應(yīng)用數(shù)學(xué)第一章-集--合課件

1、應(yīng)用數(shù)學(xué) 主編:河南機(jī)電學(xué)?；A(chǔ)部第一章集合第一節(jié)集合與元素人們在討論問題時，往往把具有某種特定性質(zhì)的對象作為一個整體來對待.例如：(1)某中職學(xué)校的全體學(xué)生；(2)某工廠金工車間的所有機(jī)床；(3)某電器線路中的全部電容元件.這里所用的“全體”、“所有”和“全部”都是指具有某種特定性質(zhì)的對象的總體.我們把具有某種特定性質(zhì)的對象組成的總體叫做集合，簡稱集.組成某一集合的各個對象叫做集合的元素.上述例子中(1)是由這個學(xué)校的全體學(xué)生組成的集合，學(xué)校的每一個學(xué)生都是這個集合的元素；例子(2)是由這個金工車間的所有機(jī)床組成的集合，車間中的每一臺機(jī)床都是這個集合的元素；例子(3)是由這個電器線路中的全部

2、電容元件組成的集合，線路中的每一個電容元件都是這個集合的元素.第一節(jié)集合與元素下面再舉幾個集合的例子.(1)全體自然數(shù)組成一個集合.自然數(shù)1，2，3，都是這個集合的元素.顯然，這個集合有無限多個元素；(2)方程x2-4=0的所有解組成一個集合.因?yàn)檫@個方程只有兩個實(shí)數(shù)解2與-2，所以這個集合有兩個元素2與-2；(3)平面上與一定點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)組成一個集合.這個集合是以定點(diǎn)為圓心的一個圓，該圓上的每一個點(diǎn)都是這個集合的元素.顯然，這個集合有無限多個元素.第一節(jié)集合與元素一個集合通常用大寫字母A、B、C等表示，集合的元素用小寫字母a、b、c等表示.若a是集合A的元素，則記為：aA，讀作“a屬于

3、A”；若a不是集合A的元素，則記為aA,讀作“a不屬于A”.例如,用N表示所有自然數(shù)的集合，則1N，101N，-2N，0N.第一節(jié)集合與元素關(guān)于集合的概念，需再作如下說明：(1)對于一個給定的集合，其元素必須是確定的，如不能確定，則不能構(gòu)成集合.例如：某班高個子同學(xué)的全體就不能構(gòu)成集合，因?yàn)闆]有規(guī)定身高多少才算高個子，因而“高個子同學(xué)”是不能確定的；(2)對于一個給定的集合，其中的元素是互異的.這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，只能作為這個集合中的一個元素.因此，集合中的任何兩個元素都是不同的.第一節(jié)集合與元素第一節(jié)集合與元素由數(shù)組成的集合叫做數(shù)集.我們已

4、經(jīng)學(xué)過的數(shù)集有自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集.它們通常用下表所示的記號來表示.若數(shù)集中的元素都是正數(shù)，則在集合記號的右下角標(biāo)以“+”號；若數(shù)集中的元素都是負(fù)數(shù)，則在數(shù)集記號的右下角標(biāo)以“-”號.例如，正整數(shù)集記作Z+，負(fù)實(shí)數(shù)集記作R-等.含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.只含有一個元素的集合叫做單元素集，記作a.例如：方程x+1=0的所有解組成的集合-1，就是單元素集.不含有任何元素的集合叫做空集，記為.例如：方程x2+1=0的所有實(shí)數(shù)解組成的集合就是空集.第一節(jié)集合與元素為敘述方便起見，我們把至少含有一個元素的集合叫做非空集合.應(yīng)該注意：(1)空集與集合0是

