2-123 謂詞邏輯(Predicate Logic)

1、第二章 謂詞邏輯Predicate Logic1前言蘇格拉底三段論(Socrates syllogism)：所有人都是要死的。蘇格拉底是人。所以蘇格拉底是要死的。 （Socrates, 古希臘哲學家,公元前470前399） (孔子,中國偉大哲學家,公元前551前479)2前言在命題邏輯中，如果設：P：凡人都是要死的；Q：蘇格拉底是人；R：蘇格拉底是要死的。前提：P,Q，結論：R。則(PQ)R表示上述推理，這個命題公式不是重言式。3前言在謂詞邏輯中，如果設：H(x)：x是人。 M(x)：x是要死的。 a：蘇格拉底。前提：(x)(H(x) M(x)，H(a) 結論：M(a)(x)(H(x)M(x)

2、H(a)M(a) 4前言 主語 謂語 客（個）體 謂詞客體可以獨立存在，它可以是具體的，也可以是抽象的。而用來描述客體的性質或關系的即是謂詞。為了刻畫命題內(nèi)部的邏輯結構，就需要研究謂詞邏輯（Predicate Logic）。5前言比如：P：張三是大學生Q：李四是大學生以上這些命題都具備有一個共同的特征就是：x是大學生。P(x)就可以代表這一類的命題。P(x) ： x是大學生，a：張三， b：李四，P(a)：張三是大學生P(b)：李四是大學生62-1 謂詞的概念與表示2-1.1 謂詞的概念定義1：謂詞（predicate）在命題中，用以刻畫客體詞的性質或客體詞之間關系的詞即是謂詞，謂詞相當于命題

3、中的謂語部分。例如： 他是三好學生 “他”是個體，“是三好學生”是表示個體性質的謂詞5大于3 “5”和“3”是個體，“大于”是表示個體之間關系的謂詞72-1.2 謂詞的表示：用大寫英文字母 A,B,C,D,表示謂詞，用小寫字母表示客體。前面的例子可表示為：(1) A(x): x是三好學生，h:他， A(h): 他是三好學生(2) G(x,y): x大于y， G(5,3): 5大于382-1.3如何利用謂詞表達命題：用謂詞表達命題必須包括謂詞字母和客體兩個部分。比如：A(x)可以表示“x是A”類型的命題，表達了客體的性質，稱為一元謂詞 。B(x,y) 可以表示“x小于y”類型的命題，表達了客體之

4、間的關系，稱為二元謂詞， 。L(x,y,z) 可以表示“點x在y與z之間”類型的命題，表達了客體之間的關系，稱為三元謂詞。用P(x1,x2,xn)表示n元謂詞，在這里n個客體變元的順序不能隨意改動。92-2 命題函數(shù)與量詞2-2.1 命題函數(shù)一般來說，當謂詞P給定， x1,x2,xn是客體變元 ，P(x1,x2,xn) 不是一個命題，因為他的真值無法確定，要想使它成為命題，要用n個客體常項代替n個客體變元。 P(x1,x2,xn) 就是命題函數(shù)。比如L(x,y)表示“x小于y”，那么L(2,3)表示了一個真命題“2小于3”。而 L(5,1)表示了一個假命題“5小于1”102-2.1 命題函數(shù)定

5、義1：簡單命題函數(shù)(simple propositional function)：由一個謂詞，一些客體變元組成的表達式稱為簡單命題函數(shù)。比如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z)簡單命題函數(shù)不是命題，只有當變元x,y,z等取特定的客體才確定了一個命題。對于n元謂詞，當n=0時，稱為0元謂詞，它本身就是一個命題，故命題是n元謂詞的一個特殊情況。112-2.1 命題函數(shù)比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元謂詞，L(x,3)表示“x小于3”是一元謂詞，L(2,3)表示“2小于3”是0元謂詞。因此可以將命題看成n元謂詞的一個特殊情況。 0元謂詞都是命題，命題邏輯中的簡單命題都可以用0元謂詞表示

