第五章 線性二次型最優(yōu)控制-1126

1、線性二次型最優(yōu)控制(1/12)第5章 線性二次型最優(yōu)控制對(duì)于最優(yōu)控制問(wèn)題, 極大值原理很好地描述了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制解的存在性。但對(duì)于復(fù)雜的控制問(wèn)題,如非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題、系統(tǒng)模型與性能指標(biāo)函數(shù)對(duì)控制量u(t)不為連續(xù)可微的控制問(wèn)題, 其最優(yōu)控制規(guī)律存在性確定有很多困難(kn nn), 如非線性常微分方程求解最優(yōu)控制的非平凡性問(wèn)題,會(huì)帶來(lái)閉環(huán)控制系統(tǒng)工程實(shí)現(xiàn)時(shí)困難性, 難以得到統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔的最優(yōu)控制規(guī)律的表達(dá)式。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(2/12)然而，對(duì)于(duy)線性系統(tǒng), 若以狀態(tài)變量x(t)和控制變量u(t)的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)泛函, 這種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題稱為線性系

2、統(tǒng)的最優(yōu)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題,簡(jiǎn)稱為線性二次型問(wèn)題，則有很多好的性質(zhì)。該類問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)是能得到最優(yōu)控制解u*(t)的統(tǒng)一解析表達(dá)形式和一個(gè)簡(jiǎn)單的且易于工程實(shí)現(xiàn)的最優(yōu)狀態(tài)反饋律。因此, 線性二次型問(wèn)題對(duì)于從事自動(dòng)控制研究的理論工作者和工程技術(shù)人員都具有很大吸引力。近40年來(lái),人們對(duì)各種最優(yōu)狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)以及設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了多方面的研究,并且有許多成功的應(yīng)用。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(3/12)線性二次型問(wèn)題是最優(yōu)控制理論中發(fā)展最為成熟、最有系統(tǒng)性、應(yīng)用最為廣泛和深入的分支(fnzh)。本節(jié)將陸續(xù)介紹線性二次型問(wèn)題及其解的存在性、唯一性和最優(yōu)控制解的充分必要條件。線性系統(tǒng)的二

3、次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題可表述如下，共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(4/12)線性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題 對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 式中, x(t)是n維狀態(tài)向量, u(t)是r維控制向量, y(t)是m維輸出向量假定：A(t)，B(t)和C(t)分別是nn,nr和mn維的分段連續(xù)的時(shí)變矩陣。 假定系統(tǒng)的維數(shù)滿足0mrn, 且u(t)不受約束。z(t) 表示m維期望的輸出, 則定義(dngy)輸出誤差向量如下 e(t)=z(t)-y(t)共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(5/12)控制的目標(biāo)是尋找最優(yōu)控制函數(shù)u*(t), 使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小式中, F為mm 維非負(fù)定的常數(shù)矩陣

4、;Q(t)為mm 維時(shí)變的分段(fn dun)連續(xù)的非負(fù)定矩陣;R(t)為rr 維時(shí)變的分段連續(xù)的正定矩陣, 且其逆矩陣存在并有界;末態(tài)時(shí)刻tf 是固定的。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(6/12)下面對(duì)論上述性能指標(biāo)泛函:1) 性能指標(biāo)泛函Ju()中的第1項(xiàng)e(tf)Fe(tf),是為了突出對(duì)末態(tài)目標(biāo)的控制誤差的要求和限制(xinzh)而引進(jìn)的,稱為末端成本函數(shù)。非負(fù)定的常數(shù)矩陣F為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對(duì)誤差向量e(t)在末態(tài)時(shí)刻tf各分量的要求不同, 重要性不同。若矩陣F的第i行第i列元素值較大,代表二次項(xiàng)的重要性較大, 對(duì)其精度要求較高。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(

5、7/12)2) 性能指標(biāo)泛函Ju()中的被積函數(shù)中的第1項(xiàng)e(t)Q(t)e(t),表示在系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程中對(duì)誤差向量e(t)的要求和限制(xinzh)。由于時(shí)變的加權(quán)矩陣Q(t)為非負(fù)定的,故該項(xiàng)函數(shù)值總是為非負(fù)的。一般情況下,e(t)越大,該項(xiàng)函數(shù)值越大,其在整個(gè)性能指標(biāo)泛函所占的份量就越大。因此, 對(duì)性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了對(duì)誤差向量e(t)的大小的約束和限制。在e(t)為標(biāo)量函數(shù)時(shí),該項(xiàng)可取為e2(t),于是該項(xiàng)與經(jīng)典控制理論中判別系統(tǒng)性能的誤差平方積分指標(biāo)一致。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(8/12)非負(fù)定的時(shí)變矩陣Q(t)為加權(quán)矩陣,其各行各列元素的值的不同,體現(xiàn)了對(duì)相應(yīng)的誤差向量e

