[理學(xué)]第十章曲線積分與曲面積分

1、i 1n1第十章 曲線積分與曲面積分第一節(jié) 對弧長的曲線積分教學(xué)目的： 了解對弧長曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對弧長曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)： 弧長曲線積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)： 弧長曲線積分的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：一、對弧長曲線積分的概念與性質(zhì)1 曲線形構(gòu)件質(zhì)量設(shè)一構(gòu)件占 xoy面內(nèi)一段曲線弧 L ，端點(diǎn)為求構(gòu)件質(zhì)量 M 。解（ 1）將 L 分割 si i 1,2, , ni（2） ( xi , yi )n（3） M1si， M i ( xi , yi ) six i , yi siA, B ，線密度 ( x, y) 連續(xù)yBAo x圖 10-1-1n（4） M lim0 ( xi , yi )

2、 si2 定義 L 為 xoy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，分成 n 小段 Si，任取一點(diǎn) ( i , i )f ( i , i ) Si ，令 max s1 ,i1m a x s1 , s2 , , sn f (x , y) 在 L 上有界， 用 M i將 LSi i 1,2,3., n ， 作和s2 , , sn ，當(dāng) 0 時(shí)，11L i 1ii2nlim0 f ( i , i) Si 存在，稱此極限值為 f (x , y) 在 L 上對弧長的曲線積n分（第一類曲線積分）記為 f (x, y)ds l i m0 f (i ,i S) i注意： （1）若曲線封閉，積分號 f ( x, y)ds（2）

3、若 f (x , y) 連續(xù)，則 f ( x, y )ds存在，其結(jié)果為一常數(shù) .L（3）幾何意義（4）物理意義f ( x, y) =1，則LM = (x, y)dsL（5）此定義可推廣到空間曲線f (x, y )ds=L （L 為弧長）nf (x, z, y)ds= lim0 f ( i , i , i ) Si（6）將平面薄片重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推廣到曲線弧上xds yds zds重心： x L ， y L ， z L 。M M M轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： I x y 2 ( x, y)ds， I y x2 (x , y)ds，L LIo (x 2 y 2 ) (x, y)dsL（7）若規(guī)定 L 的方向是由

4、A 指向 B，由 B 指向 A 為負(fù)方向， 但 f (x , y )ds L與 L 的方向無關(guān)3對弧長曲線積分的性質(zhì)a：設(shè) L L1b： f (x , y)LL2 ，則 f ( x, y)ds= f (x , y)ds + f ( x , y)dsL L1 L2g(x, y)ds= f (x , y)ds g x, y dsL Lc： kf (x, y)ds = k f ( x, y)ds。L L二、對弧長曲線積分的計(jì)算db3定理 設(shè) f ( x, y) 在弧 L 上有定義且連續(xù)， L 方程（ t ）， (t), (t)在 , 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 2 (t) 2 (t)f ( x, y)d

5、s存在，且 f (x , y)ds= f (t), (t)L L L說明：從定理可以看出（ 1） 計(jì)算時(shí)將參數(shù)式代入 f ( x , y)， ds , 上計(jì)算定積分。（2） 注意：下限 一定要小于上限 ， 0）（3） L： y ( x) , a x b 時(shí)，f ( x, y)ds= a f x, (x) 1 (x) 2 dxL同理 L： x ( y)， c y d 時(shí)，f ( x, y)ds= c f ( y), y 1 ( y) 2 dyL(4) 空間曲線 P： x (t )， y (t )， zx (t)y (t)0，則曲線積分2 (t) 2 (t )dt 。2 (t)2 (t )dt ，

6、在（ Si恒大于零，(t )，f ( x, y)ds= f (t), (t), (t) 2 (t)P例 1 計(jì)算曲線積分 yds，其中 L 是第一象限內(nèi)從點(diǎn)L單位圓弧解 ( ) L： y 1 x 2 0 x 12 (t ) 2 (t) dtA(0,1) 到點(diǎn) B(1,0) 的yAoBx1 x 2220121L23oL 2 1 y 21 y0 2 21 13 2計(jì)算 e dsx2 y2x2 y2 a xx4ds 1 dx y ds = L1 x2dx1 xdx1 x2dx 1( ) 若 L 是象限從 A(0,1) 到 B( ,（ 1） y ds = yds + y dsAB BB1=021 x2

7、dx +1 x11221 x) 的單位圓弧yAdx1 x 2BxB= dx + 1 dx = 3(2) 若 L： x 1 y2 (yds = 3 dy =圖 10-1-332032yy 1 ) dsdy + 1 y 21031 dyyy 2 dy1 y 2 1 y 22 dy 21 y(3) L： x cost， y sin t ds ( sin t ) 2 cos2 t dt dtt，L yds = 23 sin t dt = 02 sin tdt 03 sin tdt 例 2 L L： r a 0 4 所圍成的邊界解 L OA AB BO 在 OA 上 y 0 ， 0 x a ds dxe

8、 ds= e dx ea 1OA 04Laa a2aa 22a222 0 222 2x aasin 2 adsx 2 y2 rd) 圖 10-1-52x r cosy r sin解2a5在 AB 上 r a 0AB e x 2 y 2 ds = 04 eaad在 OB 上 y x dsds adx4a ea2dx x2 y 2 2xyBAo x圖 10-1-4例 3 計(jì)算 L x 22ae x 2 y2 ds= 2 e 2x 2xdx ea 1OB 0Le x2 y2 ds= 2(eay2 ds L： x2a1) + ea 4y 2 axyoL： r a cos (a cos ， ds a c