5、兩個不同的概念.前者指的是不包含任何元素的集合，而后者指的是由一個元素“0”組成的單元素集；(2)單元素集a與單個元素a是兩個不同的概念.前者指的是由一個元素a組成的集合，而后者指的是這個元素a.第一節(jié)集合與元素第二節(jié)集合的表示方法一、列舉法列舉法就是把屬于某個集合的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，每個元素僅寫一次且不考慮順序用列舉法表示一個集合時，每個元素只寫一次而且不必考慮元素的先后順序.上述集合也可以表示為1，3，0，2，4.當(dāng)一個集合的元素較多，或者它是無限集時，可以只寫出幾個元素，其他元素用省略號表示，并且把它們放在一個大括號內(nèi)，要注意必須讓人明白省略號表示了哪些元素.一個方程的所有

6、解組成的集合稱為方程的解集.第二節(jié)集合的表示方法二、描述法思考：大于2的實(shí)數(shù)組成的集合能否用列舉法表示呢？比2大的實(shí)數(shù)組成的集合有無窮多個元素，無法一一列舉出來，因此不能用列舉法表示這個集合.如何表示這個集合呢？我們可以通過描述集合中各個元素具有的特征性質(zhì)來表示它.這個集合的元素具有的特征是：它們都是實(shí)數(shù)，并且大于2，于是我們可以把這個集合表示成x|x2且xR其中大括號內(nèi)豎線左邊的x是這個集合的代表元素，豎線右邊寫的是這個集合的元素具有的特征性質(zhì).這種把屬于某個集合的元素所具有的特征性質(zhì)描述出來，寫在大括號內(nèi)的集合表示方法稱為描述法.第二節(jié)集合的表示方法如果所討論集合的元素是實(shí)數(shù)，那么xR可以

7、省去不寫，因此上述解集也可以寫成x|x-6一個整數(shù)如果能被2整除(即2的倍數(shù))，則稱它為偶數(shù).例如，-4、-2、0、2、4等都是偶數(shù).所有偶數(shù)組成的集合稱為偶數(shù)集，它可以表示成，-4，-2，0，2，4，也可以表示成n|n=2m，mZ第二節(jié)集合的表示方法還可以更簡潔地表示成2m|mZ其中大括號內(nèi)豎線左邊的2m是偶數(shù)的一般形式，豎線右邊指出了字母m的取值范圍.一個整數(shù)如果被2除余數(shù)為1，則稱它為奇數(shù).例如：-3，-1，1，3等都是奇數(shù).所有奇數(shù)組成的集合稱為奇數(shù)集它可以表示為n|n=2m-1,mZ 也可以用列舉法表示為，-3，-1，1，3，第二節(jié)集合的表示方法一、子集觀察集合A=2，4；B=2，4

8、，6，8容易看出，集合A中的任何一個元素都是集合B的元素.對于集合之間的這種關(guān)系，我們給出如下定義：如果集合A中的每一個元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集，記作AB或BA讀作“A包含于B”或“B包含A”.第三節(jié)集合之間的關(guān)系因此2，4是2，4，6，8的子集，可記為2，42，4，6，8或2，4，6，82，4根據(jù)上述定義可知，任何一個集合A都是它自身的子集，即AA由于空集是不含任何元素的集合，所以規(guī)定：空集 是任何一個集合A的子集,即 A.如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，記作第三節(jié)集合之間的關(guān)系例如，2，4不但是2，4，6，8的

9、子集，而且還是它的真子集，可記為根據(jù)真子集的定義，空集 是任何非空集合A的真子集.即又如,自然數(shù)集N是整數(shù)集的真子集；有理數(shù)集Q是實(shí)數(shù)集R的真子集；即N Z;Q R.第三節(jié)集合之間的關(guān)系第三節(jié)集合之間的關(guān)系圖1-1為了形象地比較不同集合之間的關(guān)系，我們通常用圓(或任意封閉曲線圍成的圖形)表示集合，用圓內(nèi)的點(diǎn)表示該集合的元素.這樣的圖形稱為文氏(venn)圖.圖1-1表示集合A是集合B的真子集，即根據(jù)子集、真子集的定義可推知：第三節(jié)集合之間的關(guān)系二、集合的相等已知集合A= 1，2，3，4 ；B= 3，1，4，2 .可以看出集合A與B的元素完全相同，只是排列次序不同，因此A與B是同一個集合.一般地