6、(t)的分量在各時(shí)刻(shk)的要求不同、重要性不同。時(shí)變矩陣Q(t)的不同選擇, 對(duì)閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(9/12)3) 性能指標(biāo)泛函Ju()中的被積函數(shù)的第2項(xiàng)u(t)R(t)u(t),表示在系統(tǒng)工作過(guò)程中對(duì)控制向量u(t)的要求和限制。由于時(shí)變的加權(quán)矩陣R(t)為正定的,故該項(xiàng)函數(shù)值在u(t)為非零向量時(shí)總是為正的。u(t)越大,該項(xiàng)函數(shù)值越大,其在整個(gè)性能指標(biāo)泛函所占的分量就越大。對(duì)性能指標(biāo)泛函求極小化體現(xiàn)了對(duì)控制向量u(t)的大小的約束和限制。注：如u(t)為與電壓或電流成正比的標(biāo)量函數(shù)時(shí),該項(xiàng)為u2(t),并與功率成正比, u2(t)dt則

7、與在t0,tf區(qū)間(q jin)內(nèi)u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(10/12)因此,該項(xiàng)是用來(lái)衡量控制功率大小的代價(jià)（成本）函數(shù)。正定的時(shí)變矩陣R(t)亦為加權(quán)矩陣, 其各行各列元素的值的不同, 體現(xiàn)了對(duì)相應(yīng)的控制向量u(t)的分量在各時(shí)刻(t)的要求不同、重要性不同。時(shí)變矩陣R(t)的不同選擇, 對(duì)閉環(huán)最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能的影響較大。綜上所述,可見(jiàn)線性系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)泛函的最優(yōu)控制問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于(ziy)用不大的控制量,來(lái)保持較小的控制誤差,以達(dá)到所耗費(fèi)的能量和控制誤差的綜合最優(yōu)。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(11/12)現(xiàn)在討論上述線性二次型問(wèn)題的幾種

8、特殊情況。1) 若令C(t)=I, z(t)=0,則x(t)=-e(t)。這時(shí), 線性二次型問(wèn)題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)樵搯?wèn)題轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使?fàn)顟B(tài)x(t)保持在零值附近(fjn), 稱為狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。2) 若令z(t)=0,則y(t)=-e(t)。這時(shí),線性二次型問(wèn)題的性能指標(biāo)泛函變?yōu)樵搯?wèn)題轉(zhuǎn)化成:用不大的控制能量,使輸出值y(t)保持在零值附近,稱為輸出調(diào)節(jié)器問(wèn)題。共五十四頁(yè)線性二次型最優(yōu)控制(12/12)3) 若z(t)0,則e(t)=z(t)-y(t)。這時(shí),線性二次型問(wèn)題為:用不大的控制能量,使輸出y(t)跟蹤期望信號(hào)z(t)的變化,稱為輸出跟蹤問(wèn)題。下面將陸續(xù)介紹狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)

9、題的求解方法，解的性質(zhì)以及最優(yōu)狀態(tài)反饋(fnku)實(shí)現(xiàn)，具體內(nèi)容為：時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器共五十四頁(yè)時(shí)變(sh bin)狀態(tài)調(diào)節(jié)器(1/3)5.1 時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題為:用不大的控制(kngzh)能量,使?fàn)顟B(tài)x(t)保持在零值附近的二次型最優(yōu)控制問(wèn)題。該問(wèn)題的描述如下;共五十四頁(yè)時(shí)變(sh bin)狀態(tài)調(diào)節(jié)器(2/3)有限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)器問(wèn)題 設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件為式中, 控制量u(t)不受約束。尋找最優(yōu)控制函數(shù)(hnsh)u*(t), 使下列二次型性能指標(biāo)泛函為最小式中,F和Q(t)為非負(fù)定矩陣;R(t)為正定矩陣;末態(tài)時(shí)刻tf是固定的。共五十四頁(yè)時(shí)變(sh bi