9、os 2 x 2y 2 ds = 2 a cos ad = a2 sin 2 = 2a22 2x cos ,或 2 2 0 2 x 2y sin .y21 cos2ds ( sin )L2x2 y 2 ds = 0a1 cos2( sina d) 2 d = a d= cos d = 2a2xds =OA 0yyx812 32 122 16例 4 xdsL解 L = OA OAL OxAds +L： y交點(diǎn)1xds =x y x 2 圍成區(qū)域的整個(gè)邊界y1(0,0) x2x 2dx + 0 x2(1,1)1 4x dxoAx2=21x2 +0231( 1 4x ) =0+ (5 5 1) 圖

10、10-1-6小結(jié)1. 對弧長曲線積分的概念和性質(zhì)，2. 對弧長曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用作業(yè)1i7第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分教學(xué)目的： 了解對坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)： 對坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)： 對坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：一、對坐標(biāo)的曲線積分定義和性質(zhì)1引例 變力沿曲線所作的功。設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在 xoy面內(nèi)從點(diǎn) A 沿光滑曲線弧 L 移到點(diǎn) B ，受力F ( x, y) P(x, y) i Q( x, y) j ，其中 P， Q 在 L 上連續(xù)。求上述過程所作的功解 （1）分割 先將 L 分成 n個(gè)小弧段 M i 1M i (i 1,2, , n)

11、(2) 代替 用 M i 1 M i xi i yi j 近似代替 M i 1 M ixi xi xi 1， yi yi yi 1 ( i , i ) M i 1 M iF ( x, y) P(x, y) i Q( x, y) j 近似代替 M i 1 M i 內(nèi)各點(diǎn)的力，則F ( x, y) 沿 M（3） 求和（4）取極限wi 1M i 所 做的功 winw P( i , i ) xii1令 max M i 1 M inlim0 P( i , i ) xiF ( i , i ) M i 1 M iQ( i , i ) yi 的長度 i 1,2, , nQ( i , i ) yi 2 定義 設(shè)

12、 L 為 xoy面內(nèi)從點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)P( x, y),Q( x , y)在 L 上有界 .在 L 上沿 L 的方向任意插入一點(diǎn)列i HYPERLINK l _bookmark2 18M i 1 (xi 1 , yi 1 ) (i 1,2,M i 1 M i (i 1,2, , n; M 0, n) 把 L 分成 n個(gè)有向小弧段A, M n B)設(shè) xi xi xi 1 , yi yi yi 1， 點(diǎn) ( i , i ) 為M i 1 M i上任意取n定的點(diǎn) .如果當(dāng)個(gè)小弧段長度的最大值 0 時(shí)， P( i , i ) xi 的極i1限總存在，則稱此極限為函數(shù) P(

13、 x, y) 在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo) x 的曲n線積分， 記作 L P( x, y) dx .類似地， 如果 Q( i , i ) yi 的極限值總存i1在，則稱此極限為函數(shù) Q( x , y) 在有向曲線弧 L 上對坐標(biāo) y 曲線積分，記作 L Q( x , y) dy .即L P( x, y)dxL Q (x .y)dy lim0說明 （ 1）當(dāng)L Q (x , y)dy 存在nlim0 P( i , i ) xi ，n Q( x , y) yii HYPERLINK l _bookmark1 1P(x , y) Q(x , y) 在 L 上連續(xù)時(shí)，則 L P( x, y)dx，（ 2

14、）可推廣到空間有向曲線 上（3） L 為有向曲線弧， L 為 L 與方向相反的曲線，則L P( x , y)dx = L P( x, y)dx，L Q(x , y)dy = L Q( x, y)dy（ 4）設(shè) L = L1 L2 ，則LL9Pdx Qdy =L Qdy +1 Pdx2 Pdx Qdy此性質(zhì)可推廣到 L = L1 L2 Ln 組成的曲線上。二、計(jì)算定理 設(shè) P( x, y)， Q(x , y) 在 L 上有定義，且連續(xù) , L 的參數(shù)方程為當(dāng) t 單調(diào)地從 變到(t), (t ) 在以 ，x (t ),y (t),時(shí)，點(diǎn) M (x , y) 從 L 的起點(diǎn) A 沿 L 變到終點(diǎn)

15、B ，且為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且2 (t) 2 (t) 0 ，則L P( x , y)dxL P( x , y)dx Q( x , y)dy = P (t ),注意 （ 1） ： L 起點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)，小于（ 2）若 L 由 y y(x)給出L Pdx Qdy（3） 此公式可推廣到空間曲線Q( x, y)dy存在，且(t) (t ) Q (t ), (t) (t) dt： L 終點(diǎn)對應(yīng)參數(shù) 不一定L起點(diǎn)為 ，終點(diǎn)為 P x , y(x) Q x, y( x) y ( x)dx.： x (t)， y (t )， z (t )Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t ) (t

