chap7估計理論教學(xué)內(nèi)容

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。chap7估計理論-設(shè)某地區(qū)的風(fēng)速SKIPIF10服從SKIPIF10，密度函數(shù)為SKIPIF10SKIPIF10，試按頻率估計概率的原理(?)，在SKIPIF10，n=5求百年一遇的最大風(fēng)速SKIPIF10值（即SKIPIF10大于SKIPIF10的概率為1%）.解由已知易求得SKIPIF10的特征函數(shù)為SKIPIF10.設(shè)SKIPIF10為樣本，則SKIPIF10的特征函數(shù)為SKIPIF10.現(xiàn)記SKIPIF10,則SKIPIF10的特征函數(shù)為SKIPIF10.由此可知，SKIPIF10服從自由度為

2、SKIPIF10的SKIPIF10分布.由題意知，欲求SKIPIF10值，使得SKIPIF10,即SKIPIF10.由SKIPIF10知SKIPIF10,從而SKIPIF10.對任一地區(qū)，地震的震級數(shù)SKIPIF10與其發(fā)生的次數(shù)n之間有經(jīng)驗公式SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10，試按頻率估計概率原理，求震級SKIPIF10的分布函數(shù).解由題意知震級SKIPIF10小于SKIPIF10的頻率為SKIPIF10用頻率估計概率原理，震級SKIPIF10小于SKIPIF10的概率為可用上式估計SKIPIF10從而SKIPIF10的分布函數(shù)為SKIPIF10.設(shè)總體SKIPIF10服從正

3、態(tài)SKIPIF10今觀察了二十次，只記錄是否為負值，若事件“SKIPIF10”出現(xiàn)了十四次，試按頻率估計概率的原理，求估計值SKIPIF10的估計值.解設(shè)SKIPIF10，則SKIPIF10.于是SKIPIF10.由SKIPIF10知SKIPIF10，從而SKIPIF10.設(shè)總體SKIPIF10的密度函數(shù)為SKIPIF10，SKIPIF10為其樣本，求參數(shù)SKIPIF10的極大似然估計量.（1）SKIPIF10；（2）SKIPIF10（3）SKIPIF10（4）SKIPIF10解（1）我們知道，SKIPIF10的似然函數(shù)為SKIPIF10，取對數(shù)得，SKIPIF10.將SKIPIF10按從小到

4、大的順序排列，記作SKIPIF10，則有SKIPIF10當(dāng)SKIPIF10時,因為SKIPIF10在SKIPIF10處取最大值,所以SKIPIF10.當(dāng)SKIPIF10時,因為SKIPIF10在滿足SKIPIF10的一切SKIPIF10處都取最大值,所以滿足SKIPIF10的一切SKIPIF10都是SKIPIF10的極大似然估計.5、設(shè)總體SKIPIF10服從二項分布SKIPIF10，SKIPIF10為正整數(shù)，SKIPIF10為其樣本，求SKIPIF10及SKIPIF10的矩法估計量.解由二項分布可知，SKIPIF10.由方程組SKIPIF10解得SKIPIF10.6、設(shè)總體SKIPIF10服

5、從對數(shù)正態(tài)分布，密度函數(shù)為SKIPIF10，SKIPIF10為其樣本，求SKIPIF10及SKIPIF10的矩法估計量.解由已知得SKIPIF10，SKIPIF10.則矩估計方程組為SKIPIF10.令SKIPIF10，則方程組變成SKIPIF10顯然SKIPIF10，由此解得SKIPIF10，即SKIPIF10，從而解得SKIPIF10.7、設(shè)SKIPIF10為電子元件的失效時間（單位：小時），其密度函數(shù)為SKIPIF10(即隨機變量SKIPIF10具有在左邊SKIPIF10截頭的，參數(shù)為SKIPIF10的指數(shù)分布).假定n個元件獨立地試驗并記錄其失效時間分別為SKIPIF10.（1）當(dāng)SK

6、IPIF10為已知時，求SKIPIF10的極大似然法估計量；（2）當(dāng)SKIPIF10已知時，求SKIPIF10的極大似然法估計.解（1）SKIPIF10的似然函數(shù)為SKIPIF10，取對數(shù)得SKIPIF10.令SKIPIF10，解得SKIPIF10.(2)SKIPIF10的似然函數(shù)為SKIPIF10,取對數(shù)得SKIPIF10,顯然要使SKIPIF10最大，只須SKIPIF10最小.取SKIPIF10，SKIPIF108、設(shè)總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10SKIPIF10為其樣本.(1)求k，使SKIPIF10為SKIPIF10的無偏估計量；（2）求k，使SKIPIF10為SKIPI