10、n)狀態(tài)調(diào)節(jié)器(3/3)由于所討論的系統(tǒng)為線性系統(tǒng), 給定(i dn)的性能指標(biāo)泛函對(duì)狀態(tài)變量x(t)和控制量u(t)均連續(xù)可微, 因此,狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題可用變分法、極大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法中的任一種求解。本節(jié)采用變分法給出最優(yōu)控制解存在的充分必要條件及最優(yōu)控制問(wèn)題解的表達(dá)式, 討論最優(yōu)控制解的存在性、唯一性等性質(zhì)及解的計(jì)算方法。內(nèi)容為：最優(yōu)控制的充分必要條件矩陣P(t)的若干性質(zhì)最優(yōu)控制的存在性與唯一性共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分必要條件(b yo tio jin)(1/10)定理141. 最優(yōu)控制的充分必要條件定理(dngl)14(有限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)器) 對(duì)于有限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)器問(wèn)題,為其最優(yōu)控制的

11、充分必要條件是相應(yīng)的最優(yōu)軌線為狀態(tài)方程的解,而最優(yōu)性能值為式中, P(t)為下述矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰恼ɑ虬胝ń?共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(2/10)證明 1）必要性證明。若u*(t)是最優(yōu)控制,需要證明由于系統(tǒng)性能指標(biāo)泛函的宗量為x(t), u(t) 和x(tf) 。將有限時(shí)間LQ調(diào)節(jié)器問(wèn)題(條件極值問(wèn)題)化為無(wú)條件極值問(wèn)題。引入維向量(xingling)拉格朗日算子, 性能指標(biāo)函數(shù)為共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(3/10)因而該優(yōu)化問(wèn)題就變?yōu)閷?duì)上述相對(duì)(xingdu)于求極值問(wèn)題。定義哈密頓函數(shù)則式(167)可以進(jìn)一步表示為共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的

12、充分(chngfn)必要條件(4/10)根據(jù)(gnj)極值的必要條件J=0,可以求得以及極值條件共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(5/10)由極值條件(173)得最優(yōu)控制律為注意到狀態(tài)方程和協(xié)態(tài)方程及其終端條件均為線性,因此,(t)和x(t), 之間必定為線性關(guān)系,可以表示(biosh)為由上述兩式可以得到u(t)的最優(yōu)解。其中矩陣P(t)滿足規(guī)范方程,可由規(guī)范方程解出。求解方法如下：共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(6/10)對(duì)方程(175)求導(dǎo)數(shù)得由方程(171), 又有比較(bjio)上述兩式,可以求得矩陣P(t)是矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰膶?duì)稱正定或半正定解。

13、因此,證明了定理的必要性。共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(7/10)2) 充分性證明(zhngmng)。已知,欲證u*(t)為最優(yōu)控制。引入如下等式共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(8/10)進(jìn)而,利用(160)和(166),上式可以進(jìn)一步表示為對(duì)上述(shngsh)方程進(jìn)行配方得共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(9/10)由于P(tf)=F,可以導(dǎo)出這表明,當(dāng)u=-R-1BPx時(shí),性能指標(biāo)將取最小值即u*=-R-1BPx為最優(yōu)控制。于是(ysh),定理的充分性得以證明。 共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的充分(chngfn)必要條件(10/10)上述具有充

14、分必要的最優(yōu)控制實(shí)際上是一個(gè)線性狀態(tài)反饋,因此,可以將線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制表示成如圖6所示的狀態(tài)反饋形式(xngsh),其閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為圖6 線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器上述結(jié)論是線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)論, 當(dāng)系統(tǒng)是線性定常的時(shí)候,上述結(jié)論仍然成立, 而且計(jì)算還要簡(jiǎn)單。共五十四頁(yè)矩陣P(t)的若干(rugn)性質(zhì)(1/3)2. 矩陣P(t)的若干性質(zhì)對(duì)黎卡提微分方程的解P(t),有如下性質(zhì)。1) P(t)是黎卡提微分方程末值問(wèn)題的解, 與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)(wgun)。當(dāng)在區(qū)間t0,tf內(nèi), A(t)、B(t)、R(t)和Q(t)為分段連續(xù)的時(shí)間函數(shù), R(t)為正定且其逆矩陣有界, Q(t)