16、) Q (t ), (t), (t ) (t )R (t ), (t ), (t) (t) dt： 起點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)， ： 終點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)例 1 計(jì)算： L (2a y) dx (a y) dy L ：擺線 x a(t sin t )，11 11 202 1 cos 2t202= 2 4 2 01 1 110y a(1 cost) 從點(diǎn) O(0, 0) 到點(diǎn) B(2 a ,0) 。解 原式= 2a a(1 cost )a(1 cost ) a a(1 cost )a sin t dt0 a(1 cost )a(1 cost) a 2 cost sin t dt= a 2 ( 0 a 2 a(1 co

17、st) a 2 cost sin tdt )2= a 2 ( t sin 2t sin 2 t) a 2L (2a y)dx ( a y) dy a 2例 2 L xy 2 dx ( x y)dy L：（1）曲線 y x2 （2）折線 L1 L 2 起點(diǎn)為(0 ,0) ，終點(diǎn)為 (1,1) . y解（ 1）原式 = 0 x x4 (x x2 )dx = （2） 原式 = L L = 0 ydy xdx=1 o x故一般來說，曲線積分當(dāng)起點(diǎn)、終點(diǎn)固定時(shí)，與路徑有關(guān) 圖 10-2-1練習(xí)1 計(jì)算 (1) L x 2dy 2xydx.， 其中 L 為（1）的拋物線 y x2 上從 O(0 ,0) 到

18、 B(1,1) 一段弧。 （2）拋物線 x y2 上從 O(0,0)到 B(1,1) 的一段弧。 （3）有向折線 DAB ，這里 O , A, B 依次是點(diǎn) (0 ,0)， (1,0)， (1,1)結(jié)論：起點(diǎn)，終點(diǎn)固定，沿不同路徑的積分值相等。2 計(jì)算 x 3dx 3zy 2dy x2 ydz 從點(diǎn) A(3,2,1) 到點(diǎn) B(0,0 ,0) 的直線段AB3 兩類曲線積分的關(guān)系設(shè)有向曲線弧 L 的起點(diǎn) A 終點(diǎn) B 取弧長 AM s為曲線弧 L 的參其中 cos sinds ，dsdydx P x(s), y(s) cosQ x(s), y(s) sin dsds dsdx dyQ x( s)

19、, y( s) ds= 0 P x(s), y(s)Pdx QdyllLRdz = (Pcosl11數(shù)。 AB l 則x x(s) y y(s)若 x( s), y(s) 在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，0 s lP , Q 在 L 上連續(xù)，則yLMLA=o圖 10-2-20是 L 的切線向量的方向余弦，且切線向量與L 的方向一致，又BxL (P cos Q sin )ds = 0 P x(s), y(s) cos Q x(s), y( s) sin ds L Pdx Qdy = L (Pcos Qsin )ds同理對空間曲線 ：Pdx Qdy, , 為A drL Q cos Rcos )ds在點(diǎn) (

20、 x, y , z) 處切向量的方向角，用向量表示：A tdsA P, Q, R， t cos ,cos ,cos 為 P 上 ( x, y , z) 處的單位切向量，dr tds dx, dy, dz 為有向曲線元小結(jié)：1.對坐標(biāo)的曲線積分概念和性質(zhì)2. 對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 3.兩類曲線積分的關(guān)系作業(yè)：Pyb b212第三節(jié) Green 公式教學(xué)目的： 理解和掌握 Green 公式及應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)： Green 公式教學(xué)難點(diǎn)： 格林公式的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：一、 Green 公式1單連通區(qū)域。設(shè) D 為單連通區(qū)域，若 D 內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于 D 。稱 D 為單連 lyL通區(qū)域（不含洞）

21、 ，否則稱為復(fù)連通區(qū)域（含洞） 。 x規(guī)定平面 D 的邊界曲線 L 的方向，當(dāng)觀測者沿L 行走時(shí)， D 內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊，如右圖圖 10-3-1定理 1 （格林公式） 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成， 函數(shù) P(x , y)和 Q(x , y) 在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有(D證Qx對既為L2：=L1：)dxdy = L Pdx Qdy 。 yPX 型又為 Yy 2 ( x) dxdy = D y P x1 , 2 ( x)b 2 ( x)P型區(qū)域連續(xù)，ya dx 1 ( x )P x1 , 1y 1 (x) 又=PdxLL 為 D 的取正向的邊界曲線。yLL

22、1P( x , y) dy o a b x(x )dx 圖 10-3-2Pdx PdxL L1 2a P x1 , 1 (x )dx + a P x1 , 2 ( x)dxPaD yQy a sin 3 tx y13D=y dxdy LPdxb Px1 , 1 (x) P x1 , 2 (x ) dx對于 Y 型區(qū)域，同理可證 dxdy =Qdx 原式成立L對于一般情況，可引進(jìn)輔助線分成有限個(gè)符合上述條件區(qū)域，在D1 , D2 , D3 , D4 上應(yīng)用格林公式相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證。圖 10-3-3幾何應(yīng)用： 在格林公式中，取 P y , Q x， 2 D dxdy =

23、L xdy ydx例 1解例 2解A1 A2L xdy ydx說明： （ 1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立（2）記法 L xdy ydx = D dxdy（3）在一定條件下用二重積分計(jì)算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計(jì)算二重積分。（4）幾何應(yīng)用。計(jì)算 C ( y x)dx (3x y)dy L： ( x 1) 2 ( y 4) 2 9原式 = D (3 1)dxdy 18 ，3， 1Q Px y計(jì)算星形線 x acos3 t 圍成圖形面積 (0 t 2 ) L xdy ydx (a cos3 t 3asin 2 t cost a sin 2 t 3a cos2 t sin t)dtL

