投影法及其分類

1、2.1 投影法及其分類2.2 點(diǎn)的投影2.3 直線的投影2.4 平面的投影 2.5 直線平面及兩平面的相對(duì)位置第2章 點(diǎn)、直線、平面的投影1平行投影法中心投影法1 投影法及其分類投影法投射線物體投影面投影投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法投影法。投射中心斜投影法正投影法2中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差。投 影 特 性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心3平行投影法投 影 特 性投影：大小與物體和投影面之間的距離無關(guān) 度量性較好。工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。4投影法中心投影法平行投影法正投影法

2、斜投影法5 PbAP 過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B3B2B1 點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。2.2.1 點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a2.2 點(diǎn)的投影62.2.2 點(diǎn)在兩投影面體系中的投影 投影面 正面投影面（簡稱 正面或V面） 水平投影面（簡稱 水平面或H面）投影軸 ox軸（簡稱x軸）V面與H面的交線HVOX兩個(gè)投影面互相垂直VH7空間點(diǎn)A在兩個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的正面投影XOVHAaaxa注意： 空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。8XOVHAaa點(diǎn)的投影規(guī)律:1.aaOX軸2. aax aaxxa=Aa（A到V面的距離）

3、=Aa（A到H面的距離）VaaaX投影面展開省略不畫繞X軸下旋轉(zhuǎn)90不動(dòng)H9HWV2.2.3 點(diǎn)在三投影面體系中的投影投影面正面投影面（簡稱正 面或V面）水平投影面（簡稱水 平面或H面）側(cè)面投影面（簡稱側(cè) 面或W面）投影軸OXZOX軸 V面與H面的交線OZ軸 V面與W面的交線OY軸 H面與W面的交線三個(gè)投影面互相垂直Y10空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a 點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影XZOVHWAaaaxaazayY11XYZOVHWAaaaxaazay繞Z軸向右旋轉(zhuǎn)90繞X軸向下旋轉(zhuǎn)90不動(dòng)投影面展開WVHaaxazZaayayaXYH YWO 省略不畫12XYZOVHWAa

4、aa點(diǎn)的投影規(guī)律:1. aaOX軸2. aax= aax=xaazayYWZazaXYHayWOaaxayHa aaOZ軸=y=Aa（A到V面的距離）aaz=x=Aa（A到W面的距離）aay=z=Aa （A到H面的距離）aazaay=13aaax例：已知點(diǎn)A的兩個(gè)投影a, a, 求第三aaaaxazaz解法一:解法二:aZOXYWYHZOXYHYW投影a。142.2.4 兩點(diǎn)的相對(duì)位置 兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x 坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前z 坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。baa abbXYHYWZo15( )a cc重影點(diǎn)： 空間兩點(diǎn)在某

5、一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。aac被擋住的投影加( )ZXYWOYH16aa abbb2.3 直線的投影 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同面投影用直線連接，就得到直線的同名投影。 直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性3.1 直線的投影特性 BAab直線垂直于投影面 投影重合為一點(diǎn) 積 聚 性直線平行于投影面 投影反映線段實(shí)長 ab=AB直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 ab=AB.cosABabAMBa（m）（b）172.3.1 直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線 平行于某一投影面而 與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面)

6、正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面 其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。18 投影面平行線XZbaaabbOYHYW水平線實(shí)長在其平行的那個(gè)投影面 上的投影反映實(shí)長，并 反映直線與另兩投影面 傾角的真實(shí)大小。另兩個(gè)投影面上的投影 平行于相應(yīng)的投影軸， 其到相應(yīng)投影軸距離反 映直線與它所平行的投 影面之間的距離。投影特性：VHabAaaBbbWZoXY19判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角: 與V面的夾角:與W面的夾角:實(shí)長實(shí)長baababbaabba直線與投影面夾角的表示法：Z

7、OXYWYHZOXYHYW20 反映線段實(shí)長，且垂直 于相應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線2.另外兩個(gè)投影，1. 在其垂直的投影面 上，投影有積聚性。投影特性:aba(b)abc(d)cddcef efe(f)ZXOYHYWZOXYHYWZXOYHYW21 一般位置直線ZYHaOXabbaYWb 三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實(shí)長。投影特性:HaaAbVBbWabZXOY22cacXabcYWYHbOaZbcAHacaVbBabcCbW2.3.2 直線與點(diǎn)的相對(duì)位置 若點(diǎn)在直線上,