10、，如果集合A與集合B的元素完全相同，那么稱這兩個集合相等，記作A=B.“完全相同”的意思就是：集合A中每一個元素都是集合B的元素，而且集合B中每一個元素都是集合A的元素，即A是B的子集，B也是A的子集.因此我們可以這么說：對于兩個集合A與B，如果AB且BA，那么稱A與B相等，記作A=B第三節(jié)集合之間的關(guān)系一、交集已知集合A=1，2，3，6；B=1,2,5,6.我們可把屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成一個新的集合C=1，2，6第四節(jié)集合的運(yùn)算對于這樣的集合，給出下列定義：對于兩個給定的集合A與B，把既屬于A又屬于B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作AB讀作“A交B”.即AB=x|x

11、A且xB第四節(jié)集合的運(yùn)算第四節(jié)集合的運(yùn)算圖1-2圖1-2中的陰影部分表示集合A與集合B的交集AB.由交集的定義和圖1-2可知：第四節(jié)集合的運(yùn)算二、并集已知集合A=a,c,e；B=a,b,d,e,f把集合A和集合B的元素合并在一起(相同元素只取一個)，可以組成一個新的集合a,b,c,d,e,f對于這樣的集合，給出下列定義：對于兩個給定的集合A與B，把屬于A或者屬于B的所有元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作AB讀作“A并B”.即AB=x|xA或xB第四節(jié)集合的運(yùn)算第四節(jié)集合的運(yùn)算圖1-3集合AB，根據(jù)集合A和集合B的不同情況，可以分別用圖1-3的a)、b)、c)的陰影部分形象地表示.由并集的定

12、義和圖1-3可知，對于任何集合A與B，有第四節(jié)集合的運(yùn)算第四節(jié)集合的運(yùn)算三、補(bǔ)集已知集合U=某學(xué)校一年級(四)班的學(xué)生；A=某學(xué)校一年級(四)班的女學(xué)生；B=某學(xué)校一年級(四)班的男學(xué)生.由上述集合可知AU,BU.通常，我們在研究集合與集合之間的關(guān)系時，如果一些集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為這些集合的全集，通常用U表示.例如，上例中的U就可稱為A與B的全集.我們在研究數(shù)集時，常常把實(shí)數(shù)集R作為全集.一般地，設(shè)U為全集，如果集合A是U的一個子集，由U中不屬于A的所有元素組成的集合，稱為集合A在集合U中的補(bǔ)集，記作讀作“A在U中的補(bǔ)集”.如果從上下文可以明顯看出全集U指的是哪個

13、集合，則可以把U省略不寫，即記作讀作“A的補(bǔ)”. 第四節(jié)集合的運(yùn)算全集U通常用一個長方形的內(nèi)部表示，則子集A在I中的補(bǔ)集可以用圖1-4的陰影部分形象地表示.圖1-4第四節(jié)集合的運(yùn)算設(shè)U是全集，子集A的補(bǔ)集 可以用描述法表示成 從補(bǔ)集的定義可知，對于U的任意子集A,有其中 表示 的補(bǔ)集.第四節(jié)集合的運(yùn)算第五節(jié)充 要 條 件一、命題觀察下面的句子：(1)7是21的約數(shù)；(2)-2是自然數(shù)；(3)35；(4)是有理數(shù)；(5)圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等嗎？(6)祝你快樂！句子(1)陳述的事實(shí)是正確的；句子(3)也是正確的；而句子(2)與句子(4)是錯誤的陳述因?yàn)榫渥?5)是疑問句，句子(6)是感嘆句，所以句子(5)、(6)不存在判斷正確或錯誤的問題上述事實(shí)表明，有些句子是可以判斷真假的，而有一些句子則不能判斷真假第五節(jié)充 要 條 件一般地，我們把可以判斷真假的陳述句(或式子)叫做命題，其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題.注意：命題的真假只