重慶市九龍坡區(qū)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理(含解析)

1、【解析】重慶市九龍坡區(qū) 2020 學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共 12 小題，共 60.0 分）已知點(diǎn)， ，則直線的傾斜角為（ ）A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】先根據(jù)斜率公式求斜率，再求傾斜角 .【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角為，選 C.【點(diǎn)睛】本題考查斜率以及傾斜角概念, 考查基本求解能力 , 屬基礎(chǔ)題 .下列雙曲線中，焦點(diǎn)在軸上且漸近線方程為的是A.B.C.D.【答案】 C【解析】試題分析：焦點(diǎn)在軸上的是 C和D,漸近線方程為，故選 C.考點(diǎn)： 1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是“”是“”的充分不必要條件命題“若，則”

2、的逆否命題為：“若，則”若為假命題，則均為假命題命題： ，使得，則: ，均有【答案】 C【解析】中只要有一個(gè)是假命題，則為假命題，因此 C錯(cuò)誤，故選C.設(shè)雙曲線的離心率為，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程是A.B.C.D.【答案】 D【解析】 【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)，可得雙曲線的 c ，由離心率公式和 a ， b ， c 的關(guān)系，解方程組可得 a， b,進(jìn)而得到雙曲線的方程.【詳解】由題得拋物線的焦點(diǎn)為，所以雙曲線的，即，由，解得，則雙曲線的方程為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題設(shè)、是兩條不同的直線， 、是兩個(gè)不同的平

3、面，下列命題中正確的是， ， ， ， ，【答案】 A【解析】【分析】對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定，不正確的只需取出反例，正確的證明一下即可【詳解】對(duì)于 A,根據(jù)線面平行性質(zhì)定理即可得A選項(xiàng)正確；對(duì)于 B,當(dāng)，時(shí)，若，則，但題目中無(wú)條件，故 B不一定成立；對(duì)于 C,若 則與相交或平行，故 C錯(cuò)誤；對(duì)于D,若， 則與平行或異面，則 D 錯(cuò)誤，故選 A.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)空間直線與平面垂直的判定定理，性質(zhì)定理，定義及幾何特征，其中熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直，面面垂直的相互轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵已知雙曲線，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則 l 的方程為（ ）A.B.C.D.設(shè)，則所以，選 C

4、.點(diǎn)睛： 弦中點(diǎn)問(wèn)題解法一般為設(shè)而不求， 關(guān)鍵是求出弦AB 所在直線方程的斜率k, 方法一利用點(diǎn)差法，列出有關(guān)弦AB 的中點(diǎn)及弦斜率之間關(guān)系求解；方法二是直接設(shè)出斜率k ，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線方程.某圓柱白高為1,底面周長(zhǎng)為8,其三視圖如圖所示圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn) N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 B,則在此圓柱側(cè)面上，從 M到N的路徑中， 最短路徑的長(zhǎng)度為A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】首先求出底面的半徑，進(jìn)一步利用弧長(zhǎng)公式和勾股定理求出結(jié)果得解【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖如圖所示：由于底面周長(zhǎng)為8 ，得到，解得，所以點(diǎn)M到N在下底面上的

5、射影的弧長(zhǎng)為，把圓柱的側(cè)面展開得到從M到N的路徑中的最小值為.故選： C【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，考查弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查展開法和學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題. 橢圓的焦點(diǎn)為， P 為橢圓上一點(diǎn)，若，則的面積是（ ） .A.B.C.D.【答案】 A【解析】【分析】橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，直接代入公式可求得面積.【詳解】由于橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，故所求面積為，故選 A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓焦點(diǎn)三角形的面積，橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式為，將題目所給數(shù)據(jù)代入公式，可求得面積. 屬于基礎(chǔ)題 .如圖，在所有棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱中，D E分別為、的中點(diǎn)，則異面直線

6、AD, CE所成角的余弦值為A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)，以為軸建立坐標(biāo)系，分別求出，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)，以為軸建立坐標(biāo)系，則，則，設(shè)與成的角為，則，故選 C.【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角立體幾何解題的“補(bǔ)型法”，屬于難題 . 求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.動(dòng)圓M與定圓C: x2+y2 + 4x = 0相外切，且與直線l : x