6、。122-2.1 命題函數(shù)定義2：復合命題函數(shù)（compound propositional function）：由一個或n個簡單命題函數(shù)以及邏輯聯(lián)結詞組合而成的表達式。命題邏輯中的聯(lián)結詞在謂詞邏輯中含義完全相同。舉例說明：P56例，例132-2.1 命題函數(shù)定義3：謂詞填式單獨一個謂詞不是完整的命題，把謂詞字母后填以客體所得的式子稱為謂詞填式。例如：P(x)表示x3，則P(1)、 P(2)、 P(5)分別表示1大于3，2大于3，5大于3，P(1)、 P(2)、 P(5)即是謂詞填式。142-2.1 命題函數(shù)定義4：謂詞表達式簡單命題函數(shù)與邏輯聯(lián)結詞組合而成。示例分析 P59 (1) a),b

7、),c)設W(x):x是工人，z:小張，則原命題表示為：W(z) 設S(x):x是田徑運動員， B(x):x是球類運動員，h:他，則原命題表示為： S(h) B(h)設C(x):x是聰明的，B(x):x是美麗的，a:小莉，則原命題表示為： C(a) B(a)15注意：命題函數(shù)不是一個命題，只有客體變元取特定客體時，才能成為一個命題。但是客體變元在哪些范圍取特定的值，對命題函數(shù)以下兩方面有極大影響：(1) 命題函數(shù)是否能成為一個命題；(2) 命題的真值是真還是假。162-2.1 命題函數(shù)個體域(universe of discourse)：在命題函數(shù)中，命題變元的論述范圍稱為個體域。全總個體域：

8、個體域可以是有限的，也可以是無限的，把各種個體域綜合在一起，作為論述范圍的域，稱為全總個體域。172-2.2 量詞例題：符號化以下命題所有人都要死去。有的人的年齡超過百歲。以上給出的命題，除了有個體詞和謂詞以外，還有表示數(shù)量的詞，稱表示數(shù)量的詞為量詞。量詞有兩種：全稱量詞(universal quantifier)存在量詞(existential quantifier)182-2.2 量詞定義1全稱量詞(universal quantifier)用符號“”表示，“x”表示對個體域里的所有個體。(x)P(x)表示對個體域里的所有個體都有屬性P。表達“對所有的”，“每一個”，“對任一個”，“凡”，

9、“一切”等詞。The universal quantifier , an upside-down A, is used to build compound propositions of the form (x)P(x), which we read as “for all x, P(x).” Other translations of are “for each,” “for every,” “for any.” The compound proposition (x)P(x) is assigned truth value as follows:(x)P(x) is true if P(x

10、) is true for every x in U;otherwise (x)P(x) is false.192-2.2 量詞定義2存在量詞(existential quantifier)用符號“”表示。x表示存在個體域里的個體。(x)P(x)表示存在個體域里的個體具有性質P。符號“”稱為存在量詞，用以表達“某個”，“存在一些”，“至少有一個”，“對于一些”等詞。 The existential quantifier , a backward E is used to form propositions like （x）P(x), which we read as “there exists

11、 an x such that P(x),” “there is an x such that P(x),” or “for some x, P(x).” The compound proposition （x）P(x) has these truth values:（x）P(x) is true if P(x) is true for at least one x in U; （x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U. 202-2.2 量詞唯一存在量詞（unique quantifier）：“恰好存在一個”，用符號“!”表示。212

12、-2.2 量詞現(xiàn)在對以上兩個命題進行符號化，在進行符號化之前必須確定個體域。第一種情況個體域D為人類集合。設：F(x) ： x是要死的。G(x)： x活百歲以上。則有(x) F(x) 和 (x) G(x)這兩個命題都是真命題222-2.2 量詞 第二種情況個體域D為全總個體域。不能符號化為(x)F(x)和(x)G(x)，因為:(x)F(x)表示宇宙間一切事物都要死的，這與原命題不符。(x)G(x)表示宇宙間一切事物中存在百歲以上，這與原命題不符。232-2.2 量詞因此必須引入一個新的謂詞，將人分離出來。在全總個體域的情況下，以上兩個命題敘述如下：(1) 對于所有個體而言，如果它是人，則它要死

