等差數(shù)列、等比數(shù)列二輪復(fù)習(xí)

1、第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列1 an與Sn的關(guān)系Sna1a2an，aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1， n2.)2 等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義anan1常數(shù)(n2)eq f(an,an1)常數(shù)(n2)通項(xiàng)公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：2an1anan2(n1)an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p、q為常數(shù))an為等差數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an為等差數(shù)列(5)an為等比數(shù)列，an0logaan為等差數(shù)列(1)定義法(2)中項(xiàng)公式法：aeq oal(2,n1)a

2、nan2(n1)(an0)an為等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：ancqn(c、q均是不為0的常數(shù)，nN*)an為等比數(shù)列(4)an為等差數(shù)列aan為等比數(shù)列(a0且a1)性質(zhì)(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，則amanapaq(2)anamqnm(3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(Sn0)仍成等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sneq f(na1an,2)na1eq f(nn1,2)d(1)q1，Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q)(2)q1，Snna1考點(diǎn)一與等

3、差數(shù)列有關(guān)的問題例1在等差數(shù)列an中，滿足3a55a8，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)若a10，當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，求n的值；(2)若a146，記bneq f(Snan,n)，求bn的最小值解(1)設(shè)an的公差為d，則由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，deq f(2,23)a1.Snna1eq f(nn1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,23)a1)eq f(1,23)a1n2eq f(24,23)a1neq f(1,23)a1(n12)2eq f(144,23)a1.a10，當(dāng)n12時(shí)，Sn取得最大值(2)由(1)及a146，得deq f(2,23)(46

4、)4，an46(n1)44n50，Sn46neq f(nn1,2)42n248n.bneq f(Snan,n)eq f(2n252n50,n)2neq f(50,n)522eq r(2nf(50,n)5232，當(dāng)且僅當(dāng)2neq f(50,n)，即n5時(shí)，等號(hào)成立故bn的最小值為32. (1)在等差數(shù)列問題中其最基本的量是首項(xiàng)和公差，只要根據(jù)已知條件求出這兩個(gè)量，其他問題就可隨之而解，這就是解決等差數(shù)列問題的基本方法，其中蘊(yùn)含著方程思想的運(yùn)用(2)等差數(shù)列的性質(zhì)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列；aman(mn)ddeq f(ama

5、n,mn)(m，nN*)；eq f(an,bn)eq f(A2n1,B2n1)(A2n1，B2n1分別為an，bn的前2n1項(xiàng)的和)(3)數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是其前n項(xiàng)和公式Snf(n)是n的二次函數(shù)或一次函數(shù)且不含常數(shù)項(xiàng)，即SnAn2Bn(A2B20) (1)(2012浙江)設(shè)Sn是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是()A若d0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d0D若對任意nN*，均有Sn0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列(2)(2013課標(biāo)全國)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C

6、(2)C解析(1)利用函數(shù)思想，通過討論Sneq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n的單調(diào)性判斷設(shè)an的首項(xiàng)為a1，則Snna1eq f(1,2)n(n1)deq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n.由二次函數(shù)性質(zhì)知Sn有最大值時(shí)，則d0，不妨設(shè)a11，d2，顯然Sn是遞增數(shù)列，但S110，d0，Sn必是遞增數(shù)列，D正確(2)am2，am13，故d1，因?yàn)镾m0，故ma1eq f(mm1,2)d0，故a1eq f(m1,2)，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.考點(diǎn)二與等比

7、數(shù)列有關(guān)的問題例2(1)(2012課標(biāo)全國)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10等于()A7 B5 C5 D7(2)(2012浙江)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S23a22，S43a42，則q_.答案(1)D(2)eq f(3,2)解析(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解由eq blcrc (avs4alco1(a4a72，,a5a6a4a78)解得eq blcrc (avs4alco1(a42，,a74)或eq blcrc (avs4alco1(a44，,a72.)eq blcrc (avs4alco1(q32，,a11)或eq blcrc (avs4al

8、co1(q3f(1,2)，,a18，)a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求解S4S2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡得2q2q30，解得qeq f(3,2)(q1不合題意，舍去) (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)方法：利用定義：eq f(an1,an)(nN*)是常數(shù)，利用等比中項(xiàng)aeq oal(2,n)an1an1(n2，nN*)(2)等比數(shù)列中的五個(gè)量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求二”(3)an為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，則amanaras；a

9、namqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列(q1)(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sneq blcrc (avs4alco1(na1q1，,f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)q1.)能“知三求二”；注意討論公比q是否為1；a10. (1)(2013課標(biāo)全國)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq f(2,3)aneq f(1,3)，則an的通項(xiàng)公式是an_.答案(2)n1解析當(dāng)n1時(shí)，a11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1eq f(2,3)aneq f(2,3)an1，故eq f(an,an1)2，故an(2)n1.(2)(2013湖北)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差

