新版北師大八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)第一章三角形的證明(全章)

1、第一章 三角形的證明本章總體設(shè)計(jì)介紹本章是八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明的繼續(xù)，在“平行線的證明”一章中，我們給出了 8 條基本事實(shí)，并從其中的幾條基本事實(shí)出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論. 運(yùn)用這些基本事實(shí)和已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論.在這之前，學(xué)生已經(jīng)對(duì)圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)行了大量的探索，探索的同時(shí)也經(jīng)歷過(guò)一些簡(jiǎn)單的推理過(guò)程，已經(jīng)具備了一定的推理能力，樹(shù)立了初步的推理意識(shí)，從而為本章進(jìn)一步嚴(yán)格證明三角形有關(guān)定理打下了基礎(chǔ).本章所證明的命題都和等腰三角形、直角三角形有關(guān)，主要包括：1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理；2.直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理；3.線段的垂直平分

2、線性質(zhì)和判定定理；4.角平分線性質(zhì)定理和判定定理。本章教學(xué)建議對(duì)于已有命題的證明，教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生回憶過(guò)去的探索、說(shuō)理過(guò)程，從中獲取嚴(yán)格證明的思路；對(duì)于新增命題，教學(xué)過(guò)程中要重視學(xué)生的探索、證明過(guò)程，關(guān)注該命題與其他已有命題之間的關(guān)系；對(duì)于整章的命題，注意關(guān)注將這些命題納入一個(gè)命題系統(tǒng)，關(guān)注命題之間的關(guān)系，從而形成對(duì)相關(guān)圖形整體的認(rèn)識(shí)。對(duì)于證明的方法，除了注重啟發(fā)和回憶，還應(yīng)注意關(guān)注證明方法的多樣性，力圖通過(guò)學(xué)生的自主探索，獲得多樣的證明方法，并在比較中選擇適當(dāng)?shù)姆椒?。證明過(guò)程中注意揭示蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化、歸納、類(lèi)比等。作為初中階段幾何證明的最后階段，教學(xué)中應(yīng)要求學(xué)生掌握綜

3、合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規(guī)范的證明表述過(guò)程，達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)證明表述的要求。1.等腰三角形（一）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析在八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明，學(xué)生已經(jīng)感受了證明的必要性，并通過(guò)平行線有關(guān)命題的證明過(guò)程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗(yàn)；在七年級(jí)下，學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題，這些都為證明本節(jié)有關(guān)命題做了很好的鋪墊。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)將進(jìn)一步回顧和證明全等三角形的有關(guān)定理，并進(jìn)一步利用這些定理、公理證明等腰三角形的有關(guān)定理，由于具備了上面所說(shuō)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，為此，本節(jié)可以讓學(xué)生在回顧的基礎(chǔ)上，自主地尋求命題的證明，為此

4、，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1知識(shí)目標(biāo)：理解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，應(yīng)用這些公理證明等腰三角形的性質(zhì)定理；在證明過(guò)程中，進(jìn)一步感受證明過(guò)程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結(jié)論，能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式。2能力目標(biāo)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵(lì)學(xué)生在交流探索中發(fā)現(xiàn)證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；3情感與價(jià)值目標(biāo)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力，以

5、及獨(dú)立思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.4教學(xué)重、難點(diǎn) 重點(diǎn)：探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；難點(diǎn)：明確推理證明的基本要求如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表達(dá)等。三、教學(xué)過(guò)程分析學(xué)生課前準(zhǔn)備：一張等腰三角形紙片（供上課折疊實(shí)驗(yàn)用）；教師課前準(zhǔn)備：制作好的幾何畫(huà)板課件.本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：回顧舊知 導(dǎo)出公理；第二環(huán)節(jié)：折紙活動(dòng) 探索新知；第三環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過(guò)程；第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí) 鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：回顧舊知 導(dǎo)出公理活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過(guò)的8條基本事實(shí)中的5條：1.兩直線被第三條直線所截,如果同

6、位角相等,那么這兩條直線平行；2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）；4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）；5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）；在此基礎(chǔ)上回憶全等三角形的另一判別條件：1.（推論）兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS），并要求學(xué)生利用前面所提到的公理進(jìn)行證明；2.回憶全等三角形的性質(zhì)?；顒?dòng)目的：經(jīng)過(guò)一個(gè)暑假，學(xué)生難免有所遺忘，因此，在第一課時(shí)，回顧有關(guān)內(nèi)容，既是對(duì)前面學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個(gè)簡(jiǎn)單梳理，也為后續(xù)有關(guān)證明做了知識(shí)準(zhǔn)備；證明這個(gè)推論，可以讓學(xué)生熟悉證明的基本要求和步驟，為后面的其他證明做好

7、準(zhǔn)備?；顒?dòng)效果與注意事項(xiàng)：由于有了前面的鋪墊，學(xué)生一般都能得到該推論的證明思路，但由于有了一個(gè)暑假的遺忘，可能部分學(xué)生的表述未必嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范，教學(xué)中注意提請(qǐng)學(xué)生分析條件和結(jié)論，畫(huà)出簡(jiǎn)圖，寫(xiě)出已知和求證，并規(guī)范地寫(xiě)出證明過(guò)程。具體證明如下：已知：如圖，A=D,B=E,BC=EF.求證：ABCDEF.證明：A=D,B=E（已知），又A+B+C=180，D+E+F=180（三角形內(nèi)角和等于180），C=180-(A+B)，F(xiàn)=180-(D+E)，C=F（等量代換）。又BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）。第二環(huán)節(jié)：折紙活動(dòng) 探索新知活動(dòng)內(nèi)容：在提問(wèn)：“等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)