24、3 2 5 yL22 22 5 (1,1)LyPxQ143 a 2=8二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件1 曲線積分與路徑無關(guān)：是 G 為一開區(qū)域， P( x, y),Q(x , y)在 G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若 G 內(nèi)任意指定兩點(diǎn) A, B 及 G 內(nèi)從 A 到 B 的任意兩條曲線 L1 , L2Pdx Qdy Pdx QdyL1 L2恒成立，則稱 Pdx Qdy 在 G 內(nèi)與路徑無關(guān)。否則與路徑有關(guān)。例 1 L (x y)dx ( x y)dy L1 ：從 (1,1) 到 (2,3) 的折線 ； L2 ：從 (1,1) 到 (2,3) 的直線解 L1 Pdx Qdy = 1 (2 y)

25、dy 1 (1 x)dx 2 3 (2,3)L2： y 3 2( x 2) ,即 y 2x 1 L1L (x y)dx (x y)dy = 1 ( x 2x 1) 2(1 x)dx o x圖 10-3-4定理 2 設(shè) P( x, y)， Q( x, y)在單連通區(qū)域 D 內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件相互等價(jià)（ 1）內(nèi)任一閉曲線 C， C Pdx Qdy = 0 。（2）對內(nèi)任一曲線 L， Pdx Qdy 與路徑無關(guān)（3）在 D 內(nèi)存在某一函數(shù) (x , y) 使 d ( x , y) Pdx Qdy 在 D 內(nèi)成立。（4），在 D 內(nèi)處處成立。L( x0 , y0 )15證明 （1）

26、（2） 在 D 內(nèi)任取兩點(diǎn) A, B ，及連接 A, B 的任意兩條曲線 AEB， AGB C由（ 1）知即 PdxAGB AGB PdxAGBPdxCQdy +BEABGA 為 D 內(nèi)一閉曲線Qdy，Pdx Qdy = 0Qdy =BEAPdx QdyyEAo圖 10-3-5BGx（2） （3）若（ x0 , y0 ）點(diǎn)，終點(diǎn)為Pdx Qdy 在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)固定在( x , y)后，則( x , y)Pdx(x0 , y0 ) Qdy是 x, y 的函數(shù)，記為u( x, y) 。下證 u( x, y) = ( x , y) Pdx Qdy 的全微分為du (x , y) = P

27、dx Qdy 。 P( x , y)， Q( x, y) 連續(xù)，只需證uP( x, y)， xyu Q (x , y)，由定義 uxu(x x , y)u( x l0( x x, y)( x0 , y0 )x) u( x, y) xPdx Qdy = u( x , y) +( x, y )x x(x x , y)Pdx Qdy= u(x , y) + x Pdx u( x x, y) u( x, y) =x xx Pdx= P x， PyM(x,y)M0 (x0 ,y0)o圖 10-3-6N(x+ x,y)xP( x x , y)y xP Qx yu uC1 20 x y16(0 1)即 P(

28、 x, y) ， 同理 Q( x, y) 。（3） （4）若 du( x, y) = Pdx Qdy ，可證 = ， PPyP 故y（4）PQ，x yxQ=xy xQ， 由 P , Q 具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)D 內(nèi)任一閉曲線， D 為 C 所圍成的區(qū)域。（ 1）設(shè) C 為QxP)dxdy = 0 。 y(D2P ， Qxux y2Qyu y xPdx Qdy =例 2 曲線積分 I L (ey x)dx ( xex(1,2) 點(diǎn)的圓弧。解 令 P ey x， Q xey 2y ，則Pyey I 與路徑無關(guān)。取積分路徑為 OA AB 。I OA Pdx Qdy + AB Pdx Qdy= (1 x

29、)dx 0 (ey 2y)dy = e22y)dy， L 為過 (0, 0)， (0 ,1) 和Qxyey ，Bo圖 10-3-772A x例 3 計(jì)算 C xdy2 yd2x， （1） c為以 (0, 0) 為心的任何圓周。xP2 2x yx=QyPQC(x , y)x yC Cr( x, y)17解 （1）令Pyx2y 2 ( x2y y 2x2y )（2） c為以任何不含原點(diǎn)的閉曲線。， Q 2 2 ，Q y2x (x 22 2，x2y )yo x在除去 (0 ,0) 處的所有點(diǎn)處有Py圖 10-3-8，作以 0 為圓心， r 為半徑作足夠x小的圓使小圓含在 C 內(nèi)， Pdx Qdy =

30、 0 ，即C Pdx Qdy d = 2 0（2） = C Pdx Qdy 0 x2 二元函數(shù)的全微分求積 Pdx Qdy 與路徑無關(guān)，則 Pdxu( x , y) =( x0 , y0 )Pdx Qdyx= Pdx0注： u(x ,y0yQdy + Pdx Qdyy) 有無窮多個(gè)。Qdy 為某一函數(shù)的全微分為y ( x, y)(x0 ,y0 )o x圖 10-3-9例 4 驗(yàn)證： (2x sin y)dx xcos ydy 是某一函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)y原函數(shù)。解 令 P 2x sin y， Q xcos yQ cos y， P cosy o 原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取(x.0)

