《自動控制原理》（第六版）課件：第4章 線性系統(tǒng)的根軌跡法1

1、自 動 控 制 原 理第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法3第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1 根軌跡法的基本概念 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能與系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點在s平面的位置密切相關(guān)，因此可根據(jù)閉環(huán)零極點的分布來間接地研究系統(tǒng)的性能。 但當(dāng)特征方程的階數(shù)高于四階時，求解零極點過程是比較復(fù)雜的。如果要研究系統(tǒng)參數(shù)變化對閉環(huán)特征方程式根的影響，那么就需要進行大量的反復(fù)計算，同時還不能直觀看出影響趨勢。因此對于高階系統(tǒng)的求根問題來說解析法就顯得很不方便。4第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1 根軌跡法的基本概念 1948年，WR 伊文思在他的一篇論文中提出了在復(fù)平面上由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求取閉環(huán)特征根的方法，并在

2、工程中得到了廣泛的應(yīng)用。 該方法就是根軌跡法。5第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1 根軌跡法的基本概念 根軌跡： 開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根在 s 平面上變化的軌跡。6第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1 根軌跡法的基本概念 根軌跡法是分析和設(shè)計線性定?？刂葡到y(tǒng)，求解特征方程和特征根的圖解方法，使用十分簡便； 特別是用于多回路系統(tǒng)的研究，應(yīng)用根軌跡法比用其它方法更為方便。 借助于根軌跡法，可以方便直觀地分析系統(tǒng)特征根與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。7第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1 根軌跡法的基本概念 本節(jié)主要介紹根軌跡的基本概念，根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系，并從閉環(huán)零、極點與開環(huán)

3、零、極點之間的關(guān)系推導(dǎo)出根軌跡方程，然后將向量形式的根軌跡方程轉(zhuǎn)化為常用的相角條件和模值條件形式，最后應(yīng)用這些條件繪制簡單系統(tǒng)的根軌跡。84-1 根軌跡法的基本概念 1. 根軌跡概念例：設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示： 特征方程：特征根：94-1 根軌跡法的基本概念1. 根軌跡概念 令開環(huán)增益K從零變到無窮，粗實線為系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢，而標(biāo)注的數(shù)值為與閉環(huán)極點位置相對應(yīng)的開環(huán)增益 K 的數(shù)值。104-1 根軌跡法的基本概念2. 根軌跡與系統(tǒng)性能（1）穩(wěn)定性：當(dāng)開環(huán)增益從零變到無窮時，如果根軌跡沒有越過虛軸進入右半s平面，則系統(tǒng)對所有的K值都是穩(wěn)定的，如果系統(tǒng)的根

4、軌跡越過虛軸進入s右半平面，此時根軌跡與虛軸交點處的K值，就是臨界開環(huán)增益。114-1 根軌跡法的基本概念2. 根軌跡與系統(tǒng)性能（2）穩(wěn)態(tài)性能：由開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點處的極點數(shù)可判斷出系統(tǒng)的型別，而此時的K值就是相應(yīng)的靜態(tài)誤差系數(shù)。如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。124-1 根軌跡法的基本概念2. 根軌跡與系統(tǒng)性能（3）動態(tài)性能： 當(dāng)0K0. 5時： 過阻尼系統(tǒng)； 當(dāng)K0. 5時： 臨界阻尼系統(tǒng)； 當(dāng)K0. 5時： 欠阻尼系統(tǒng)。134-1 根軌跡法的基本概念2. 根軌跡與系統(tǒng)性能 上述分析表明：根軌跡與系統(tǒng)性能之間有著比較密切的聯(lián)系。 對于高階系統(tǒng)而言，用

5、解析的方法繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，顯然是不適用的。希望能有簡便的圖解方法，可根據(jù)已知的開環(huán)傳遞函數(shù)迅速繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。為此，需研究閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系。144-1 根軌跡法的基本概念3. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系設(shè)控制系統(tǒng)如 圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：153. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系 一般情況下，前向通路傳遞函數(shù) G(s) 可表示為： 為前向通路增益； 為前向通路根軌跡增益。163. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系反饋通路傳遞函數(shù) H(s) 可表示為： 為反饋通路根軌跡增益。則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：稱為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。173. 閉環(huán)零

6、、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系 對于有 m 個開環(huán)零點和 n 個開環(huán)極點的系統(tǒng)，必有 f+l=m 和 q+h=n 。則 ：183. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系結(jié)論：1) 閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對單位反饋系統(tǒng)而言，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2) 閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路零點與反饋通路極點組成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。3) 閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及根軌跡增益 K* 均有關(guān)。194-1 根軌跡法的基本概念3. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系 根軌跡法的基本任務(wù)在于： 如何由已知的開環(huán)零、極點的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點。204-1 根軌跡法的基本概念4. 根軌跡方程 根軌跡是系統(tǒng)閉環(huán)所有極點的集合，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：即： 等價為：214-1 根軌跡法的基本