8、的，你能再次通過(guò)折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？并根據(jù)折紙過(guò)程，得到這些性質(zhì)的證明嗎？”的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過(guò)程。具體操作中，可以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙觀察、探索并寫(xiě)出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足。活動(dòng)目的：通過(guò)折紙活動(dòng)過(guò)程，獲得有關(guān)命題的證明思路，并通過(guò)進(jìn)一步的整理，再次感受證明是探索的自然延伸和發(fā)展，熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式?；顒?dòng)效果與注意事項(xiàng)：由于有了教師引導(dǎo)下學(xué)生的活動(dòng)，以及具體的折紙操作，學(xué)生一般都能得到有關(guān)等腰三角形的性質(zhì)定理，當(dāng)然，可能部分學(xué)生得到的定理并不全面，在學(xué)生小組的交流中，通過(guò)同伴的互相補(bǔ)充，一般都可以得到所有性質(zhì)定理。當(dāng)然，

9、在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意小組的巡視，提醒學(xué)生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關(guān)系從而得到“三線合一”。第三環(huán)節(jié)：明晰結(jié)論和證明過(guò)程活動(dòng)內(nèi)容：在學(xué)生小組合作的基礎(chǔ)上，教師通過(guò)分析、提問(wèn)，和學(xué)生一起完成以上兩個(gè)個(gè)性質(zhì)定理的證明，注意最好讓兩至三個(gè)學(xué)生板演證明,其余學(xué)生挑選其一證明.其后，教師通過(guò)課件匯總各小組的結(jié)果以及具體證明方法，給學(xué)生明晰證明過(guò)程。（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上高三條線重合活動(dòng)目的：和學(xué)生一起完成性質(zhì)定理的證明，可以讓學(xué)生自主經(jīng)歷命題的證明過(guò)程；明晰證明過(guò)程，意圖給學(xué)生明晰一定的規(guī)范，起到一種引領(lǐng)作用；活動(dòng)2，則是前面命題

10、的直接推論，力圖讓學(xué)生形成拓廣命題的意識(shí)，同時(shí)也是一個(gè)很好的鞏固練習(xí)。第四環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí) 鞏固新知活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生自主完成P4第2題：如圖（圖略）,在ABD中,C是BD上的一點(diǎn)，且ACBD，AC=BC=CD，（1）求證：ABD是等腰三角形；（2）求BAD的度數(shù)?；顒?dòng)目的：鞏固全等三角形判定公理的應(yīng)用，復(fù)習(xí)等腰三角形“等邊對(duì)等角”的用法。第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)活動(dòng)內(nèi)容：讓學(xué)生暢談收獲，包括具體結(jié)論以及其中的思想方法等?；顒?dòng)目的：形成及時(shí)總結(jié)語(yǔ)反思的意識(shí)與習(xí)慣，提高學(xué)生能力?；顒?dòng)效果與注意事項(xiàng)：教師注意對(duì)學(xué)生的感想進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并在學(xué)生交流的基礎(chǔ)上，明晰部分收獲供學(xué)生共享，如：1、具體有關(guān)性質(zhì)定理；2

11、、通過(guò)折紙活動(dòng)對(duì)獲得的定理給予了嚴(yán)格的證明，為今后解決有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題提供了豐富的理論依據(jù)3、體會(huì)了證明一個(gè)命題的嚴(yán)格的要求，體會(huì)了證明的必要性第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)P5習(xí)題1,2.四、教學(xué)反思本節(jié)關(guān)注學(xué)生已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的回顧過(guò)程，關(guān)注了 “探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的活動(dòng)過(guò)程，關(guān)注了學(xué)生自主探究過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性發(fā)揮較好，應(yīng)該說(shuō)取得了較好的教學(xué)效果。當(dāng)然，在具體活動(dòng)中，如何在學(xué)生活動(dòng)與規(guī)范表達(dá)之間形成一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠胶?，具體各部分時(shí)間比例的分配可能還需要根據(jù)班級(jí)學(xué)生具體狀況進(jìn)行適度的調(diào)整。 第一章 三角形的證明1. 等腰三角形（二）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析在八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明，學(xué)生已經(jīng)感受了證明

12、的必要性，并通過(guò)平行線有關(guān)命題的證明過(guò)程，習(xí)得了一些基本的證明方法和基本規(guī)范，積累了一定的證明經(jīng)驗(yàn)；在七年級(jí)下，學(xué)生也已經(jīng)探索得到了有關(guān)三角形全等和等腰三角形的有關(guān)命題；而前一課時(shí)，學(xué)生剛剛證明了等腰三角形的性質(zhì)，這為本課時(shí)拓展等腰三角形的性質(zhì)、研究等要三角形的判定定理都做了很好的鋪墊。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)將利用前一課時(shí)所證明的等腰三角形的性質(zhì)定理，進(jìn)一步研究等腰三角形的一些特殊性質(zhì)，探索等邊三角形的性質(zhì)。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1知識(shí)目標(biāo)：探索發(fā)現(xiàn)猜想證明等腰三角形中相等的線段，進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式，體會(huì)證明的必要性；2能力目標(biāo)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)

13、一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力；在命題的變式中，發(fā)展學(xué)生提出問(wèn)題的能力，拓展命題的能力，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性；在圖形的觀察中，揭示等腰三角形的本質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺(jué)；3情感與價(jià)值觀要求鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性4教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)一一猜想證明”的過(guò)程，能夠用綜合法證明有關(guān)三角形和等腰三角形的一些結(jié)論三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：提出問(wèn)題，引入新課；第二環(huán)節(jié)：自主探究；第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題 變式練習(xí)；第四