15、矩陣為非負(fù)定時(shí),則根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論, P(t)的解在區(qū)間t0,tf內(nèi)唯一存在。共五十四頁(yè)矩陣P(t)的若干(rugn)性質(zhì)(2/3)2) 對(duì)于任意tt0,tf, P(t)是對(duì)稱(duchn)矩陣。事實(shí)上,將黎卡提微分方程和邊界條件的兩邊作轉(zhuǎn)置,并考慮到R(t), Q(t)和F都為對(duì)稱矩陣, 則有因此,矩陣P(t)及其轉(zhuǎn)置P(t)滿足同一個(gè)矩陣微分方程和邊界條件。根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論,則對(duì)任意tt0,tf,有P(t)=P(t),即P(t)是對(duì)稱的。共五十四頁(yè)矩陣P(t)的若干(rugn)性質(zhì)(3/3)3) 于矩陣P(t)的對(duì)稱性,則nn維的黎卡提矩陣微分方程實(shí)質(zhì)上

16、是一個(gè)由n(n+1)/2個(gè)非線性標(biāo)量(bioling)微分方程組成的微分方程組。因此, 求解P(t), 只要求解n(n+1)/2個(gè)非線性微分方程即可。共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(1/13)定理153. 最優(yōu)控制的存在性與唯一性對(duì)于一般的最優(yōu)控制問(wèn)題,論證最優(yōu)控制解的存在性是很困難的,但對(duì)于最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題,可以證明最優(yōu)控制解的存在性和唯一性。對(duì)此,有如下定理。定理15 對(duì)線性時(shí)變(sh bin)系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題,當(dāng)tf 0。試求其最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)(zhungti)軌線。解 由定理14,可以求出該問(wèn)題的最優(yōu)控制為式中, p(t)是如下黎卡提微分方程及邊界條件的解共

17、五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(6/13)由上述微分方程可知, p(t)的解滿足(mnz)積分上式,可得 其中共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(7/13)最優(yōu)狀態(tài)(zhungti)軌線為下列一階時(shí)變微分方程的解 于是得共五十四頁(yè)最優(yōu)狀態(tài)軌線為對(duì)上述線性定常系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問(wèn)題,其最優(yōu)狀態(tài)反饋(fnku)律和閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程都呈現(xiàn)時(shí)變的性質(zhì)。最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(8/13)圖7 狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖這是最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器在tf的一個(gè)重要性質(zhì)。圖7是例11的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)構(gòu)圖。圖中信號(hào)p(t)是對(duì)黎卡提微分方程進(jìn)行電子電路模擬的結(jié)果,其初始信號(hào)p(0

18、)是對(duì)黎卡提微分方程的解在t=0時(shí)的值。共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(9/13)圖8(a)表示在a=-1,f=0,tf=1,x(0)=1和q=1時(shí),以r為參數(shù)的一組最優(yōu)狀態(tài)軌線x(t)。當(dāng)r很小時(shí)，即控制的價(jià)值在性能指標(biāo)中不太重要,狀態(tài)x(t)（比重大）將迅速被控制到零值;當(dāng)r很大時(shí)，即控制的價(jià)值較重要,狀態(tài)x(t)（比重(bzhng)小）將由于控制量投入得小, 則衰減得很慢。圖8 不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(10/13)圖8(b)表示以r為參數(shù)的一組最優(yōu)控制u(t)的曲線。可見(jiàn)隨著r的減小,在控制區(qū)間0,1的開(kāi)始階段

19、(jidun), 控制量u(t)增大當(dāng) r0 時(shí),控制將逐漸變成在 t=0 時(shí)刻的脈沖信號(hào)圖8 不同 r 值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(11/13)圖8(c)表示以r為參數(shù)時(shí),黎卡提微分方程的解p(t)的一組曲線?？梢?jiàn)隨著r的減小,在控制區(qū)間0,1的開(kāi)始階段,p(t)幾乎為一常數(shù)(chngsh);當(dāng)r很小時(shí), p(t)僅在控制區(qū)間的最后階段才呈現(xiàn)時(shí)變的性質(zhì)。圖8 不同r值最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器各變量變化軌跡 共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(12/13)圖9表示在 a=-1, q = r =1, f 取0或1的情況下,以tf為參數(shù)時(shí)黎卡提微分方程的解 p(t) 的一組曲線。這些曲線表明, 隨tf的增長(zhǎng),函數(shù)p(t)的前面部分趨于同一個(gè)穩(wěn)態(tài)值,其時(shí)變值僅在后面很小的時(shí)間段內(nèi)呈現(xiàn),而且該穩(wěn)態(tài)值與末端(m dun)條件無(wú)關(guān)。圖9 不同末端時(shí)刻p(t)曲線這一事實(shí)可用如下數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)說(shuō)明。共五十四頁(yè)最優(yōu)控制的存在(cnzi)性與唯一性(13/13)