2019-2021年高考數(shù)學(xué)（理）真題匯編——專題09 三角函數(shù)（教師版）

1、專題09 三角函數(shù)1.【2021全國高考真題】若，則( )A.B.C.D.【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進(jìn)行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果.【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：.故選：C.【點(diǎn)評】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論.2.【2021全國高考真題】下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是( )A.B.C.D.【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，則，A選項(xiàng)滿足條件，B不滿

2、足條件；取，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，CD選項(xiàng)均不滿足條件.故選：A.【點(diǎn)評】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù).3.【2021北京高考真題】函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值( )A.奇函數(shù)，最大值為2B.偶函數(shù)，最大值為2C.奇函數(shù)，最大值為D.偶函數(shù)，最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.4.【2021浙江高考真題】已知是互不相

3、同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，從而可判斷三個(gè)代數(shù)式不可能均大于，再結(jié)合特例可得三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.【點(diǎn)評】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪進(jìn)行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.5.【2021全國高考真題(理)】把函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐

4、標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，則( )A.B.C.D.【答案】B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令，則，所以，所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個(gè)單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不

5、變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換，屬基礎(chǔ)題，可以正向變換，也可以逆向變換求解，關(guān)鍵是要注意每一步變換，對應(yīng)的解析式中都是的變換，圖象向左平移個(gè)單位，對應(yīng)替換成，圖象向右平移a個(gè)單位，對應(yīng)x替換成，牢記“左加右減”口訣；圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長或縮短到原來的k倍，對應(yīng)解析式中替換成.6.【2021全國高考真題】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，則( )A.B.C.D.【答案】AC【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，所以，故，正確；B

6、：，所以，同理，故不一定相等，錯(cuò)誤；C：由題意得：，正確；D：由題意得：，故一般來說故錯(cuò)誤；故選：AC.7.【2020年高考全國卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)在，的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為A. B.C.D.【答案】C【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)，將它代入函數(shù)可得：，又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，所以，解得.所以函數(shù)最小正周期為故選C.【點(diǎn)評】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.8.【2020年高考全國卷理數(shù)】已知，且，則A.B.C.D.【答案】A【解析】，得，即，解得或(舍去)，又.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求

7、值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.【2020年高考全國卷理數(shù)】若為第四象限角，則A.cos20B.cos20D.sin20【答案】D【解析】方法一：由為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以，故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10.【2020年高考全國卷理數(shù)】已知2tantan(+)=7，則tan=A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】，令，則，

8、整理得，解得，即.故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題.11.【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日( Day).歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形(各邊均與圓相切的正邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值.按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是A. B. C. D. 【答案】A【解析】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，則

9、.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查圓周率的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12.【2020年新高考全國卷】下圖是函數(shù)y= sin(x+)的部分圖像，則sin(x+)= A. B. C. D.【答案】BC【解析】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A，當(dāng)時(shí)，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【點(diǎn)評】已知f(x)Asin(x)(A0，0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令x00(或x0)，即

10、可求出.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對A，的符號或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.13.【2019年高考全國卷理數(shù)】函數(shù)f(x)=在的圖像大致為A.B.C.D.【答案】D【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A.又，排除B，C，故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.解答本題時(shí)，先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案.14.【2019年高考全國卷理數(shù)】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)

11、論：f(x)是偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(，)單調(diào)遞增f(x)在有4個(gè)零點(diǎn)f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A. B.C.D.【答案】C【解析】為偶函數(shù)，故正確.當(dāng)時(shí)，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，又為偶函數(shù)，的最大值為，故正確.綜上所述，正確，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題也可畫出函數(shù)的圖象(如下圖)，由圖象可得正確.15.【2019年高考全國卷理數(shù)】下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|【答案】

12、A【解析】作出因?yàn)榈膱D象如下圖1，知其不是周期函數(shù)，排除D；因?yàn)?，周期為，排除C；作出圖象如圖2，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象如圖3，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞減，排除B，故選A.圖1圖2圖3【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，畫出各函數(shù)圖象，即可作出選擇.本題也可利用二級結(jié)論：函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；不是周期函數(shù).16.【2019年高考全國卷理數(shù)】已知(0，)，2sin2=cos2+1，則sin=A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，又，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題是對三角函數(shù)中二倍角公式、同角三

13、角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦的正負(fù)，運(yùn)算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細(xì)心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負(fù)很關(guān)鍵，切記不能憑感覺.解答本題時(shí)，先利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，再利用角范圍及正余弦平方和為1關(guān)系得出答案.17.【2019年高考全國卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)=sin()(0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：在()有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)在()有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)在()單調(diào)遞增的取值范圍是)其中所有正確結(jié)論的編號是A.B.C.D.【答案】D【解析】若在上有5個(gè)零點(diǎn)，可畫出大致圖象，由圖1可知，在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn).故正確；由圖1、2可知，在有且僅有2個(gè)或3

14、個(gè)極小值點(diǎn).故錯(cuò)誤；當(dāng)=sin()=0時(shí)，=k(kZ)，所以，因?yàn)樵谏嫌?個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)k=5時(shí)，當(dāng)k=6時(shí)，解得，故正確.函數(shù)=sin()的增區(qū)間為：，.取k=0，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上可得，在單調(diào)遞增.故正確.所以結(jié)論正確的有.故本題正確答案為D.【名師點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問題，難度大，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查數(shù)形結(jié)合思想.注意本題中極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)是動(dòng)態(tài)的，易錯(cuò)，正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易出錯(cuò).18.【2019年高考天津卷理數(shù)】已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正

15、周期為，且，則A.B.C.D.【答案】C【解析】為奇函數(shù)，；又，又，故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出的值即可.19.【2021北京高考真題】若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，寫出一個(gè)符合題意的_.【答案】(滿足即可)【分析】根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對稱，得出求解.【詳解】與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱， ，則，當(dāng)時(shí)，可取的一個(gè)值為.故答案為：(滿足即可).20.【2021全國高考真題(理)】已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為_.【答案】2【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗(yàn)

16、證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點(diǎn)法可得，即；所以.因?yàn)?，；所以由可得或；因?yàn)?，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點(diǎn)評】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點(diǎn)求解.21.【2020年高考全國III卷理數(shù)】16.關(guān)于函數(shù)f(x)=有如下四個(gè)命題：f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱.f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號是_.【答案】【解析】對于

17、命題，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題錯(cuò)誤；對于命題，函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，命題正確；對于命題，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題正確；對于命題，當(dāng)時(shí)，則，命題錯(cuò)誤.故答案為：.【點(diǎn)評】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.22.【2020年高考江蘇】已知=，則的值是 .【答案】【解析】故答案為：【點(diǎn)評】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.23.【2020年高考北京】若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個(gè)取值為_.【答案】(均可)【解析】因?yàn)?，所以，解得，故可?

18、故答案為：(均可).【點(diǎn)評】本題主要考查兩角和的正弦公式，輔助角公式的應(yīng)用，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.24.【2020年高考浙江】已知，則_，_.【答案】；【解析】，故答案為：【點(diǎn)評】本題考查二倍角余弦公式以及弦化切、兩角差正切公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.25.【2020年高考江蘇】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是 .【答案】【解析】當(dāng)時(shí).故答案為：【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.26.【2020年新高考全國卷】某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BCDG，垂足為C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積