14、環(huán)節(jié)：拓展延伸、探索等邊三角形性質(zhì)； 第五環(huán)節(jié)： 隨堂練習(xí) 及時(shí)鞏固 ；第六環(huán)節(jié)：探討收獲 課時(shí)小結(jié)。第一環(huán)節(jié)：提出問(wèn)題，引入新課活動(dòng)內(nèi)容：在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：在等腰三角形中作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?活動(dòng)目的：回顧性質(zhì)，既為后續(xù)研究判定提供了基礎(chǔ)；同時(shí)，直接提出新的問(wèn)題，過(guò)渡自然，引入本課研究?jī)?nèi)容，而新的問(wèn)題是原有性質(zhì)的一個(gè)自然拓廣，有助于提高學(xué)生提出問(wèn)題的能力。第二環(huán)節(jié)：自主探究活動(dòng)內(nèi)容：在等腰三角形中自主作出一些線段(如角平分線、中線、高等)，觀察其中有哪些相等的線段，并嘗試給出證明?；顒?dòng)目的：讓學(xué)生

15、再次經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，并進(jìn)行證明，從中進(jìn)一步體會(huì)證明過(guò)程，感受證明方法的多樣性?；顒?dòng)效果與注意事項(xiàng)：活動(dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，如可以漸次提出問(wèn)題：你可能得到哪些相等的線段？你如何驗(yàn)證你的猜測(cè)？你能證明你的猜測(cè)嗎？試作圖，寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程；還可以有哪些證明方法？通過(guò)學(xué)生的自主探究和同伴的交流，學(xué)生一般都能在直觀猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出：等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中線相等并對(duì)這些命題給予多樣的證明。如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，學(xué)生得到了下面的證明方法：已知：如圖，在ABC中，AB=A

16、C，BD、CE是ABC的角平分線求證：BD=CE證法1：AB=AC，ABC=ACB(等邊對(duì)等角)1= EQ F(1,2) ABC，2= EQ F(1,2) ABC，1=2在BDC和CEB中，ACB=ABC，BC=CB，1=2BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) 證法2：證明：AB=AC，ABC=ACB又3=4在ABC和ACE中，3=4，AB=AC，A=AABDACE(ASA)BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)在證明過(guò)程中，學(xué)生思路一般還較為清楚，但畢竟嚴(yán)格證明表述經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，因此，教學(xué)中教師應(yīng)注意對(duì)證明規(guī)范提出一定的要求，因此，注意請(qǐng)學(xué)生板書(shū)其中部分證明過(guò)程，借助課件

17、展示部分證明過(guò)程；可能部分學(xué)生還有一些困難，注意對(duì)有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo)。第三環(huán)節(jié)：經(jīng)典例題 變式練習(xí)活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生思考，除了角平分線、中線、高等特殊的線段外，還可以有哪些線段相等？并在學(xué)生思考的基礎(chǔ)上，研究課本“議一議”：在課本圖14的等腰三角形ABC中，(1)如果ABD= EQ EQ F(1,3) ABC，ACE= EQ F(1,4) ACB呢?由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論?(2)如果AD= EQ F(1,2) AC，AE= EQ F(1,2) AB，那么BD=CE嗎?如果AD= EQ EQ F(1,3) AC，AE= EQ EQ F(1,3) AB呢?由此你得到什么結(jié)論?活動(dòng)目的：

18、提高學(xué)生變式能力、問(wèn)題拓廣能力，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性?；顒?dòng)注意事項(xiàng)與效果：教學(xué)中應(yīng)注意對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的經(jīng)驗(yàn)比較少，可能學(xué)生一時(shí)不知如何研究問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：把底角二等份的線段相等如果是三等份、四等份結(jié)果如何呢?從而引出“議一議”。由于課堂時(shí)間有限，如果學(xué)生全部解決上述問(wèn)題，時(shí)間不夠，可以在引導(dǎo)學(xué)生提出上述這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生證明其中部分問(wèn)題，而將其余問(wèn)題作為課外作業(yè)，延伸到課外；當(dāng)然，也可以對(duì)不同的學(xué)生提出不同的要求，如普通學(xué)生僅僅證明其中部分問(wèn)題，而要求部分學(xué)優(yōu)生解決所有的問(wèn)題，甚至要求這部分學(xué)優(yōu)生思考“還可以提出哪些類(lèi)似問(wèn)題，你是如何想到這些問(wèn)題的”。在學(xué)生解

19、決問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)注意揭示蘊(yùn)含其中的思想方法。下面是的課堂設(shè)計(jì)：生在等腰三角形ABC中，如果ABD= EQ F(1,3) ABC，那么BD=CE這和證明等腰三角形兩底角的角平分線相等類(lèi)似證明如下：AB=AC，ABC=ACB(等邊對(duì)等角)又ABD= EQ F(1,3) ABC, ACE= EQ F(1,3) ACB,ABD=ACE在BDC和CEB中，ABD=ACE，BC=CB，ACB=ABC,BDCCEB(ASA)BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)生如果在ABC中，AB=AC, ABD= EQ F(1,4) ABC，ACE= EQ F(1,4) ACB，那么BD=CE也是成立的因?yàn)锳B=

20、AC，所以ABC=ACB，利用等量代換便可得到ABD=ACE，BDC與CEB全等的條件就能滿足，也就能得到BD=CE由此我們可以發(fā)現(xiàn)：在ABC中，AB=AC，ABD= EQ F(1,n) ABC，ACE= EQ F(1,n) ACB，就一定有BD=CE成立生也可以更直接地說(shuō)：在ABC中，AB=AC，ABD=ACE，那么BD=CE 師這兩位同學(xué)都由特殊結(jié)論猜想出了一般結(jié)論請(qǐng)同學(xué)們把一般結(jié)論的證明過(guò)程完整地書(shū)寫(xiě)出來(lái)(教師可巡視指導(dǎo))下面我們來(lái)討論第(2)問(wèn)，請(qǐng)小組代表發(fā)言生在ABC中，AB=AC，如果AD= EQ F(1,2) AC，AE= EQ F(1,2) AB，那么BD=CE；如果AD= E