7、2=0相切，則動(dòng)圓 M的圓心的軌跡方程為 ()A. y 2 12x+12 = 0B. y 2+12x12 = 0C. y 2+8x=0D. y 2-8x=0【答案】 B【解析】【分析】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y), C ( - 2, 0),動(dòng)圓得半徑為r,則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，MC=2+r, d=r,從而|MC| - d=2,由此能求出動(dòng)圓圓心軌跡方程.【詳解】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x, y), C(-2, 0),動(dòng)圓得半徑為r,則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切得性質(zhì)可得，MC=2+r， d=r，|MC|- d=2,即：-（2-x） =2,化簡(jiǎn)彳導(dǎo):y2+12x 12=0.，動(dòng)圓圓心軌跡

8、方程為y2+12x12 = 0.故選： B【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)圓圓心軌跡方程的求法，考查直線方程、圓、兩點(diǎn)間距離公式、兩圓相外切、直線與圓相切等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為A.B.C.D.【答案】 C【解析】【分析】化簡(jiǎn)得，表示平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可得出結(jié)論【詳解】，表示平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，連接NHH與x軸交于，由題得，所以，的最小值為，故選

9、：C【點(diǎn)睛】本題主要考查兩點(diǎn)間的距離公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，合理轉(zhuǎn)化是正確解題的關(guān)鍵已知橢圓與雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)， ，若點(diǎn) P 是與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且，設(shè)與的離心率分別為， ，則的取值范圍是A.B.C.D.【解析】 【分析】先根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得到，再根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率得到，即得，再換元結(jié)合函數(shù)（3vt4）的單調(diào)性求出的取值范圍.【詳解】設(shè)， ，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定可得，解得， ，由，可得，即，由， ，可得，由，可得，可得，即，則，可設(shè)，則，由于函數(shù)在遞增，所以故選： B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是離心率的范圍，考查換元法和

10、構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0 分）已知直線： ， ：平行，則 【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行時(shí)，列方程求出m 的值得解【詳解】直線： ， ：平行，則，解得故答案為： 【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力 .【解析】在四面體中，面BCD， ， ，若四面體的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為 【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出直角的外接圓直徑BD,再利用公式可得出外接球的直徑，再利用球體表面積公式可得出答案【詳解】 ，所以直角的外接圓直徑為平面BCD所以四面體 ABCD勺外接球直徑為

11、.因此，該球的表面積為故答案為： 【點(diǎn)睛】本題主要考查球體表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出合適的模型計(jì)算出球體的半徑，考查計(jì)算能力，屬于中等題如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為2 ，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為 【答案】【解析】【分析】首先找到三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體原圖，進(jìn)一步利用幾何體的體積公式的運(yùn)算求出結(jié)果【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖找到對(duì)應(yīng)的幾何體原圖是如圖所示的三棱錐C-ABD，其中BD=2,AABD的面積為.所以故答案為： 【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖和幾何體的轉(zhuǎn)換，考查幾何體的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型已知，是橢圓的左、右焦

12、點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過(guò)A且斜率為的直線上，為等腰三角形， ，則 C 的離心率為 【答案】【分析】由題得直線 AP 的方程為，直線的方程為，即聯(lián)立，解得 P 點(diǎn)坐標(biāo)再根據(jù)為等腰三角形， ，可得利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出 C 的離心率【詳解】如圖所示，直線 AP 的方程為，直線的方程為，即聯(lián)立，解得， 為等腰三角形， ，所以故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題（本大題共 6 小題，共 70.0 分）已知命題；命題 q：關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.若為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；若

13、為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍【答案】 （ 1） ； （ 2）【解析】【分析】先求出 p 和 q 為真命題時(shí) m 的范圍，然后再求范圍對(duì)應(yīng)的集合的交集得解；若為真命題，為假命題等價(jià)于命題 p ， q 一真一假，按照 p 真 q 假和 p 假 q 真兩種情況解不等式組即得解 .【詳解】當(dāng)命題 p 為真時(shí)，得當(dāng)命題 q 為真時(shí)，則，解得若為真，則p 真 q 真，即實(shí)數(shù) m 的取值范圍為若為真命題，為假命題，則p， q 一真一假，若p 真 q 假，則，解得；若p 假 q 真，則，解得綜上所述，實(shí)數(shù)m 的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合命題及其真假，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平

