。 安培環(huán)路定律(微分形式)在靜電場(chǎng)中E沿任何閉合路徑的線積分恒為零: 利用斯托克斯定理得 由于電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度為0，可引入電位函數(shù)，使 物理意義：靜態(tài)電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)即保守場(chǎng)在靜態(tài)電場(chǎng)中將單位電荷沿任一閉合路徑移動(dòng)一周，靜電力做功為零靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。（電力線不構(gòu)成閉合回路）一、電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度2 .1 .5 兩個(gè)補(bǔ)充的基本方程二、磁場(chǎng)強(qiáng)度的散度：在恒定磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量穿過(guò)任意閉合面的磁通量為0，即：散度定理磁通連續(xù)性定律（積分形式）孤立磁荷不存在磁力線在空間任意位置是連續(xù)的。孤立磁荷不存在 (A)0，故B可用一矢量函數(shù)的旋度來(lái)表示。 結(jié)論：2 .2 .1 法拉第電磁感應(yīng)定律 (

14、Faradays Law of Induction) 靜態(tài)場(chǎng):場(chǎng)大小不隨時(shí)間發(fā)生改變(靜電場(chǎng),恒定電、磁場(chǎng)) 時(shí)變場(chǎng):場(chǎng)的大小隨時(shí)間發(fā)生改變。特性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激勵(lì)，從而形成不可分隔的統(tǒng)一的整體，稱為電磁場(chǎng)。特性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互獨(dú)立，互不影響。一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律電磁感應(yīng)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流。 楞次定律：回路總是企圖以感應(yīng)電流產(chǎn)生的穿過(guò)回路自身的磁通，去反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的改變。2 .2 Time-varying Electromagnetic Fields法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律 法拉第電磁感應(yīng)定律：當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)

15、生改變時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與回路磁通量的時(shí)間變化率成正比關(guān)系。數(shù)學(xué)表示：說(shuō)明：“-”號(hào)表示回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用總是要阻止回路磁通量的改變。二、法拉第電磁感應(yīng)定律 當(dāng)回路以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，斯托克斯定理法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式物理意義：1、某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率的負(fù)值等于該點(diǎn)時(shí)變電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。 2、感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)，其旋渦源為 ，即磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的地方一定會(huì)激發(fā)起電場(chǎng)，并形成旋渦狀的電場(chǎng)分布。 說(shuō)明：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)由兩部分組成，第一部分是磁場(chǎng)隨時(shí)間變化在回路中“感生”的電動(dòng)勢(shì); 第二部分是導(dǎo)體回路以速度v對(duì)磁場(chǎng)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的“動(dòng)生”電動(dòng)勢(shì)當(dāng)回路靜止時(shí)，變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)電流連

16、續(xù)性方程 時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)流出S的電荷量為電荷守恒定律： 時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)電荷改變量為由電流強(qiáng)度定義：電流連續(xù)性方程的微分形式電流連續(xù)性方程積分形式2 .2 .2 位移電流和全電流定律在時(shí)變情況下 另一方面，由 得到了兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果。 位移電流 在 的右端加一修正項(xiàng)則是電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率，具有電流密度的量綱，稱為位移電流密度 : 全電流定律 由積分形式：物理意義：該定律包含了隨時(shí)間變化的電場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁場(chǎng)這樣一個(gè)重要概念，也是電磁場(chǎng)的基本方程之一。磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。 推廣的安培環(huán)路定理全電流定律全電流變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)對(duì)任意封閉面S有 2 .2 .3

