《自動控制原理》（第六版）課件：第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正4

1、自 動 控 制 原 理第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正3第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學模型 與連續(xù)系統(tǒng)類似，要對離散系統(tǒng)進行分析和設計，首先就要對離散系統(tǒng)建立數(shù)學模型。描述離散系統(tǒng)的數(shù)學模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間等幾種，我們只介紹前面二種。 41. 離散系統(tǒng)的數(shù)學定義 將輸入序列 變換為輸出序列 的一種變換關系，稱為離散系統(tǒng)。記作線性離散系統(tǒng)；線性定常離散系統(tǒng)；52. 線性常系數(shù)差分方程及其解法(1) 差分：兩個系統(tǒng)相鄰采樣點信息之間的差值，即差分，近似于微商的概念。(2) 差分的階：取差分時，采樣點間信號變化率的不同稱為差分的階一階差分：1）與差分方程

2、有關的幾個概念二階差分：m階差分：6(3) 差分的方向：設當前采樣時刻為n，根據(jù)當前時刻的差分與相鄰的數(shù)據(jù)間的依賴關系，可把差分分為前向差分和后向差分。 前向差分：n時刻各階差分的獲得依賴于n時刻及未來時刻n+1,n+2數(shù)據(jù)二階前向差分：一階前向差分：7后向差分：n時刻各階差分的獲得依賴于n時刻及歷史時刻n-1,n-2數(shù)據(jù)一階后向差分：二階后向差分： 在自動控制系統(tǒng)中，由于差分的對象是采樣控制系統(tǒng)，具有因果關系，即當前時刻的數(shù)據(jù)與歷史時刻的數(shù)據(jù)聯(lián)系密切。因此經常采用的是后向差分，前向差分應用較少。我們討論的也主要是后向差分。82）差分方程與連續(xù)系統(tǒng)的微分方程相類似，離散系統(tǒng)的輸入-輸出的關系可

3、與采樣時刻及歷史時刻的輸入和輸出都有關系，其一般的表達式為：即：如果ai和bi均為常系數(shù)，上式為常系數(shù)線性差分方程。由于mn，上式稱為n階線性常系數(shù)差分方程。它在數(shù)學上代表一個線性定常離散系統(tǒng)。93）差分方程的求解 差分方程的求解也有經典法，但用起來十分不便。工程上常用的兩種方法：迭代法和z變換法。(1) 迭代法例: 差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，初始條件：r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。試用迭代法求出輸出序列c(k),k=0,1,210.根據(jù)給定的差分方程與輸出序列的初始條件，就可以用遞推關系，一步一步求出輸出序列。該過程可由計算機來完成。10c(0)

4、=0c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+5*6-6*1=25c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+5*25-6*6=90c(1)=1 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=1+5*90-6*25=301c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=1+5*301-6*90=966解：c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=1+5*966-6*301=3025c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=1+5*3025-6*966=9330c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=1+5*9330-6*30

5、25=28501c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=1+5*28501-6*9330=8652611給定差分方程后，先用z變換的實數(shù)位移定理對差分方程取z變換，得到z的代數(shù)方程，再對代數(shù)方程取z反變換，即得脈沖序列c(k)。例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始條件：c(0)=0,c(1)=1解：對上式兩邊取拉氏變換：Z變換法求解12 所以上式變?yōu)椋夯?33.脈沖傳遞函數(shù)(1) 脈沖傳遞函數(shù)定義： 在離散系統(tǒng)中，在初始條件為零的情況下，系統(tǒng)離散輸出信號的z變換與離散輸入信號的z變換之比，就是脈沖傳遞函數(shù)。14脈沖傳遞函數(shù)方塊圖如圖： G(s) G(s)R(s

6、)R*(s)s1s1C(s)C*(s)R(s)R*(s)G(z)G(z)C(s)s2s215如果描述線性定常離散系統(tǒng)的差分方程為在零初始條件下，對上式進行 z 變換,可得16例: c(nT)=r(n-k)T,求G(z)解：兩邊取 z 變換：C(z)=z-kR(z) 所以G(z)=z-k 它代表離散系統(tǒng)中有k個延遲環(huán)節(jié)，它把輸 入序列延遲k個采樣周期后輸出。 3、脈沖函數(shù)的求法 (1)由定義求；(2)求連續(xù)部分的傳遞函數(shù)：G(s)g(t)g*(t)zg*(t) G(z)，G(z)=zG*(s)=G*(s)|s=(1/T)lnz17例: 已知求脈沖傳遞函數(shù)解：184、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(1)采樣拉氏

7、變換的兩個重要性質：a.周期性： b. 如果采樣函數(shù)的拉氏變換 E*(s) 與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換 G(s) 相乘后，再離散化，則 E*(s) 可以從離散信號中提出來：19 (2)有串聯(lián)環(huán)節(jié)時的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) 求串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)與求連續(xù)函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)不完全相同，即使組成離散系統(tǒng)的環(huán)節(jié)完全相同，但由于采樣開關的數(shù)目和位置不同，G(z) 也會截然不同。 如果離散系統(tǒng)由二個串聯(lián)環(huán)節(jié)組成，由于其采樣開關的位置和數(shù)目不同，其G(z)不完全相同。 201）串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關 G1(s) G2(s)G(z)G1(z)G2(z)r(t)d*(t)r*(t)d(t)C(t) C*(t)D(z)=G1

8、(z)R(z)結論：環(huán)節(jié)間有采樣開關的幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)為各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。C(z)=G2(z)D(z)=G1(z)G2(z)R(z)所以 G(z)= C(z)/R(z)= G1(z)G2(z)R(z)D(z)C(z)21由傳函定義：G(z)=C(z)/R(z) =zG1(s)G2(s)=G1G2(z)結論：中間沒有采樣開關的幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其脈沖傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)相乘后積的z變換 G1(z)G2(z)G1G2(z)2) 兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關G1(s)G2(s)r(t)r*(t)C(t)C*(t)G(z)R(z)C(z)22例: 設 G1(s)=1/s ,G

9、2(s)=a/(s+a) 求上述兩種情況下的G(z)。解：a:b:可見 G1(z)G2(z)G1G2(z) ,但二者不同之處只表現(xiàn)在零點上，極點卻是一樣的，這是離散系統(tǒng)的特有現(xiàn)象。23(3)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) (1-e-Ts)/s G(s)r(t)r*(t)C(t)G(z)24例:設離散系統(tǒng)如圖所示，已知Gh(s)為零階保持器，Gp(s) =1/s(s+1)，求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：Gh(z) Gp(s)r(t)r*(t)c(t)C(z)R(z)25上圖沒有零階保持器時，可見有無零階保持器系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，二者的極點完全相同，只是零點不同。即零階保持器不影響離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點。這是離散系統(tǒng)的一個特點。26(4) 輸入端無采樣的情況 G1(s) G2(s)d(t)r(t)d*(t)sC(t)G(z) 因為輸入信號不是獨立的，故不能寫出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，只能寫出輸出信號的z變換形式。275、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) G(s) H(s)r(t)e*(t)e(t)C(t)C*(t)b(t)b*(t)28誤差脈沖