21、Q F(1,3) AC，AE= EQ F(1,3) AB，那么BD=CE由此我們得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：在ABC中，AB=AC，AD= EQ F(1,n) AC，AE= EQ F(1,n) AB，那么BD=CE證明如下：AB=AC又AD= EQ F(1,n) AC，AE= EQ F(1,n) AB，AD=AE在ADB和AEC中，AB=AC，A=A，AD=AE，ADBAEC(SAS)BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)生一般結(jié)論也可更簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鰹椋涸贏BC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE師這里的兩個(gè)問(wèn)題都是由特殊結(jié)論得出更一般的結(jié)論，這是我們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題常用的一種思想方法，它會(huì)使我

22、們得到意想不到的效果例如通過(guò)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)等腰三角形中，相等的線段有無(wú)數(shù)組這和等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形這個(gè)性質(zhì)是密不可分的第四環(huán)節(jié)：拓展延伸，探索等邊三角形性質(zhì)活動(dòng)內(nèi)容：提請(qǐng)學(xué)生在上面等要三角形性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，思考等邊三角形的特殊性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60.已知：如圖，ABC中，AB=BC=AC求證：A=B=C=60.證明：在ABC中，AB=AC，B=C(等邊對(duì)等角) 同理：C=A，A=B=C（等量代換） 又A+B+C180（三角形內(nèi)角和定理），A=B=C60活動(dòng)效果：學(xué)生一般都能得到這些定理的證明，能規(guī)范地寫(xiě)出對(duì)于“等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)

23、內(nèi)角都等于60”的證明過(guò)程： 第五環(huán)節(jié)： 隨堂練習(xí) 及時(shí)鞏固 活動(dòng)內(nèi)容：在探索得到了等邊三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生獨(dú)立完成以下練習(xí)。如圖,已知ABC和BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD 活動(dòng)意圖：在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書(shū)寫(xiě)格式。 第六環(huán)節(jié)：探討收獲 課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們通過(guò)觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，四、教學(xué)反思本節(jié)課關(guān)注了問(wèn)題的變式與拓廣，實(shí)際上引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，因而較好地提高了學(xué)生的研究能力、自主學(xué)習(xí)能力，但也應(yīng)注意根據(jù)學(xué)生的情況進(jìn)行適度的調(diào)整，因?yàn)閷W(xué)生先前這樣的

24、經(jīng)驗(yàn)較少，因而對(duì)一些班級(jí)學(xué)生而言，完成全部這些教學(xué)任務(wù)，可能時(shí)間偏緊，為此，教學(xué)中可以適當(dāng)減少一些內(nèi)容，將部分內(nèi)容延伸到課外，當(dāng)然，也可以設(shè)計(jì)為兩個(gè)課時(shí)，將研究過(guò)程進(jìn)一步展開(kāi)。 第一章 三角形的證明1. 等腰三角形（三）學(xué)生知識(shí)狀況分析 本節(jié)課是等腰三角形的第三課時(shí)，通過(guò)前面兩課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，并知道了用綜合法證明命題的基本要求和步驟。為學(xué)習(xí)等腰三角形的判定定理奠定了知識(shí)和方法的基礎(chǔ)。教學(xué)任務(wù)分析 本節(jié)課的主要任務(wù)是探索等腰三角形的判定定理，在復(fù)習(xí)性質(zhì)定理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)思考猜想新的命題，并進(jìn)行證明。這樣可以發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，同時(shí)引入反證法的基本證明

25、思路，學(xué)習(xí)與運(yùn)用反證法也成為本課時(shí)的教學(xué)任務(wù)之一。因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定為： 1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明3.了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。4.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。教學(xué)過(guò)程分析 本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)了以下六個(gè)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入-逆向思考，定理證明-鞏固練習(xí)-適時(shí)提問(wèn) 導(dǎo)出反證法-拓展延伸-課堂小結(jié)。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)引入 活動(dòng)過(guò)程：通過(guò)問(wèn)題串回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)交流。 問(wèn)題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？ 問(wèn)題2.我們是如何證明上述定理的？ 問(wèn)題3.我們把性質(zhì)定

26、理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立么？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等？ 活動(dòng)意圖：設(shè)計(jì)是問(wèn)題串是為引出等腰三角形的判定定理埋下伏筆。學(xué)生獨(dú)立思考是對(duì)上節(jié)課內(nèi)容有效地檢測(cè)手段。第二環(huán)節(jié)：逆向思考，定理證明活動(dòng)過(guò)程與效果預(yù)設(shè)：教師：上面，我們改變問(wèn)題條件，得出了很多類(lèi)似的結(jié)論，這是研究問(wèn)題的一種常用方法，除此之外，我們還可以“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一條途徑例如“等邊對(duì)等角”，反過(guò)來(lái)成立嗎?也就是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?生如圖，在ABC中，B=C，要想證明AB=AC，只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與AC成為對(duì)應(yīng)邊就可以了師你是如何想到的? 生由前面定理

27、的證明獲得啟發(fā)，比如作BC的中線，或作A的平分線，或作BC上的高，都可以把ABC分成兩個(gè)全等的三角形師很好同學(xué)們可在練習(xí)本上嘗試一下是否如此，然后分組討論生我們組發(fā)現(xiàn)，如果作BC的中線，雖然把ABC分成了兩個(gè)三角形，但無(wú)法用公理和已證明的定理證明它們?nèi)纫驗(yàn)槲覀兊玫降臈l件是兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩邊及其一邊的對(duì)角分別相等，是不能夠判斷兩個(gè)三角形全等的后兩種方法是可行的師那么就請(qǐng)同學(xué)們?nèi)芜x一種方法按要求將推理證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)出來(lái)(教師可讓兩個(gè)同學(xué)在黑板上演示，并對(duì)推理證明過(guò)程講評(píng))(證明略)師我們用“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題，獲得并證明了一個(gè)非常重要的定理等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形這一定