17、 全電流連續(xù)性原理 物理意義：穿過(guò)任一封閉面的各類電流之和恒為零。這就是全電流連續(xù)性原理。將它應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中, 得知節(jié)點(diǎn)處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號(hào), 流入取負(fù)號(hào))。這就是基爾霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)電流定律: I=0。 例：在z=0和z=d位置有兩個(gè)無(wú)限大理想導(dǎo)體板，在極板間存在時(shí)變電磁場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)該時(shí)變場(chǎng)相伴的磁場(chǎng)強(qiáng)度 ；例題解：(1)由法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式設(shè)平板電容器兩端加有時(shí)變電壓U, 試推導(dǎo)通過(guò)電容器的電流I與U的關(guān)系。 圖 2-4 平板電容器 例 2 .2解： 設(shè)平板尺寸遠(yuǎn)大于其間距, 則板間電場(chǎng)可視為均勻, 即E=U

18、/d, 從而得 式中C=A/d為平板電容器的電容。 2 .3 .1 麥克斯韋方程組的微分形式與積分形式 2 .3 麥克斯韋方程組Maxwells Equations （推廣的安培環(huán)路定律）（法拉第電磁感應(yīng)定律）（磁通連續(xù)性定律）（高斯定律）一、麥克斯韋方程組的微分形式 時(shí)變電磁場(chǎng)的源： 1、真實(shí)源（變化的電流和電荷）； 2、變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)。 時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。 物理意義： 時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。 在電荷及電流均不存在的無(wú)源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無(wú)散的。 電場(chǎng)線與磁場(chǎng)

19、線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。麥克斯韋方程組的地位：揭示了電磁場(chǎng)場(chǎng)量與源之間的基本關(guān)系，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，是電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)。二、麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本方程都是麥克斯韋方程組的特殊情況。電流連續(xù)性方程也可以由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。在麥克斯韋方程組中，沒(méi)有限定場(chǎng)矢量D、E、H、B之間的關(guān)系，它們適用于任何媒質(zhì)，通常稱為麥克斯韋方程組的非限定形式 本構(gòu)關(guān)系 將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。三、麥克斯韋方程組的限定形式麥克斯韋方程組限定形式Constitutive equ

20、ations 若媒質(zhì)參數(shù)與位置無(wú)關(guān), 稱為均勻(homogeneous)媒質(zhì); ; 若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無(wú)關(guān), 稱為線性(linear)媒質(zhì); ; 若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無(wú)關(guān), 稱為各向同性(isotropic)媒質(zhì); ; 若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)頻率無(wú)關(guān), 稱為非色散媒質(zhì); 反之稱為色散(dispersive) 媒質(zhì)。四、媒質(zhì)的分類在無(wú)源區(qū)域中充滿均勻、線性、各向同性的無(wú)耗媒質(zhì)空間中,由麥克斯韋方程組,=0,J=0無(wú)源區(qū)電場(chǎng)波動(dòng)方程同理，可以推得無(wú)源區(qū)磁場(chǎng)波動(dòng)方程為：2.3.2 無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程wave equations for source-free medium時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量在空

21、間中是以波動(dòng)形式變化的，因此稱時(shí)變電磁場(chǎng)為電磁波。建立波動(dòng)方程的意義：通過(guò)解波動(dòng)方程，可以求出空間中電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量的分布情況。但需要注意的是：只有少數(shù)特殊情況可以通過(guò)直接求解波動(dòng)方程求解。一、定義令： ，故：2.3.3 動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位 dynamic Vector potential scalar potential 時(shí)變場(chǎng)電場(chǎng)場(chǎng)量和磁場(chǎng)場(chǎng)量均為時(shí)間和空間位置的函數(shù)，因此動(dòng)態(tài)矢量位和動(dòng)態(tài)標(biāo)量位也為時(shí)間和空間位置的函數(shù)。 由于時(shí)變場(chǎng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)為統(tǒng)一整體，因此動(dòng)態(tài)標(biāo)量位和動(dòng)態(tài)矢量位也是一個(gè)統(tǒng)一的整體。 為了使時(shí)變電磁場(chǎng)場(chǎng)量和動(dòng)態(tài)位之間滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，須引入額外的限定條件規(guī)范條件。洛倫茲規(guī)

