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文檔簡介

1、埃爾米特多項式在數(shù)學(xué)中，埃爾米特多項式是一種經(jīng)典的正交多項式族，得名于法國數(shù)學(xué)家夏 爾埃爾米特。概率論里的埃奇沃斯級數(shù)的表達(dá)式中就要用到埃爾米特多項式。 在組合數(shù)學(xué)中，埃爾米特多項式是阿佩爾方程的解。物理學(xué)中，埃爾米特多項式 給出了量子諧振子的本征態(tài)。定義埃爾米特多項式有兩種常見定義。第一種是:心=(-1)%如法i這是概率論中較為常用的形式（記作：!：*廠）。有時也會使用另一種定義:(2)乩=(-iyv-孫L這是物理學(xué)中較為常用的形式（記作：/七：。這兩種定義并不是完全等價 的。它們之間的關(guān)系是：下文中一般會使用第一種定義，也是概率學(xué)家偏好的定義。因為是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)（數(shù)學(xué)期望等于0，標(biāo)準(zhǔn)差

2、等于1）的概率密度函數(shù)前六個概率學(xué)的埃爾米特多項式的表達(dá)式為:概率學(xué)和物理學(xué)中的埃爾米特多項式序號概率學(xué)物理學(xué)時）11?。2x時）t21JL- 14t2-2工區(qū)-3jc既12工也3)工 4 一6 + 316按一 48工+ 12瑚彳r5 10t3 + 15j32 160 + 120/前六個（概率論中的）埃爾米特多項式的圖像。前六個（物理學(xué)中的）埃爾米特多項式的圖像。性質(zhì)多項式H是一個n次的多項式。概率論的埃爾米特多項式是首一多項式（最高 次項系賀等于1）,而物理學(xué)的埃爾米特多項式的最高次項系數(shù)等于2n。正交性多項式H的次數(shù)與序號n相同，所以不同的埃爾米特多項式的次數(shù)不一樣。對 于給定時權(quán)函數(shù)w，埃爾米特多項式的序列將會是正交序列。/ 垠2/2L-（對于概率論的埃爾米特多項式）_ 2L（對于物理學(xué)的埃爾米特多項式）也就是說，當(dāng)m豐n時：/OO丑（工）乩（工）口3）/2?X（對于概率論的埃爾米特多項式）Hn（x）Hn（x） ex dx =血 2nv-/ X（對于物理學(xué)的埃爾米特多項式）完備性在所有滿足2|f3）| dx odfx)gx)wx)dx的

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