28、理可以簡(jiǎn)單敘述為：等角對(duì)等邊我們不僅發(fā)現(xiàn)了幾何圖形的對(duì)稱(chēng)美，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的對(duì)稱(chēng)美第三環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)活動(dòng)過(guò)程與效果：將書(shū)中的隨堂練習(xí)提前到此，是為了及時(shí)鞏固判定定理。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。已知：如圖，CAE是ABC的外角，ADBC且1=2求證：AB=AC證明：ADBC，1=B(兩直線平行，同位角相等)，2=C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 又1=2，B=CAB=AC(等角對(duì)等邊)第四環(huán)節(jié)：適時(shí)提問(wèn) 導(dǎo)出反證法活動(dòng)過(guò)程與效果：我們類(lèi)比歸納獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題也獲得了一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論如果否定命題的條件，是否也可獲得一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?我們一起來(lái)“想一想”：小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等

29、，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?有學(xué)生提出：“我認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的因?yàn)槲耶?huà)了幾個(gè)三角形，觀察并測(cè)量發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)角不相等，它們所對(duì)的邊也不相等但要像證明“等角對(duì)等邊”那樣卻很難證明，因?yàn)樗臈l件和結(jié)論都是否定的”的確如此像這種從正面人手很難證明的結(jié)論，我們有沒(méi)有別的證明思路和方法呢?我們來(lái)看一位同學(xué)的想法：如圖，在ABC中，已知BC，此時(shí)AB與Ac要么相等，要么不相等假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得C=B，但已知條件是BC“C=B”與已知條件“BC”相矛盾，因此ABAC你能理解他的推理過(guò)程嗎?再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個(gè)直角

30、，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)A=90，B=90，可得A+B=180，但ABA+B+C=180, “A+B=180”與“A+B+C=180”相矛盾，因此ABC中不可能有兩個(gè)直角引導(dǎo)學(xué)生思考：上一道面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢?引出反證法。都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法接著用“反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”，最后結(jié)合實(shí)例了解了反證法的含義第五環(huán)節(jié)：拓展延伸 活動(dòng)過(guò)程與效果：在一節(jié)課結(jié)束之際，為培養(yǎng)學(xué)生思維的綜合性、靈活

31、性特安排了2個(gè)練習(xí)。一個(gè)是通過(guò)平行線、角平分線判定三角形的形狀，再通過(guò)線段的轉(zhuǎn)換求圖形的周長(zhǎng)。另一個(gè)是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，考察學(xué)生多角度多維度思考問(wèn)題的能力。學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流。1.如圖，BD平分CBA，CD平分ACB，且MNBC，設(shè)AB=12，AC=18，求AMN的周長(zhǎng). .NMCBAD2.現(xiàn)有等腰三角形紙片,如果能從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā),將原紙片一次剪開(kāi)成兩塊等腰三角形紙片,問(wèn)此時(shí)的等腰三角形的頂角的度數(shù)? 第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）等腰三角形的判定方法有哪幾種？ （3）結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)劦妊切涡再|(zhì)和判定的區(qū)別和聯(lián)系（4）舉例談?wù)動(dòng)梅醋C法說(shuō)理的基本

32、思路 三角形的證明1. 等腰三角形（四）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析在前兩節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了獨(dú)立探索發(fā)現(xiàn)定理的過(guò)程，并能基本規(guī)范地證明相關(guān)命題，這些都為本節(jié)課進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)相關(guān)定理提供了較好的知識(shí)基礎(chǔ)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課，學(xué)生將探究等邊三角形判定定理和含30角的直角三角形的性質(zhì)定理，應(yīng)該說(shuō)，這兩個(gè)定理的證明和探索相對(duì)而言，并不復(fù)雜，更多的是前面定理的直接運(yùn)用，因此，本節(jié)課可以更多地讓學(xué)生自主探索。但第一個(gè)定理證明中，需要分類(lèi)討論，因此注意揭示其中的分類(lèi)思想；第2個(gè)定理結(jié)論比較特殊，直接從定理?xiàng)l件出發(fā)，學(xué)生一般難能得到這個(gè)結(jié)論，因此，教科書(shū)中設(shè)計(jì)了一個(gè)學(xué)生活動(dòng)，在活動(dòng)的基礎(chǔ)上“無(wú)意”

33、中發(fā)現(xiàn)了其特殊的結(jié)論，這實(shí)際上也是一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，因此也應(yīng)注意讓學(xué)生體會(huì)。為此，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)目標(biāo)理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。2能力目標(biāo)經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維經(jīng)歷實(shí)際操作，探索含有30角的直角三角形性質(zhì)及其推理證明過(guò)程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理的能力；在具體問(wèn)題的證明過(guò)程中，有意識(shí)地滲透分類(lèi)討論、逆向思維的思想，提高學(xué)生的能力。3情感與價(jià)值觀要求積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難

34、的意志，建立自信心.教學(xué)重點(diǎn)等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.含30角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明.4教學(xué)難點(diǎn)含30角的直角三角形性質(zhì)定理的探索與證明.引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題.三、教學(xué)過(guò)程分析學(xué)具準(zhǔn)備：兩個(gè)帶30度角的三角板。本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第二環(huán)節(jié)：自主探索；第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作 提出問(wèn)題；第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練 鞏固新知；第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時(shí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：提問(wèn)問(wèn)題，引入新課活動(dòng)內(nèi)容：教師回顧前面等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，直接提出問(wèn)題：等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等腰三角形呢？從而引入新課。活動(dòng)目

35、的：開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊。活動(dòng)效果：在老師的引導(dǎo)下，一般學(xué)生都能得出等邊三角形的性質(zhì)；對(duì)于等邊三角形的判別，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)多種情況，如直接從等邊三角形性質(zhì)出發(fā)，當(dāng)然也可能有學(xué)生考慮分步進(jìn)行，現(xiàn)確定它是等腰三角形，再增補(bǔ)條件，確定它是等邊三角形。這是教師可以適時(shí)提出問(wèn)題：如果已知一個(gè)三角形是等邊三角形的基礎(chǔ)上，如何確定它是等邊三角形呢？下面是活動(dòng)預(yù)設(shè)：生等腰三角形已經(jīng)有兩邊分別相等，所以我認(rèn)為只要腰和底相等，等腰三角形就成了等邊三角形生等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且分別都等于60我認(rèn)為等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60，等腰三角形就是等邊三角形了(此時(shí)，部分同學(xué)同意此

