1 中點(diǎn)弦問題

1、圓錐曲線常規(guī)題型方法歸納與總結(jié)中點(diǎn)弦問題;焦點(diǎn)三角形;直線與圓錐位置關(guān)系問題;圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問 題;求曲線的方程問題;存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題;兩線段垂直問題圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題-點(diǎn)差法與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次 方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。解題策略：具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為A3,y ）、B（x ,y ），將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，然后兩方程 1122相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系

2、及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請(qǐng)款討論），消去四 個(gè)參數(shù)。X 2 y 2如：（1）云+五=1（a b 0）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M（x0，y0），則有土 + 昂 k = 0。a 2 b 2x 2 y 2房3 * 0,b 0）與直線1相交于A、B，設(shè)弓海中點(diǎn)為M（x,y測(cè)有土 - L k = 0 a2 b2（3）y2=2px（p0）與直線 1 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M（x0,y0）,則有 2y0k=2p，即 y0k=p.經(jīng)典例題講解一、求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程x2 y2使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線x 2 + 4 y 2 = 16例1、過橢圓u +

3、 r =1內(nèi)一點(diǎn)M（2J）引一條弦164的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x ,y ）、B（x ,y ）1122M (2,1)為 AB 的中點(diǎn)X + x2 = 4又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x12 + 4y= 16 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 兩式才目減得(X 2 X 2) + 4()2 v 2)= 0 1212于是(x + x )(x 一x ) + 4(v + v )(v v ) = 0 HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 12121212 HYPERLINK

4、l bookmark28 o Current Document V V _ x + x _4 _ 1. x x 4(v + v)總=21212 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document ,1-1 ,八即kAB - - 2，故所求直線的方程為v1 =2(x - 2)，即x+2 v - 4 = 0。例2、已知雙曲線x2 ； = 1,經(jīng)過點(diǎn)M (1,1)能否作一條直線l，使l與雙曲線交于A、B ,且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)。若存在這樣的直線l，求出它的方程，若不存在，說明理 由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè) 的條

5、件。本題屬于中點(diǎn)弦問題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)M平分的弦AB，且A(x , v )、B(x , v )1122則 x + x = 2 v + v = 212，12v2x- 2 = 1v2x2 2 = 1兩式相減，得(x + x )(x - x ) - i(v + v )(v - v ) = 0 k = = 2121221212AB x 一 x故直線 AB : y 1 = 2(x 1)v 1 = 2(x 1)由 v2 消去 v，得 2x2 4x + 3 = 0 x2 二=1I 2A = (4)2 4 x 2 x 3 = 8 0這說明直線AB與雙曲線不相交，故被點(diǎn)M平分的弦不存在，

6、即不存在這樣的直線l。評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到 中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的M位置非常重要。(1)若中點(diǎn)M在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)M平分的 弦一般存在；(2)若中點(diǎn)M在圓錐曲線外，則被點(diǎn)M平分的弦可能不存在。二.求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)、弦中點(diǎn)軌跡y 2 x 2 1例3、已知橢圓矣+ = 1的一條弦的斜率為3,它與直線X = 5的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。解：設(shè)弦端點(diǎn)尸(氣，七)、八、1Q3 ,y )，弦PQ的中點(diǎn)M(x ,y )，則x =-2 20 00 2y 2 x2又+ = 175 25y2 x2+ = 17525兩式相減得25(y + y)(y

7、 - y.) + 75(x1 + x2)(x1 - x2) = 01212即 2y (y y ) + 3(x x ) = 0-2 =0 1212x x 2 y11、點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2，2)。y2 x2例4、已知橢圓* +天=1,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)P(x1, y1)、Q(x2,y2)，弦 PQ 的中點(diǎn)M(x, y)，則y1 + y 2 = 2 yy2 x2又+-=175 25y2 x2+ = 17525兩式相減得25(y + y )(y y ) + 75(x + x )(x x ) = 012121212即 y(y y ) + 3x(x x ) = 01212即2 =蘭

8、x1 x2yk=y=3x1 x2一 3x=3，即x+y=0 x + y = 0由(y2 x2+ =175 255Z 5.：353 5M、，得 P( C , C ) Q( c , c )2222點(diǎn)M在橢圓內(nèi) 5盤5再、它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為x + y = 0( x) 22求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程 例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為8(0, . 50)的橢圓被直線l: y = 3x-2截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求橢圓的方程。則 a2 b2 = 50y 2 x 2 解：設(shè)橢圓的方程為 + - = 1, a 2 b 2設(shè)弦端點(diǎn)P(x ,y )、Q(x ,y )，弦PQ的中點(diǎn)M(x ,y

9、)，則 TOC o 1-5 h z 112200=2 y 0=-1x =1，y = 3x - 2 = -1. x + x = 2x = 1，y + y 0200212012y 2 x2又 *2+ bL，兩式相減得b2(y + y )(y -y ) + a2(x + x )(x -x ) = 012121212即一b2(y -y ) + a2(x -x ) = 01212y1 - y2 =竺x - x b 2a2=3 b 2聯(lián)立解得a2 = 75，b2 = 25y2 x2 所求橢圓的方程是75+25=1四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱問題x2 y2例6、已知橢圓彳+十=1，試確定的m取值范圍，使

10、得對(duì)于直線y = 4x + m，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱。解：設(shè)P(x ,y )，P (x ,y )為橢圓上關(guān)于直線y = 4x + m的對(duì)稱兩點(diǎn)，P(x,y)為弦PP 1112221 2的中點(diǎn)，則 3x2 + 4y 2 = 12，3x 2 + 4y 2 = 121122兩式相減得，3(x2 x 2) + 4(y 2 y 2) = 012121212即 3(x + x )(x - x ) + 4(y + y )(y - y ) = 0y = 3x這就是弦翌中點(diǎn)P軌跡方程。它與直線y = 4x + m的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi) TOC o 1-5 h z I y = 3 xI x = -m3聯(lián)

11、立/ ，得 c則必須滿足y2 v3 x2，I y = 4x + mI y = -3m4即(3m)2V3-3m2解得-2 vm v 2成 HYPERLINK l bookmark117 o Current Document 4，1313五、注意的問題(1)雙曲線的中點(diǎn)弦存在性問題;(2)弦中點(diǎn)的軌跡應(yīng)在曲線內(nèi)。習(xí)題實(shí)戰(zhàn)1.直線y=x + 1與橢圓；-+ J = 1相交于A、B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)93兀2.已知，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條準(zhǔn)線的方程是x=b，傾斜角為一的直線4l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為(-；,；)，求橢圓C的方程.3.已知雙曲線X2 - I! = 1,經(jīng)過點(diǎn)M（1,1）能否作一條直線l,使l與雙曲線交于A、B 乙兩