13、去。(2) 存在著個體，它是人并且活過百歲以上。于是，再符號化時必須引入一個新的謂詞 M(x)：x是人。稱這個謂詞為特性謂詞。242-2.2 量詞定義：特性謂詞在討論帶有量詞的命題函數(shù)時，必須確定其個體域，為了方便，可使用全總個體域。限定客體變元變化范圍的謂詞，稱作特性謂詞。利用特性謂詞，對以上兩個命題進行符號化(1) (x)( M(x)F(x) )(2) (x)( M(x)G(x) )25使用量詞時應注意的問題：在討論有量詞的命題函數(shù)時如果事先沒有給出個體域，那么都應以全總個體域為個體域。對全稱量詞，特性謂詞常做蘊含的前件。對存在量詞，特性謂詞常做合取項。26舉例說明：例1“有些人是要死的”

14、.解1：采用全體人作為個體域. 設: G(x): x是要死的.原命題符號化成: (x)G(x)解2：采用全總個體域. 設: M(x): x是人; G(x):x是要死的.原命題符號化成: (x)(M(x) G(x)27例2 “凡人都是要死的”.解1: 采用全體人作為個體域.設: G(x): x是要死的.原命題符號化成: (x)G(x) 解2: 采用全總個體域.設: M(x): x是人; G(x):x是要死的.原命題符號化成: (x)(M(x) G(x)28例3: “存在最小的自然數(shù)”。解1: 采用全體自然數(shù)作為個體域.設: G(x,y): xy;原命題符號化成: (x)(y)G(x,y)注意量詞

15、順序:(y)(x)G(x,y): “沒有最小的自然數(shù)”.解2: 設: F(x): x是自然數(shù); G(x,y): xy;原命題符號化成:(x)(F(x) (y)(F(y) G(x,y)29例4: “不存在最大的自然數(shù)”。解: 設: F(x): x是自然數(shù); G(x,y): xy;原命題符號化成:(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)或: (x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y)30例5: “火車比汽車快”。解: 設: F(x): x是火車; G(x): x是汽車;H(x,y): x比y快原命題符號化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)或: (x)(y)(F(x)G(y)H

16、(x,y)31例6: “有的汽車比火車快”。解: 設: F(x): x是汽車; G(x): x是火車;H(x,y): x比y快原命題符號化成: (x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)或: (x)(y)(F(x)G(y)H(x,y)32例7: “有些病人相信所有的醫(yī)生”。解: 設: F(x): x是病人; G(x): x是醫(yī)生;H(x,y): x相信y原命題符號化成:(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y)33例8: “存在唯一的對象滿足性質P”。解: 設: P(x): x滿足性質P原命題符號化成:(!x)P(x)或:設: P(x): x滿足性質P; E(x,y):x和y是同一個個體原

17、命題符號化成:(x)( P(x) (y)( P(y)E(x,y) ) )342-3 謂詞公式與翻譯書上已經(jīng)給出謂詞，命題函數(shù)，謂詞表達式。在數(shù)理邏輯中需要對能夠進行謂詞演算的公式進行準確的定義。這樣以后我們不再說謂詞，命題函數(shù)，謂詞表達式等, 而只研究謂詞公式。352-3.1 謂詞邏輯字母表：個體常項: a, b, c, , a1, b1, c1,個體變項: x, y, z, , x1, y1, z1,函數(shù)符號: f, g, h, , f1, g1, h1,謂詞符號: F, G, H, , F1, G1, H1, 量詞符號: , , !聯(lián)結詞符號: , , , , 括號與逗號: (, ), ，362-3.2 謂詞公式定義：謂詞公式（謂詞演算的合式公式）用wff表示（well form formulation) （1）A(x1,x2,xn)稱為原子謂詞公式，原子謂詞公式是謂詞公式。（2）若A是謂詞