31、 x圖 10-3-10ym3y2 ex，=Pdx Qdy = 0 2xdx(0 ,0)231 y 2 f ( x, y) xy y4L , dx L 2 y2 f (x , y)dy，y B2 21 12 4218( x0 , y0 ) (0,0)，u( x, y) ( x , y) x 0y x cos ydy= x2 x sin y例 5 計(jì)算 C ( y3 ex my)dy (3y 2ex m)dy， c為從 E 到 F 再到 G，F(xiàn)G 是半圓弧解 令 P y3ex my， Q 3y 2ex myF(2,1)Py3y 2ex m， QQ Px yo E(1,0) G (3,0) x圖 1

32、0-3-11添加直線 GE ，則，原式 + GE pdx Qdy = D mdxdy= m 2 1( ) 2 = m(1 ) 原式 = (1 )m 13 0dx = m(1 4 )例 6 設(shè) f (x) 在 ( , ) 上連續(xù)可導(dǎo)，求1 y2 f ( x y) xy y C A其中為從點(diǎn) A(3, ) 到 B(1,2) 的直線段。 o x解 令 P ， Q 2 y 2 f ( x, y) 1 圖 10-3-12P 2yf ( x, y) xy2 f (x , y) y 1 y y 2y2 f ( x, y)x y yQ 1 2 x1 3 2 23 y23y 2 )nx 2 ( x2 y2 )n

33、y19y 2 f ( x, y) xy3 f ( x, y) 1y22 y f (x , y) 1 2 y 3 f (x , y)yy 2 f ( x, y) xy 3 f ( x, y) 12AC1dyBC ACPyxQ，故原積分與路徑無關(guān)，添+ 0 原式 = =CB AC3 y y 2 f (y)3 2 3 f ( 3 x) dxCB 構(gòu)成閉路， 原式1 323 14 f ( 2 x)dx 9 3 f ( y) 12 dyx練習(xí)1. 證明：若2 31u 3 x3222 f (u)du f ( y)dy 2 43f (u) 為連續(xù)函數(shù)，而 C 為無重點(diǎn)的按段光滑的閉曲線，則c f ( x2

34、y 2 )( xdx ydy) 0。2. 確定的 n值，使在不經(jīng)過直線 y 0 的區(qū)域上，Ix( x2cdx yc 2 dy與路徑無關(guān)，并求當(dāng) C 為從點(diǎn) (1,1) 到點(diǎn) B(0,2) 的路徑時(shí) I 的值。fL203 設(shè) f (x , y)， g ( x, y) 為 L 上的連續(xù)函數(shù)，證明L fdx gdy2 g 2 ds小結(jié)：1. 格林公式及應(yīng)用， 積分與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題， 全微分 求積。2. 格林公式使有些問題簡化，有時(shí)可計(jì)算不封閉曲線積分，只需添上一條線使之成為封閉曲線，再減去所添曲線的積分值即可。作業(yè)：1i21第四節(jié) 對面積的曲線積分教學(xué)目的： 理解和掌握對面積的曲線積分的概念

35、性質(zhì)及計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)： 對面積的曲線積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)： 對面積的曲線積分的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：一、概念和性質(zhì)1空間曲面質(zhì)量在對平面曲線弧長的曲線積分中，將曲線換為曲面，線密度換為面密度，二元函數(shù)換為三元函數(shù)即可得對面積的曲面積分。設(shè)有一曲面 S。其上不均勻分布著面密度為 S上的連續(xù)函數(shù) ( x, y , z) ，求曲面 S的質(zhì)量。經(jīng)分割，代替，求和，取極限四步，M lim0 f ( i , i , i ) Si2定義設(shè)曲面( i , i , i )nf ( i , i ,i1是光滑的， f ( x, y , z)在 上有界，把 分成 n小塊，任取Si ，作乘積 f ( i , i , ) Si (i

36、 1,2, , n) ，再作和i ) xi (i 1,2, , n) ，當(dāng)各小塊曲面直徑的最大值 0時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為第一類曲面，記 f (x, y, z)ds，即nf ( x, y , z) ds= lim0 f ( i , i , i )f (x , y , z) 在 上對面積的曲面積分或Si說明： （1） f (x , y , z)ds為封閉曲面上的第一類曲面積分（2）當(dāng) f ( x , y , z) 連續(xù)時(shí)， f ( x, y, z)ds 存在x y xz2 z 222（3）當(dāng) f ( x , y , z)為光滑曲面的密度函數(shù)時(shí)，質(zhì)量M f (x, y, z) ds（4）

37、 f ( x, y , z) =1 時(shí)， S ds為曲面面積（5）性質(zhì)同第一類曲線積分 1 2（6）若 為有向曲面，則 f ( x, y, z)ds與 的方向無關(guān)。二、計(jì)算定理 設(shè)曲面 的方程 z z( x, y)， 在 xoy 面的投影 Dxy ，若f ( x , y , z)在 Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在 上連續(xù)，則f ( x, y , z) ds= Dxy f (x, y, z(x, y) 1 z zdxdy說明 （ 1）設(shè) z z( x , y)為單值函數(shù)（ 2）若 ： x x( y, z) 或 y y( x, z) 可得到相應(yīng)的計(jì)算公式。（ 3）若 為平面里與坐標(biāo)面平行或重合時(shí)f