36、生的看法，部分同學(xué)不同意此生的看法，引起激烈地爭(zhēng)論教師可讓同學(xué)代表充分發(fā)表自己的看法)生我不同意這位同學(xué)的看法因?yàn)槿魏我粋€(gè)三角形滿足這個(gè)條件都是等邊三角形根據(jù)等角對(duì)等邊，三個(gè)內(nèi)角都是60，所以它們所對(duì)的邊一定相等但這一問(wèn)題中“已知是等腰三角形，滿足什么條件時(shí)便是等邊三角形”，我覺(jué)得他給的條件太多，浪費(fèi)!師給三個(gè)角都是60，這個(gè)條件的確有點(diǎn)浪費(fèi)，那么給什么條件不浪費(fèi)呢?下面同學(xué)們可在小組內(nèi)交流自己的看法(2)你認(rèn)為有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結(jié)論嗎?把你的證明思路與同伴交流(教師應(yīng)給學(xué)生自主探索、思考的時(shí)間)第二環(huán)節(jié)：自主探索活動(dòng)內(nèi)容：學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三

37、角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出下表：性質(zhì)判定的條件等腰三角形（含等邊三角形）等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60等邊三角形三個(gè)角都相等，且每個(gè)角都是60三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形活動(dòng)目的：經(jīng)歷定理的探究過(guò)程，即明確有關(guān)定理，同時(shí)提高學(xué)生的自主探究能力?；顒?dòng)注意事項(xiàng)與效果：由于有了第1環(huán)節(jié)的鋪墊，學(xué)生多能探究出：頂角是60的等腰三角形是等邊三角形；底角是60的等腰三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；三條邊都相等的三角形是等邊三角形。對(duì)

38、于前兩個(gè)定理的形式相近，教師可以進(jìn)一步提出要求：能否用更簡(jiǎn)捷的語(yǔ)言描述這個(gè)結(jié)論嗎?從而引導(dǎo)學(xué)生得出：有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形。在學(xué)生得出這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師注意引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明道理，給出證明的思路，選擇部分命題，給與嚴(yán)格的證明，由于“有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形”的證明需要分類(lèi)討論，因此，可以以此問(wèn)題作為對(duì)學(xué)生證明的要求，并與同伴交流證明思路并要求學(xué)生思考證明中的注意事項(xiàng)，從而點(diǎn)明其中的分類(lèi)思想，提請(qǐng)學(xué)生注意：思考問(wèn)題要全面、周到第三環(huán)節(jié)：實(shí)際操作 提出問(wèn)題 活動(dòng)內(nèi)容：教師直接提出問(wèn)題：我們還學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形，今天我們研究一個(gè)特殊的直角三角形：含30角的直角三角形。拿出三

39、角板，做一做：用含30角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？說(shuō)說(shuō)你的理由活動(dòng)目的：讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半活動(dòng)注意事項(xiàng)與效果：學(xué)生一般可以得出下面兩種圖形：其中第1個(gè)圖形是等邊三角形，對(duì)于該圖學(xué)生也可以得出BD= EQ F(1,2) AB，從而得出：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半注意，教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明為什么所得到的三角形是等邊三角形。具

40、體的說(shuō)明過(guò)程可以如下：方法1：因?yàn)锳BDACD，所以AB=AC又因?yàn)镽tABD中，BAD=60，所以ABD=60，有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形方法2：圖(1)中，B=C=60，BAC=BAD+CAD=30+30=60，所以B=C=BAC=60，即ABC是等邊三角形如果學(xué)生不能很快得出30度所對(duì)直角邊是斜邊一半，教師可以在圖上標(biāo)出各個(gè)字母，并要求學(xué)生思考其中哪些線段直接存在倍數(shù)關(guān)系，并在將三角板分開(kāi)，思考從中可以得到什么結(jié)論。然后在學(xué)生得到該結(jié)論的基礎(chǔ)上，再證明該定理。定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半已知：如圖，在RtABC中，C=90，BA

41、C=30求證：BC= EQ F(1,2) AB分析：從三角尺的拼擺過(guò)程中得到啟發(fā)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD證明：在ABC中，ACB=90，BAC=30B=60.延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD(如圖所示)ACB=90ACB=90AC=AC，ABCADC(SAS)AB=AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)ABD是等邊三角形(有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形)BC= EQ F(1,2) BD= EQ F(1,2) AB第四環(huán)節(jié)：變式訓(xùn)練 鞏固新知活動(dòng)1：直接提請(qǐng)學(xué)生思考剛才命題的逆命題：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30嗎?如果是，請(qǐng)你證

42、明它在師生分析的基礎(chǔ)上，給出證明：已知：如圖，在RtABC中，C=90，BC= EQ F(1,2) AB求證：BAC=30證明：延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，連接AD.ACB=90，ACD=90又AC=ACACBACD(SAS)AB=ADCD=BC，BC= EQ F(1,2) BD又BC= EQ F(1,2) AB，AB=BDAB=AD=BD，即ABD是等邊三角形B=60在RtABC中，BAC=30注意事項(xiàng)：該命題的證明中輔助線較復(fù)雜，但恰有前面原命題探究活動(dòng)過(guò)程的鋪墊，可以給學(xué)生一些啟示，因此，教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：從前面定理證明的輔助線的作法中能否得到啟示？活動(dòng)2 ：呈現(xiàn)例題，在師生