10、數(shù)列，且a2a3a418.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)n，使得Sn2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a10，q0.由題意得eq blcrc (avs4alco1(S2S4S3S2，,a2a3a418.)即eq blcrc (avs4alco1(a1q2a1q3a1q2，,a1q1qq218，)解得eq blcrc (avs4alco1(a13，,q2.)故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3(2)n1.由有Sneq f(312n,12)1(2)n.假設(shè)存在n，使得Sn2 013，則1(2)n2 013，即(2)n2 012.當(dāng)n為偶數(shù)

11、時(shí)，(2)n0.上式不成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(2)n2n2 012，即2n2 012，則n11.綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為n|n2k1，kN，k5考點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若存在mN*，使對任意nN*，總有SnTm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，從而Sneq f(n9n,2).(2)由題意知b14，b22，b31，

12、設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則qeq f(b2,b1)eq f(1,2)，Tmeq f(41f(1,2)m,1f(1,2)81(eq f(1,2)m，(eq f(1,2)m隨m增加而遞減，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm8.又Sneq f(n9n,2)eq f(1,2)(n29n)eq f(1,2)(neq f(9,2)2eq f(81,4)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使對任意nN*總有SnTm，則106. 等差(比)數(shù)列的綜合問題的常見類型及解法(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的

13、交匯問題，求解時(shí)用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問題求解即可 已知數(shù)列an滿足a13，an13an3n(nN*)，數(shù)列bn滿足bn3nan.(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)設(shè)Sneq f(a1,3)eq f(a2,4)eq f(a3,5)eq f(an,n2)，求滿足不等式eq f(1,128)eq f(Sn,S2n)eq f(1,4)的所有正整數(shù)n的值(1)證明由bn3nan得an3nbn，則an13n1bn1.代入an13an3n中，得3n1bn13n1bn3n，即得bn1bneq f(1,3).所以數(shù)列bn是等差數(shù)列(2)解因?yàn)閿?shù)列bn是首項(xiàng)為b1

14、31a11，公差為eq f(1,3)的等差數(shù)列，則bn1eq f(1,3)(n1)eq f(n2,3)，則an3nbn(n2)3n1，從而有eq f(an,n2)3n1，故Sneq f(a1,3)eq f(a2,4)eq f(a3,5)eq f(an,n2)13323n1eq f(13n,13)eq f(3n1,2)，則eq f(Sn,S2n)eq f(3n1,32n1)eq f(1,3n1)，由eq f(1,128)eq f(Sn,S2n)eq f(1,4)，得eq f(1,128)eq f(1,3n1)eq f(1,4)，即33n127，得1n4.故滿足不等式eq f(1,128)eq f

15、(Sn,S2n)0an為遞增數(shù)列，Sn有最小值d0，,q1)或eq blcrc (avs4alco1(a10，,0q0，,0q1)或eq blcrc (avs4alco1(a11)時(shí)，an為遞減數(shù)列4 常用結(jié)論(1)若an，bn均是等差數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，則mankbn，eq f(Sn,n)仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)(2)若an，bn均是等比數(shù)列，則can(c0)，|an|，anbn，manbn(m為常數(shù))，aeq oal(2,n)，eq f(1,an)等也是等比數(shù)列(3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比數(shù)列，

16、且公比為eq f(a3a2,a2a1)eq f(a2a1q,a2a1)q.(4)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，其公差為qk.等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差數(shù)列，公差為k2d.5 易錯(cuò)提醒(1)應(yīng)用關(guān)系式aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2)時(shí)，一定要注意分n1，n2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是beq f(ac,2)，但三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的必要條件是b2ac.1 已知等比數(shù)列an中，

17、各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，eq f(1,2)a3，2a2成等差數(shù)列，則eq f(a8a9,a6a7)等于()A1eq r(2) B1eq r(2)C32eq r(2) D32eq r(2)答案C解析記等比數(shù)列an的公比為q，其中q0，由題意知a3a12a2，即a1q2a12a1q.因?yàn)閍10，所以有q22q10，由此解得q1eq r(2)，又q0，所以q1eq r(2).所以eq f(a8a9,a6a7)eq f(q2a6a7,a6a7)q2(1eq r(2)232eq r(2).2 已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an使得eq r(aman)4a1，則eq f(1,m)e

18、q f(4,n)的最小值為()A.eq f(3,2) B.eq f(5,3) C.eq f(9,4) D不存在答案A解析因?yàn)閍7a62a5，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)又eq r(aman)eq r(aoal(2,1)qmn2)4a1，所以mn6.則eq f(1,m)eq f(4,n)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)(mn)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(n,m)f(4m,n)4)eq f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)eq f(n,m)eq f(4m,n)，即n2m時(shí)，等號(hào)成立此時(shí)m2，n4.3 已知等差數(shù)列