38、 ( x, y , z) ds= Dxy f (x, y ,0)dxdy例 1 計(jì)算 I ( x2 y 2 )ds， 為立體 x 2 y2 z 1的邊界解 設(shè) 1 2， 1 為錐面 z x2 y2 ， 0 z 1z2 為 z 1上 x2 y 2 1部分，1 , 2 在 x y 面投影為 x 2 y2 1o ydS1 1 dxdy = 2dxdy， dS2 dxdy圖 10-4-1 (1 x y) 2D21 1 xx y) 2 2)I1 2( x 2 y2 )ds1 + ( x2 y 2 )ds2 = D ( x2 y 2 ) 2dxdy( x y 2 )dxdy2 1= ( 21) (x 2

39、Dy 2 ) dxdy(12 ) d r 3dr1 02(12)例 2 計(jì)算 ds ， 由 x y z 1， x 0， y 0， z邊界解1： z由對稱性= = dydz01 1 z dy(1 y)21 2 3 4， 2： x 0， 3： y 0， 4： x y z 1ds ds 12 (1 x y) 2 3 (1 x y) 2 Dyoz (1 x y) 2= 0 dz 0 1 ln 2 。1 1 x0dx 0ds1 (1 x y) 2dy(1 x y) 2ds4 (1 x y)2= =21dsDx y (1 x y)2ln 2= =3dxdyDx y (1 x y) 2230 的0 dx 0

40、 (1原式3dxdyx y) 2=1 23( ln 23 4(112ds = 2(1 ln 2） + （ ln 2 1 ） +21= 4 2 d r 2 sin 1xy x yz2 z2xy12215 u 12 1 1 4 20 2 0=0 32 32110 420tg 124（ 3( ln 2 ) ） = ( 3 1) ln 2例 3 計(jì)算 xyzds， 為 x 2 y23 32z2 被平面 z 1 所割得部分解 設(shè)第一象限內(nèi)的部分為 1 ： x 0， yxyzds = D xyz 1 dxdydz=4 D xyz 1 4x2 4y2 dxdy0 0 cos r 2 4r 2 rdr =0，

41、 x2 y 2 z4( sin 21 4r 2或 r 1 tg) ( r 1 4r2u 1 u ( 4 ) 2tg102 116tg 4sec3dr 2 ）43 (u2u 2 241 2tg125 5 11) 2 du =420sec2 d2tg1 1 tg 5 sec3 d = 102 tg1tg 4 sec2 d sec1=3212 (sec2 1) 2 sec2 d sec = 125 5 1小結(jié)：1 對面積的曲線積分的概念和性質(zhì)2 對面積的曲線積分的計(jì)算作業(yè)：25第五節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分教學(xué)目的 ：理解和掌握對坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn) ：對坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn) ：對坐標(biāo)

42、曲面積分的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：一、定義、性質(zhì)1有向曲面?zhèn)龋?設(shè)曲面 z則曲面取定上側(cè)，z( x, y)，若取法向量朝上 （ n與 z 軸正向的夾角為銳角） ，否則為下側(cè)； 對曲面 x x( y , z)， 若 n 的方向與 x正向夾角為銳角，取定曲面的前側(cè)，否則為后側(cè)，對曲面 y y( x , z)， n 的方向與 y 正向夾角為銳角取定曲面為右側(cè)， 否則為左側(cè)； 若曲面為閉曲面， 則取法向量的指向朝外， 則此時(shí)取定曲面的外側(cè)，選定了曲面的側(cè)，這種曲面稱為有向曲面2投影設(shè) 是有向曲面，在 上取一小塊曲面否則為內(nèi)側(cè)， 取定了法向量即S ，把 S 投影到 x y 面上，得一投影域與 z軸夾角Sxy0 x

43、y （表示區(qū)域，又表示面積） ，假定 S 上任一點(diǎn)的法向量的余弦同號，則規(guī)定投影 Sxy 為xyxycos 0cos 0 實(shí)質(zhì)將投影面積附以一定的符號，同理可以 cos 0定義 S 在 y z面， z x面上的投影 Syz，3流向曲面一側(cè)的流量設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體（設(shè)密度為Szx1）的速度場為22)26v( x, y, z) = P(x, y, z)i + Q( x, y , z) j + R( x, y, z)k， 為其中一片有向曲面， P, Q , R 在 上連續(xù)，求單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體在此閉域上各點(diǎn)處流速為常向量 v ，又設(shè) n為該平面的單位法向量，則在單位時(shí)間內(nèi)流過這閉區(qū)域

44、的流體組成一底面積為 A ，斜高為 v 的斜柱體，斜柱體體積為A v cos A v n (n , v) ) 時(shí)， 此即為通過區(qū)域vnA圖 10-5-1A 流向 n所指一側(cè)的流量。當(dāng) (n , v) 時(shí)， 流量為 0， 當(dāng) (v , n)2時(shí)，流量為負(fù)值稱為流體通過閉區(qū)域 A 流向 n所指一側(cè)的流量均稱為A v n 。解 但所考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速 v也不是常向量，故采用元素法。把 分成 n 小塊 Si ，設(shè) 光滑，且 P , Q , R連續(xù)，當(dāng) Si很小時(shí)，流過 Si 的體積近似值為以體，任 ( i , i , i ) Si， ni為Si 為底，以 v( i , i , i