22、范條件二、洛倫茲規(guī)范條件三、動(dòng)態(tài)位滿足的方程引入洛倫茲規(guī)范條件，則方程簡(jiǎn)化為達(dá)朗貝爾方程從達(dá)朗貝爾方程可以看出：試用麥克斯韋方程組導(dǎo)出圖2-6所示的RLC串聯(lián)電路的電壓方程(電路全長(zhǎng)遠(yuǎn)小于波長(zhǎng))。 圖 2-6 RLC串聯(lián)電路 例2.3解: 沿導(dǎo)線回路l作電場(chǎng)E的閉合路徑積分, 根據(jù)麥?zhǔn)戏匠淌?a)有 上式左端就是沿回路的電壓降, 而是回路所包圍的磁通。將回路電壓分段表示, 得 設(shè)電阻段導(dǎo)體長(zhǎng)為l1, 截面積為A, 電導(dǎo)率為, 其中電場(chǎng)為J/, 故 電感L定義為m/I, m是通過(guò)電感線圈的全磁通, 得 通過(guò)電容C的電流已由例2 .2得出: 設(shè)外加電場(chǎng)為Ee, 則有 因?yàn)榛芈分械碾s散磁通可略, d

23、/dt0, 從而得 這就是大家所熟知的基爾霍夫電壓定律。對(duì)于場(chǎng)源隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化的情形, 設(shè)角頻率為, 上式可化為 2 .4 證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部v=0。 ; 解 利用電流連續(xù)性方程(2-31), 并考慮到J=E, 有 其解為 例導(dǎo)體內(nèi)的電荷極快地衰減, 使得其中的v可看作零。 銅=5.8107S/m =0 =1 .510-19sv隨時(shí)間按指數(shù)減小馳豫時(shí)間:衰減至v0的1/e即36.8%的時(shí)間,=/(s)一、一般媒質(zhì)分界面上的邊界條件( )2-4 電磁場(chǎng)的邊界條件在不同媒質(zhì)的分界面上，媒質(zhì)的電磁參數(shù)、發(fā)生突變，因而分界面處的場(chǎng)矢量E、H、D、B也會(huì)突變，麥克斯韋方程組的微分形式失去意義。此時(shí)，有限

24、空間中場(chǎng)量之間的關(guān)系是由積分形式的麥克斯韋方程組制約的，邊界條件就由它導(dǎo)出。 1、 的邊界條件The boundary conditions for time-varying fields 為表面?zhèn)鲗?dǎo)電流密度。式中： 為由媒質(zhì)21的法向。 特殊地，若介質(zhì)分界面上不存在傳導(dǎo)電流，則結(jié)論：當(dāng)分界面上存在傳導(dǎo)面電流時(shí)， 切向不連續(xù)，其不連續(xù)量等于分界面上面電流密度。當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在傳導(dǎo)面電流時(shí)， 切向連續(xù)。 2、 的邊界條件結(jié)論：只要磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率是有限的， 切向連續(xù)。 3、 的邊界條件結(jié)論：在邊界面上， 法向連續(xù)。 4、 的邊界條件 為分界面上自由電荷面密度。特殊地：若媒質(zhì)為理想介質(zhì)

25、，則 ,此時(shí)有 當(dāng)分界面上存在自由電荷時(shí)， 切向不連續(xù)，其不連續(xù)量等于分界面上面電荷密度。 當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在自由電荷時(shí)， 切向連續(xù)。 5、J的邊界條件 在理想介質(zhì)分界面上，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。二、理想介質(zhì)分界面上的邊界條件 在理想介質(zhì)分界面上， 矢量切向連續(xù) 在理想介質(zhì)分界面上， 矢量法向連續(xù)Boundary conditions Between two Perfect dielectrics 在理想導(dǎo)體內(nèi)部 ，在導(dǎo)體分界面上，一般存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。 式中： 為導(dǎo)體外法向。三、理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件 對(duì)于時(shí)變場(chǎng)中的理想導(dǎo)體，電場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相垂直，磁場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相切