43、分析的基礎(chǔ)上，運(yùn)用所學(xué)的新定理解答例題。例題等腰三角形的底角為15，腰長(zhǎng)為2a，求腰上的高CD的長(zhǎng).分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtADC中，AC=2a而DAC是ABC的一個(gè)外角，而DAC=15=30，根據(jù)在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可求出CD解：ABC=ACB=15DAC=ABC+ACB=15+15=30CD= EQ F(1,2) AC= EQ F(1,2) 2a= a(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)活動(dòng)目的：在例題求解中鞏固新知。第五環(huán)節(jié)：暢談收獲 課時(shí)小結(jié)讓學(xué)生對(duì)課堂學(xué)習(xí)進(jìn)行小結(jié)，注意總結(jié)具體的知識(shí)、結(jié)論，以及解決問(wèn)題的方法和蘊(yùn)含

44、其中的思想，如分類(lèi)討論思想、逆向思維等。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè) 四、教學(xué)反思本節(jié)課，難點(diǎn)在于探究?jī)蓚€(gè)定理：“在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30”和“直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，由于設(shè)計(jì)了三角板操作的實(shí)踐活動(dòng)，有效地突破了難點(diǎn)，因而，課堂學(xué)生思維非常靈活，方法多樣，取得較好的效果。 第一章 三角形的證明2直角三角形（一）一、學(xué)情分析直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學(xué)生通過(guò)一些直觀的方法進(jìn)行了探索，所以學(xué)生對(duì)這些結(jié)論已經(jīng)有所了解，對(duì)于它們，教科書(shū)努力將證明的思路展現(xiàn)出來(lái)例如以前我們?cè)酶钛a(bǔ)法驗(yàn)證過(guò)勾股定理，而此處對(duì)勾股定理的

45、證明應(yīng)以我們認(rèn)定的幾條公理和由此推出的定理為依據(jù)進(jìn)行，雖然證明的方法有多種，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些都有難度，因此教科書(shū)將其兩種證明方法放在“讀一讀中，供有興趣的學(xué)生閱讀，不要求所有學(xué)生掌握，其逆定理的證明方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是有一定難度的二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：（1）掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題。（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立2能力目標(biāo)： （1）進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維（2）進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能

46、力3教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：了解勾股定理及其逆定理的證明方法結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立難點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的證明方法三、教學(xué)過(guò)程本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：講述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)：想一想；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)；第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。1：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過(guò)問(wèn)題1，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。問(wèn)題1一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中BCAC， BAC=30，AB=10 cm，CB1AB，B1CAC1，垂足分別是B1、C1，那么BC的長(zhǎng)是多少? B1C1

47、呢?解：在RtABC中，CAB=30，AB=10 cm，BC EQ F(1,2) AB EQ F(1,2) 105 cmCB1AB，B+BCB190又A+B90BCB1 A30在RtACB1中，BB1 EQ F(1,2) BC EQ F(1,2) 5 EQ F(5,2) cm25 cmAB1ABBB1102.57.5(cm)在RtC1AB1中，A30B1C1 EQ F(1,2) AB1 EQ F(1,2) 7.53.75(cm)解決這個(gè)問(wèn)題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“30角的直角三角形的性質(zhì)”由此提問(wèn)：“一般的直角三角形具有什么樣的性質(zhì)呢?”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)

48、圖形的方法得到了勾股定理如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證明勾股定理嗎?請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)課本P18，閱讀“讀一讀”，了解一下利用教科書(shū)給出的公理和推導(dǎo)出的定理，證明勾股定理的方法2：講述新課閱讀完畢后，針對(duì)“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請(qǐng)有興趣的同學(xué)課后閱讀（1）勾股定理及其逆定理的證明已知：如圖，在ABC中，C90，BCa，ACb，ABc求證：a2+b2c2證明：延長(zhǎng)CB至D，使BDb，作EBDA，并取BEc，連接ED、AE(如圖)，則ABCBEDBDE90，EDa(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等)四邊形ACDE是直角梯形S梯形ACDE EQ F(1,2) (

49、a+b)(a+b) EQ F(1,2) (a+b)2ABE180(ABCEBD)1809090，ABBESABE EQ F(1,2) c2S梯形ACDESABE+SABC+SBED， EQ F(1,2) (a+b) 2 EQ F(1,2) c2 + EQ F(1,2) ab + EQ F(1,2) ab, 即 EQ F(1,2) a2 + ab + EQ F(1,2) b2 EQ F(1,2) c2 + ab,a2+b2c2教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強(qiáng)調(diào)具體如下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等

50、于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康姆椒ǖ贸觥斑@個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論你能證明此結(jié)論嗎?師生共同來(lái)完成已知：如圖：在ABC中，AB2+AC2BC2求證：ABC是直角三角形分析：要從邊的關(guān)系，推出A90是不容易的，如果能借助于ABC與一個(gè)直角三角形全等，而得到A與對(duì)應(yīng)角(構(gòu)造的三角形的直角)相等，可證證明：作RtABC，使A90，ABAB，AC、AC(如圖)，則AB2AC2.(勾股定理)AB2AC2BC2，ABAB，ACBC2BC2BCBCABCABC（SSS）AA90(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)因此，ABC是直角三角形總結(jié)得勾股逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直

51、角三角形（2）互逆命題和互逆定理觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類(lèi)似的命題嗎?通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：上面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個(gè)定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個(gè)定理的條件這樣的情況，在前面也曾遇到過(guò)例如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，交換條件和結(jié)論，就得到“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”又如“在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊就等于斜邊的一半”交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30”。3：議一議觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)

52、下得出命題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系。讓學(xué)生暢所欲言，體會(huì)逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€(gè)命題寫(xiě)出“如果；那么”的形式，以及能夠?qū)懗鲆粋€(gè)命題的逆命題?；顒?dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語(yǔ)言上不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，要先讓這個(gè)疑問(wèn)交給學(xué)生來(lái)剖析，然后再總結(jié)?；顒?dòng)時(shí)可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題： 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎三角形中相等的邊所對(duì)的角相等三角形中相等的角所對(duì)的邊相等上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類(lèi)似的關(guān)系嗎?與同伴交流不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個(gè)命題的