8、則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。 點(diǎn)的投影將線段的同面投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb定比定理XYOZ23例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。cabcababcabc在不在abcaabcbc不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?XXZXOYHYW24例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一： （應(yīng)用第三投影）解法二： （應(yīng)用定比定理）aa bbkabkkaabbkkXZOXYHYW252.3.3 兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為： 平行、相交、交叉（異面）。 兩直線平行 空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。bcdHAdaCc

9、VaDbBacdbcdabOXOX26例：判斷圖中兩條直線是否平行。 對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。 對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同面投影互相平行，空間直線不一定平行。cbaddbacbdcaZXOYHYWdZabccabdOXYHYWabcd272.3.4 兩直線相交 若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。HacVXbDacdkCAkKdbOBcabd bacdkkX28cdkkd例1：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影abbacX29例2：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置。cabda

10、bcd相交嗎？不相交！為什么？ 交點(diǎn)不符合空間一點(diǎn)的投影特性。判斷方法？ 應(yīng)用定比原理 利用側(cè)面投影X302.3.5 兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？不相交！ 交點(diǎn)不符合點(diǎn)的投影規(guī)律！cacabddbOXaccAaCVbHddDBbX31accAaCVbHddDBbcacabddbOX1(2)21投影特性： 同面投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)43(4 )33(4 )34322.4 平面的投影2.4.1 平面的表示法不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn) 直線及線外一點(diǎn)abcabcdd兩平行直線abcab

11、c兩相交直線平面圖形cabcabcababcbacabcXXXXX332.4.2 平面的投影特性垂直傾斜投 影 特 性平面平行投影面投影反映實(shí)形平面垂直投影面投影積聚成直線平面傾斜投影面投影為縮小類似形 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平行ABCabcABCabcABCabc341. 平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面， 垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面 側(cè)垂面 鉛垂面 側(cè)平面 正平面 水平面35cc 投影面垂直面abcabba積聚性投影特性： 在它垂直的投

12、影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。ZXOYHYW36abcabcabc 投影面平行面實(shí) 形投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。ZXOYHYW37abcacbabc 一般位置平面三個(gè)投影都為類似形。投影特性：ZXOYHYW38acbcaabcb例：正垂面ABC與H面的夾角為45，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求ABC的正面投影及側(cè)面投影。思考：此題有幾個(gè)解？45ZXOYHYW392.4.3 平面上的直線和點(diǎn)位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件： 平面上取

13、任意直線MNABM若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。 若一直線過平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。 PQ40abcbca d d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在 平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：nmnmabcbcaXX41例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距 離為10mm。nmnm10cabcab 唯一解！有多少解？X42 平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。bacakbc 面上取點(diǎn)的方法：dd利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助

14、線求解kabcabkckXX43bckadad bckb例2：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。解法一：解法二：cadadbcXX44de1010mm例3：在ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，并使其到H面V面的 距離均為10mm。bcXbcaaOed452.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。2.5.1 平行問題 直線與平面平行 若平面外的一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線與該平面平行。直線與平面平行 平面與平面平行46nacbmabcmn例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。ddX有無數(shù)解。47例2：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面 ABC。cbamabc

15、mnnddX48 兩平面平行 若一平面上的兩相交直線分別平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。 若兩投影面垂直面相互平行，則它們具有積聚性的那組投影必相互平行。cfbdeaabcdeffgabcdefgabcdeXX49acebbaddfcfekhkhOXmm由于ek不平行于ac,故兩平面不平行。例：判斷平面ABDC與平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMH50 直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。2.5.2 相交問題直線與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交要討論的問題：(1) 求直線與平面的交點(diǎn)。(2) 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見性。 我們只討論直線

16、與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。51例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。空間及投影分析: 平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn) 判別可見性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。 還可通過重影點(diǎn)判別可見性。 平面為特殊位置abcmncnbamkk1(2)21X52km(n)bmncbaac 直線為特殊位置空間及投影分析: 直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn) 判別可見性 點(diǎn)位于平面上，在前，點(diǎn)位于MN上，在后，故k1為不可見。k2 11 (2)X53 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題： 求兩平面的交線方法： 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。54abcdefcfdbeam(n)例：求兩平面的交線 MN并判別可見性?？臻g及投影分析： 求交線 判別可見性 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。mn 平面ABC與DEF都為 正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，