45、 ) 為斜高的柱( i , i , i ) 處的單位法向量 ni i , i , i ，故流量i v( i , i , i ) n Si ，n nv i ni Si = P cos i Q cos ii 1 i 1Rcos i Si 又cos i Si Sizyc o s i Si Si z x， cos i Si Sixy1111iiii27n P Siyz Q Sizx R Sixy i1n lim0 P Siyz Q Sizx R Sixy ，其中 為最大曲面直徑4定義設(shè) 為光滑的有向曲面， R(x , y , z) 在 上有界，把 分成 n塊 Si ，Si在 x y面上投影 ( Si

46、)xy， ( i , i , i ) 是 Si上任一點(diǎn)，若 0，nlim0 R( i , i , i ) Si xy存在，稱此極限值為 R( x , y .z) 在 上對坐標(biāo) x , y 的曲面積分，或R( x , y .z)dxdy 在有曲面 上的第二類曲面積分，記為 R( x, y , z)dxdy 。類似 P , Q 對 yoz 及 zox 曲面積分分別為nPdydz = lim0 R( i , i , i ) Si yznQdzdx = lim0 Q( i , i , i ) Sizx說明： （1） 有向，且光滑（2） P , Q , R 在 上連續(xù)，即存在相應(yīng)的曲面積分（3）Pdyd

47、z + Qdzdx + Rdxdy = Pdydz Qdzdx Rdxdy（4）穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體，流向 指定側(cè)的流量= Pdydz Qdzdx Rdxdy（5）若 1 2 ，則 Pdydz Pdydz + Pdydz 1 2OxyDxy（6）設(shè)則二、計(jì)算定理 設(shè)28為有向曲面， 表示與 相反的側(cè)Pdydz = PdydzQdzdx = QdzdxRdxdy = Rdxdy由 z z(x .y)給出的曲面的上側(cè)， 在 x y 面上的投影為Dxy， z z(x .y)在 Dxy 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，Rdxdy =OxyR x, y, z( x, y)( Si )xy 。 取上側(cè)， 則 co

48、s 0， 即 ( Si )xy (R 在 上連續(xù)，則i )xy， 又 ( i , i , i ) 為 上的點(diǎn)，則i z( i , i ) ，n nR( i , i , i )( Si ) xy = R( i , i , z( i ,i 1 i 10 ，取極限則 Rdxdy = R x, y, z( x, y)dxdyi )(i ) xy ，令說明： （1）將 z 用 z z(x , y)代替，將 投影到 x y面上，再定向，則（2）若（3）Rdxdy = R x, y, z(x, y)dxdy： z z(x , y) 取下側(cè)， 則 cos R x, y, z( x, y)dxdy=0， ( S

49、i ) xy ( i ) xyD R x, y, z( x, y)dxdyxyPdydz， Qdzdx 與此類似： y y( x, z) 時(shí)，右側(cè)為正，左側(cè)為負(fù)： x x( y, z)時(shí)，前側(cè)為正，后側(cè)為負(fù)2 dzh z2 a 2Dyz3 321 xy 0sin )rdr ，y) dxdy 02 h2 Dxy 外329例 1的上側(cè)解 將計(jì)算 xdydz ydxdz zdxdy， 為 x2 y 2 z2a 2， z 0向 y z面投影為半圓y2 z 2 a 2， z 0， x a 2 y 2 z2xdydz = Dyz a 2 y 2 z2 dydz ( Dyz a 2 x2 y 2 dydz)

50、= 2 a y 2 z2 dydz= 2 0 d 0 a 2 r 2 rdr 3 a3由對稱性 ydxdz= 2 a 3， zdxdy= 2 a 3 原式 = a 3 3 = 2 a 3注意： 必須為單值函數(shù)，否則分成 n 片曲面例 2 x( y z)dydz _ ( z x)dzdx ( x y)dxdy 為z2 x2 y 2 與 z h圍成(h 0) ，取外側(cè)。解 1 圓錐面上底， z h， z2 x2 y2 上側(cè)2 圓錐面?zhèn)让妫?2 為前側(cè)， 2 為后側(cè)x( y z) dydz = 0，1( z x)dzdx 01( x y)dxdy D (x y)dxdy d 0 r (cos(x y

51、) dxdy ( x y)dxdy， ( xx( y z)dydz + x( y z)dydz =2 2Dyzz2 y2 ( y z)dydzDyzz2 y 2 ( y z)dydz= 2Dyzz2 y20 z z2 y2 ( y z)dyh444cos2DxyD xyD xyDxyxy30外 ( z x)dzdx 原式 =三、兩類曲面積分間的關(guān)系（z2左h4xdzdx）+ （z x） dzdx = 02 右若 ： z續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，cos11 zz( x.y)， 在 x y 面的投影域 Dxy， z在 D xy 上有一階連R 在 上連續(xù)， 取上側(cè)Rdxdy = Oxy R x, y, z( x,

52、y)dxdy1zx， cos z z1zy，z zzR( x , y , z) cos ds =R x, y, z( z, y) cos 1 z z dxdy= D R x , y, z( x, y) dxdy若 取下側(cè)， Rdxdy = R x, y, z(x , y)dxdyR cos ds = Rcos 1 z z dxdy=類似 Pdydz = P cos ds，Pdydz Qdzdx Rdxdy =(cos , cos , cos ) 為弦。例 3 計(jì)算 ( z2 x)dydz zdxdyR x , y, z( x, y) dxdyQdzdx = Pcos ds P cos Q co