14、和分析推理計(jì)算能力 .已知圓C:內(nèi)有一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且和圓C交于A, B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為.當(dāng)時(shí)，求弦AB 的長(zhǎng)；當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程.【答案】 （ 1）（ 2）【解析】【分析】（1） 先根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離得圓心到直線距離，最后根據(jù)垂徑定理求弦長(zhǎng)，（2）設(shè)直線方程，根據(jù)圓心到直線距離為OP，列方程解得斜率，即得直線方程 .【詳解】 ： ，圓心到距離為，所以弦長(zhǎng)為，（ 2）圓心到距離為, 設(shè)：所以【點(diǎn)睛】涉及圓中弦長(zhǎng)問(wèn)題， 一般利用垂徑定理進(jìn)行解決，具體就是利用半徑的平方等于圓心到直線距離平方與弦長(zhǎng)一半平方的和.19.如圖所示，在直三棱柱中，為正三角形

15、，M是的中點(diǎn)，N是中點(diǎn).證明：平面；若三棱錐的體積為，求該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)【答案】 （ 1）見解析； （ 2）【解析】【分析】連接，利用中位線得線線平行，進(jìn)而得線面平行；設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)為M,利用體積不難列出方程求得a值.【詳解】解：證明：連接C，是的中點(diǎn)，又 N 是的中點(diǎn)，C，又平面，平面，平面解： ，是的中點(diǎn)，到平面的距離是C 到平面的距離的一半，如圖，作交AB于P,由正三棱柱的性質(zhì)，易證平面，設(shè)底面正三角形邊長(zhǎng)為 a，則三棱錐的高，解得故該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】此題考查了線面平行，三棱錐的體積等，難度適中已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且1）求拋物線的方程2

16、）直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值【答案】 （ 1） （ 2）【解析】【分析】1）根據(jù)拋物線的定義4，求出，即可得到拋物線的方程2）設(shè)，聯(lián)立，得，令，得 . 由，由韋達(dá)定理，可得，解出驗(yàn)證即可.【詳解】 （ 1）已知拋物線過(guò)點(diǎn)，且則， ,故拋物線的方程為2）設(shè)，聯(lián)立，得，且，由，則，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不合題意，由知綜上，實(shí)數(shù)的值為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題 .如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD側(cè)棱，底面ABCM直角梯形，其中，。為AD中點(diǎn)求直線PB與平面POC/f成角的余弦值.求B點(diǎn)到平面PCD勺距離.線段

17、PD上是否存在一點(diǎn) Q使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】 （1） （2） （3） 存在，【解析】試題分析： （ 1） 易得平面， 所以即為所求（ 2 ） 由于， 從而平面， 所以可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面（ 3）假設(shè)存在，過(guò) Q作，垂足為，過(guò)作，垂足為 M則即為二面角的平面角.設(shè)，利用求出，若，則存在，否則就不存在試題解析：（1） 在4PAD中PA=PD,。為AD中點(diǎn)，所以 POLAD,又側(cè)面PADL底面 ABCD,平面平面 ABCD=AD,平面PAD所以POL平面ABCD又在直角梯形中 , 易得 ;所以以為坐標(biāo)原點(diǎn), 為軸 , 為軸 ,為軸建立空間直角坐標(biāo)系則, ,

18、 ， ; , 易證 :,所以平面的法向量,所以與平面所成角的余弦值為（2）,設(shè)平面PDC勺法向量為，則，取得點(diǎn)到平面的距離（ 3）假設(shè)存在，且設(shè)因?yàn)樗?，設(shè)平面CAQ的法向量中，則取，得平面CAD勺一個(gè)法向量為，因?yàn)槎娼?Q OC D 的余弦值為，所以整理化簡(jiǎn)得：或（舍去） ，所以存在，且考點(diǎn)：空間的角與距離.已知A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)點(diǎn) M是橢圓C上異于A、B的任一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A作直線軸以線段 AF為直徑的圓交直線 AM于點(diǎn)A、N,連接FN 交直線l于點(diǎn)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，且，橢圓 C的離心率為.求橢圓C的方程；試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得直線MH、過(guò)該定點(diǎn)T?若存在，求出點(diǎn) T的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由【答案】 （ 1） ； （ 2）見解析【解析】【分析】根據(jù)題意可得，解得即可；假設(shè)在 x 軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)直