26、。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric 時(shí)變場(chǎng)的邊界條件包括四個(gè)關(guān)系式?？梢宰C明它們并不是相互獨(dú)立的，當(dāng)滿足兩個(gè)切向分量的邊界條件的，必定滿足兩個(gè)法向分量的邊界條件。說(shuō)明： 在理想介質(zhì)的分界面上，用于定解的邊界條件為 ，分析電磁波在理想介質(zhì)分界面上的反射和透射時(shí)就要使用這個(gè)邊界條件。 理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體只是理論上存在。在實(shí)際應(yīng)用中，某些媒質(zhì)導(dǎo)電率極小或者極大，則可視作理想介質(zhì)或理想導(dǎo)體進(jìn)行處理。 在理想介質(zhì)與理想導(dǎo)體的分界面上，用于定解的邊界條件為 或 。分析電磁波在理想導(dǎo)體表面上的反射時(shí)就要

27、使用這個(gè)邊界條件。同軸線橫截面如圖2-9（a）所示。設(shè)通過(guò)直流I,內(nèi)外導(dǎo)體上電流大小相等，方向相反。求各區(qū)中的H和H,并驗(yàn)證各分界處的邊界條件。 例 在直流情形下內(nèi)外導(dǎo)體中電流密度是均勻的,分別為解（2）（3） 以上H結(jié)果證明表2-1中的麥?zhǔn)戏匠探M式(b)處處成立。下面再驗(yàn)證邊界條件: （4） 例 2 .6 設(shè)平板電容器二極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為3 V/m, 板間媒質(zhì)是云母, r=7 .4, 求二導(dǎo)體極板上的面電荷密度。 解 參看圖2-9(b), 把極板看作理想導(dǎo)體, 在A , B板表面分別有 例：在z=0和z=d位置有兩個(gè)無(wú)限大理想導(dǎo)體板，在極板間存在時(shí)變電磁場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)該時(shí)變場(chǎng)相伴

28、的磁場(chǎng)強(qiáng)度 ；(2)導(dǎo)體板上的電流分布。例題解：(1)由麥克斯韋方程(2)由邊界條件在下極板上：在上極板上： 時(shí)變場(chǎng)中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激勵(lì)，能量不斷轉(zhuǎn)換，在這個(gè)過(guò)程中，電磁能量從一個(gè)地方傳遞到另外的地方。一、坡印廷定理 坡印廷定理描述了空間中電磁能量守恒關(guān)系。2-5 坡印廷定理和坡印廷矢量Poyntings theorem the Poyntings vectorThe energy and flow of energy in the time-varying fields 利用矢量函數(shù)求導(dǎo)公式，在線性、均勻、各向同性的媒質(zhì)中，有坡印廷定理微分形式說(shuō)明： 單位時(shí)間單位體積內(nèi)流出的電磁能量； 單

29、位時(shí)間單位體積內(nèi)電場(chǎng)能量減少量； 單位時(shí)間單位體積內(nèi)磁場(chǎng)能量減少量； 單位體積內(nèi)轉(zhuǎn)化為焦耳熱能的電磁功率；將坡印廷定理微分形式在一定體積內(nèi)進(jìn)行積分，得坡印廷定理積分形式說(shuō)明： 表流出閉合面S的電磁功率； 單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)電場(chǎng)能量增加量；坡印廷定理物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，體積V中減少的電磁能量等于流出體積V的電磁能量與體積V內(nèi)損耗的電場(chǎng)能量之和。 單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)磁場(chǎng)能量增加量； 單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)損耗的電場(chǎng)能量 表示流出閉合面S的電磁功率，因此 為一與通過(guò)單位面積的功率相關(guān)的矢量。 定義：坡印廷矢量（用符號(hào) 表示）注：坡印廷矢量也稱能流密度矢量。二、坡印廷矢量 坡印廷矢量的大小表示單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量。坡印廷矢量的方向即為電磁能量傳播方向。討論:1、若 為與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)