19、an的前n項(xiàng)的和為Sn，等比數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比是q，且滿足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an與bn；(2)設(shè)cn3bn2eq f(an,3)，若數(shù)列cn是遞增數(shù)列，求的取值范圍解(1)由已知可得eq blcrc (avs4alco1(q3a212，,3a2q2，)所以q2q120，解得q3或q4(舍)，從而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn2eq f(an,3)3n2n.由題意，得cn1cn對任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n恒成立由于函

20、數(shù)yeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n是增函數(shù)，所以eq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n)min2eq f(3,2)3，故3，即的取值范圍為(，3)(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1 (2013江西)等比數(shù)列x,3x3,6x6，的第四項(xiàng)等于()A24 B0 C12 D24答案A解析由x,3x3,6x6成等比數(shù)列得，(3x3)2x(6x6)解得x3或x1(不合題意，舍去)故數(shù)列的第四項(xiàng)為24.2 (2013課標(biāo)全國)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3a210a1，a59，則a1等于()A.eq f(1,3) Beq

21、f(1,3) C.eq f(1,9) Deq f(1,9)答案C解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1eq f(1,9).3 (2013課標(biāo)全國)設(shè)首項(xiàng)為1，公比為eq f(2,3)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an答案D解析Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1qan,1q)eq f(1f(2,3)an,f(1,3)32an.故選D.4 在等差數(shù)列an中，a50且a6|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說法正確的是()AS1，S2，

22、S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0答案C解析由題意可知a6a50，故S10eq f(a1a1010,2)eq f(a5a610,2)0，而S9eq f(a1a99,2)eq f(2a59,2)9a50，且a1a2a1030，則a5a6的最大值等于_答案9解析由a1a2a1030得a5a6eq f(30,5)6，又an0，a5a6eq blc(rc)(avs4alco1(f(a5a6,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,2)

23、29.10已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12，且an1eq f(1,2)(a1a2an) (nN*)，記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則Sn_，an_.答案2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1eq blcrc (avs4alco1(2n1，,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n2 n2.)解析由an1eq f(1,2)(a1a2an) (nN*)，可得an1eq f(1,2)Sn，所以Sn1Sneq f(1,2)Sn，即Sn1eq f(3,2)Sn，由此可知數(shù)列Sn是一個(gè)等比數(shù)列，其中首項(xiàng)S1a12，公比為eq f(3,2)，所以Sn2eq blc(rc)(avs4a

24、lco1(f(3,2)n1，由此得aneq blcrc (avs4alco1(2n1，,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n2 n2.)三、解答題11已知an是以a為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和(1)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時(shí)，求q的值；(2)當(dāng)Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列時(shí)，求證：對任意自然數(shù)k，amk，ank，alk也成等差數(shù)列(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)當(dāng)S1，S3，S4成等差數(shù)列時(shí)，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化簡得q2q10.解得qeq f(1r(5),2).(2)證明若q1，則an

25、的各項(xiàng)均為a，此時(shí)amk，ank，alk顯然成等差數(shù)列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差數(shù)列可得SmSl2Sn，即eq f(aqm1,q1)eq f(aql1,q1)eq f(2aqn1,q1)，整理得qmql2qn.因此，amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank.所以amk，ank，alk成等差數(shù)列12已知數(shù)列an滿足a1eq f(1,4)，a2eq f(3,4)，an12anan1(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足b1eq f(1,2)，3bnbn1n(n2，nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列bnan為等比數(shù)列，并求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式(1)解由an12anan1(

26、n2，nN*)，可得an1ananan1(n2，nN*)所以數(shù)列an是首項(xiàng)為a1eq f(1,4)，公差為da2a1eq f(1,2)的等差數(shù)列所以ana1(n1)deq f(1,2)neq f(1,4)(nN*)，即aneq f(1,2)neq f(1,4)(nN*)(2)證明由3bnbn1n，得bneq f(1,3)bn1eq f(1,3)n(n2，nN*)所以bnaneq f(1,3)bn1eq f(1,3)neq f(1,2)neq f(1,4)eq f(1,3)bn1eq f(1,6)neq f(1,4)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(bn1f(1,2)nf(3,4)eq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(bn1f(1,2)n1f(1,4)eq f(1,3)(bn1an1)，又b1a1eq f(1,4)0，所以bnan0(nN*)，得eq f(bnan,bn1an1)eq f(1,3)(n2，nN*)，即數(shù)列bnan是首項(xiàng)為b1a1eq f(1,4)，公比為eq f(1,3)的等比數(shù)列于是，bnaneq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，即bneq f(2n1,4)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1eq f