53、條件是第一個(gè)命題的結(jié)論，第二個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命題的條件在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題，相對(duì)于逆命題來(lái)說(shuō)，另一個(gè)就為原命題再來(lái)看“議一議”中的三組命題，它們就稱(chēng)為互逆命題，如果稱(chēng)每組的第一個(gè)命題為原命題，另一個(gè)則為逆命題請(qǐng)同學(xué)們判斷每組原命題的真假逆命題呢?在第一組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題在第三組中，原命題和逆命題都是真命題由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題4：想一想要寫(xiě)出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，

54、然后把結(jié)論變換成條件，條件變換成結(jié)論，就得到了逆命題請(qǐng)學(xué)生寫(xiě)出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?它們都是真命題嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎?逆命題一定是真命題嗎? 并通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱(chēng)它們?yōu)榛ツ娑ɡ?其中逆命題成為原命題(即原定理)的逆定理 能舉例說(shuō)出我們已學(xué)過(guò)的互逆定理?如我們剛證過(guò)的勾股定理及其逆定理，“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”和“三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等”、“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”等5：隨堂練習(xí)說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假;

55、(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)如果ab0，那么a0， b0分析互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來(lái)應(yīng)不會(huì)有什么困難，尤其是對(duì)以“如果那么”形式給出的命題，寫(xiě)出其逆命題較為容易，但對(duì)于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)出逆命題解：(1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3)如果a0，60，那么ab0原命題是假命題，而逆命題是真命題6：課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道，

56、原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力7：課后作業(yè)習(xí)題15第1、2、3、4題四、教學(xué)反思學(xué)生對(duì)于命題和逆命題中題設(shè)和結(jié)論分析和把握不是太準(zhǔn)，部分學(xué)生尤其是在語(yǔ)言表述方面仍然有些欠缺，作為教師要關(guān)注到學(xué)生的個(gè)體差異，對(duì)于學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)有困難的學(xué)生要給予及時(shí)的幫助和指導(dǎo)。使每一個(gè)學(xué)生都能經(jīng)歷證明的過(guò)程，為他們提供充分地尋找證明思路的時(shí)間、空間和方法，體會(huì)證明的必要性另外學(xué)生對(duì)于命題成立的證明方法，鍛煉他們的演繹推理能力離目標(biāo)還是有一定的差距。所以作為教師一定不能急躁，要本著以學(xué)生為本的目的，注意學(xué)生個(gè)體差異，對(duì)學(xué)習(xí)證明有困難的學(xué)生給予幫助和指導(dǎo).第一章 三角形的證明

57、2直角三角形（二）一、學(xué)情分析學(xué)生在學(xué)習(xí)直角三角形全等判定定理“HL”之前，已經(jīng)掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一階段的學(xué)習(xí)過(guò)程中接觸到了證明三角形全等的推論，在本節(jié)課要掌握這個(gè)定理的證明以及利用這個(gè)定理解決相關(guān)問(wèn)題還是一個(gè)較高的要求。二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課是三角形全等的最后一部分內(nèi)容，也是很重要的一部分內(nèi)容，凸顯直角三角形的特殊性質(zhì)。在探索證明直角三角形全等判定定理“HL”的同時(shí)，進(jìn)一步鞏固命題的相關(guān)知識(shí)也是本節(jié)課的任務(wù)之一。因此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)定位為：1知識(shí)目標(biāo)：能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性利用“HL定理解決實(shí)際問(wèn)題2能力目標(biāo)：進(jìn)一步掌握推理

58、證明的方法，發(fā)展演繹推理能力三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)提問(wèn)；第二環(huán)節(jié)：引入新課；第三環(huán)節(jié)：做一做；第四環(huán)節(jié)：議一議；第五環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。1：復(fù)習(xí)提問(wèn)1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形。想一想，怎么畫(huà)？同學(xué)們相互交流。3、有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論。我們?cè)鴱恼奂埖倪^(guò)程中得到啟示，作了等腰三角形底邊上的中線或頂角的角平分線，運(yùn)用公理，證明三角形全等，從而得出“等邊對(duì)等角”。那么我們能否通過(guò)作等腰三角形底邊的高來(lái)證明“等邊對(duì)等角”要求學(xué)生完成，一

59、位學(xué)生的過(guò)程如下：已知：在ABC中， AB=AC 求證：B=C證明：過(guò)A作ADBC，垂足為C，ADB=ADC=90又AB=AC，AD=AD，ABDACD B=C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，有學(xué)生對(duì)上述證明方法產(chǎn)生了質(zhì)疑。質(zhì)疑點(diǎn)在于“在證明ABDACD時(shí)，用了“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)相等的兩個(gè)三角形全等”而我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)全等的時(shí)候知道，兩個(gè)三角形，如果有兩邊及其一邊的對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形是不一定全等的可以畫(huà)圖說(shuō)明(如圖所示在ABD和ABC中，AB=AB，B=B，AC=AD，但ABD與ABC不全等)” 也有學(xué)生認(rèn)同上述的證明。教師順?biāo)浦?，詢?wèn)能否證明：“在兩個(gè)直角三角形中，直

60、角所對(duì)的邊即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，從而引入新課。2：引入新課（1）“HL”定理由師生共析完成已知：在RtABC和RtABC中，C=C=90，AB=AB，BC=BC求證：RtABCRtABC證明：在RtABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)又在Rt A B C中，A C =AC=AB2一BC2 (勾股定理)AB=AB，BC=BC，AC=ACRtABCRtABC (SSS)教師用多媒體演示：定理 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示 從而肯定了第一位同學(xué)通過(guò)作底邊的高證明兩個(gè)三角形全等，從而得到“等邊對(duì)等角”