53、s Rcos ds在點(diǎn) (x , y , z) 處的法向量的方向余是 z 1 ( x 2 y 2 ) 介于 z 0 和1 xD xy2xyDxyx(x 2 y 2 ) 2Dxy 42 2022r 2 (cos22xyD xy22z 2 之間部分的下側(cè)解 ( z2 x)dydz ( z2 x) cos dsds 1 x 2 y 2 dxdy， cos ( z2x)dydz = ( z2 x)1 xx2 y 231x2 y 21 x 2 y2 dxdy= ( z x)dxdyD x2dxdyzdxdy zcos dszdxdy x 2 dxdy =1 z2 y 2z11 z2 y 2 dsdyDx

54、y 22原式= x 1 (x2 y2 )dxdy=02d= d 0 (r 3 cos2練習(xí)： 設(shè) 是球面 x y220 r 2 cos21 r 3 )dr 8z2 a 2 的外側(cè)，投影域sin2 )rdrDxy ：x 2 y 2 a 2 ，下面等式是否成立？將錯(cuò)的更正（ 1） x2 y2 zds = x 2 y2 zdxdy（2） ( x 2 y 2 )dxdy（3） ( x2 y 2 z)dxdy( xD x2 yy2 )dxdya 2 x 2y2 dxdy兩類曲面積分間的關(guān)系用向量形式表示如下：32A ds A nds Ands其中 A = P , Q , R， n cos ,cos ,c

55、os r 為有向曲面 上點(diǎn)( x, y, z)， 處的單位法向量， ds nds= dydz , dzdx, dxdy 稱為有向曲面元， An為向量 A 在向量 n 上的投影小結(jié)：1對坐標(biāo)的曲面積分的感念和性質(zhì)2對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算3兩類曲面積分的聯(lián)系作業(yè)：PzRxz Dxy z1 x, y z Dxy33第六節(jié) 高斯公式，通量與散度教學(xué)目的： 理解和掌握高斯公式及應(yīng)用，了解通量與散度的概念教學(xué)重點(diǎn)： 高斯公式教學(xué)難點(diǎn)： 高斯公式的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：一、 Gauss 公式定理 設(shè)空間閉區(qū)域 是有分片光滑的閉曲面 所圍成的，函數(shù)P( x , y , z)， Q(x , y, z) ，在 上具有一階

56、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則( xQy) dv = pdydz Qdzdx Rdxdy= ( p cos Q cos R cos )ds其中 是 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)， cos , cos , cos 是 上點(diǎn) ( x , y , z)處的法向量的方向余弦，稱之為高斯公式。證明 設(shè) 在 x y 面上證明：設(shè) 在 xoy 面上的投影域 Dxy， z 2且過 內(nèi)部且平行于 z軸的直線與 的邊界曲面 的交點(diǎn) 3恰好兩個(gè)，則 由 1 , 2 , 3 組成， 1 : z z1 x, y 取下側(cè)，12 : z z2 x, y 取上側(cè)， z1 x, y z2 x, y ， 3 是以 Dxy y的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于

57、 z軸的柱面的一部分，取外側(cè)， 圖 10-6-1z2 x , yR dv R dz dxdy R x , y , z2 x , y R x , y , z1 x, y dxdyxRPyz134R x , y , z dxdy1R x , y , z dxdy2R x, y , z1 x, y dxdyD xyR x, y , z2 x , y dxdyD xyR x , y , z dxdy 03dv R x , y , z dxdy(1)類似，若過且由兩個(gè)時(shí)有dv xQ dv內(nèi)部且平行于 x軸， y 軸的直線與 的邊界曲面 的交點(diǎn)也P x, y, z dydz(2)Q x, y, z dzd

58、x(3)(1)+(2)+(3) 即可證得高斯公式。若 不滿足上述條件，可添加輔助面將其分成符號條件的若干塊，且在輔助面兩側(cè)積分之和為零。例 1x y z dydz z圍成表面的外側(cè)解 令 P x y z , Q原式 y z dvx dzdx x y dxdy, 是z2z x , R x y , 則2 h h d rdr r sin0 0 r 2P Qx yz dzx2 y 2與z h 0R y zh44例 2 計(jì)算 xdydz ydxdz zdxdy, : x2 y 2 z2 a 2 , z 0 的上側(cè)解 添上x2：zy20a2 與 構(gòu)成封閉曲面。xP1x y z VR 135令 P x , Q y, R z , 則3xPxdydz ydxdz1而 xdydz ydxdz1原式 = 2 a 。二、通量與散度高斯公式：zdxdyzdxdyQ Ry zQ Ry z3dVzdxdy33 a3，2 3 2 a 3 。0，dV Pdydz Qdzdx Rdxdy外右端物理意義： 為單位時(shí)間內(nèi) （流體經(jīng)過流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量） 離開閉域 的流體的總質(zhì)量。流體不可壓縮且流動(dòng)是穩(wěn)定的，有流體離開流體的 “源頭” 產(chǎn)生同樣多的流體來進(jìn)行補(bǔ)充，的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量的同時(shí)，其部必須有產(chǎn)生故左端可解釋為