7、F10的無偏估計量.解（1）SKIPIF10.SKIPIF10令SKIPIF10，則SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10.從而SKIPIF10.故當(dāng)SKIPIF10時，SKIPIF10，這時SKIPIF10為SKIPIF10的無偏估計量.(2)SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10.當(dāng)SKIPIF10時，SKIPIF10,這時SKIPIF10為SKIPIF10的無偏估計量.9、設(shè)總體SKIPIF10的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF10，方差為SKIPIF10，SKIPIF10是它的樣本，SKIPIF10為SKIPIF10的任一線性無偏估計量.證明其

8、樣本平均SKIPIF10與SKIPIF10的相關(guān)系數(shù)為SKIPIF10.證明相關(guān)系數(shù)SKIPIF10,故要證其樣本平均SKIPIF10與SKIPIF10的相關(guān)系數(shù)為SKIPIF10.只需證SKIPIF10.由于SKIPIF10是SKIPIF10線性無偏估計量，故可令SKIPIF10，SKIPIF10.SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10.而SKIPIF10SKIPIF10.于是SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10.從而知SKIPIF10.所以SKIPIF10.10、設(shè)總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10SKIPIF10，SKIPIF10為其樣本，

9、試證下述三個估計量（1）SKIPIF10；（2）SKIPIF10；（3）SKIPIF10都是SKIPIF10的無偏估計量，請問哪一個方差最小.11、設(shè)總體SKIPIF10的數(shù)學(xué)期望為SKIPIF10，SKIPIF10及SKIPIF10分別為參數(shù)SKIPIF10的兩個無偏估計量，它們的方差分別為SKIPIF10及SKIPIF10，相關(guān)系數(shù)為SKIPIF10，試確定常數(shù)SKIPIF10，使得SKIPIF10有最小方差.解SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10.令SKIPIF10，有SKIPIF10解得SKIPIF10從而SKIPIF10為保證SKIPIF10，要求SKIP

10、IF10.12、設(shè)總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10SKIPIF10為總體SKIPIF10的樣本，SKIPIF10為總體SKIPIF10的樣本，且這兩個樣本相互獨立.(1)試求SKIPIF10的無偏估計量SKIPIF10；（2）如果SKIPIF10固定，問SKIPIF10及SKIPIF10如何配置，可使SKIPIF10的方差達到最小.解：(1)SKIPIF10,從而SKIPIF10可作為SKIPIF10的無偏估計量.(2)由于SKIPIF10,于是問題變?yōu)楫?dāng)SKIPIF10固定,如何配置SKIPIF10及SKIPIF10,使得SKIPIF1

11、0最小.14、設(shè)總體SKIPIF10的密度函數(shù)為SKIPIF10SKIPIF10為其樣本.試證SKIPIF10及SKIPIF10都是參數(shù)SKIPIF10的無偏估計量，問哪個有效？解我們知道SKIPIF10，SKIPIF10.由已知得SKIPIF10,從而知SKIPIF10,所以SKIPIF10SKIPIF10.SKIPIF10SKIPIF10.故SKIPIF10及SKIPIF10均是參數(shù)SKIPIF10的無偏估計.又SKIPIF10SKIPIF10故SKIPIF10.SKIPIF10SKIPIF10.從而SKIPIF10.因此SKIPIF10,從而SKIPIF10更有效.15、設(shè)SKIPIF1

12、0及SKIPIF10是參數(shù)SKIPIF10的兩個獨立的無偏估計量，且SKIPIF10的方差為SKIPIF10的方差的兩倍，試確定常數(shù)SKIPIF10及SKIPIF10，使得SKIPIF10為參數(shù)SKIPIF10的無偏估計量，并且在所有這樣的線性估計中方差最小.解由已知得SKIPIF10，且SKIPIF10.為使SKIPIF10，則SKIPIF10.下面我們來確定SKIPIF10及SKIPIF10，使得SKIPIF10最小.SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10.易知，當(dāng)SKIPIF10時，SKIPIF10取得最小值.故當(dāng)SKIPIF10，SKIPIF10時，SKIPIF10為最小線性

13、無偏估計.16、設(shè)SKIPIF10和SKIPIF10分別是參數(shù)SKIPIF10的可估計函數(shù)SKIPIF10和SKIPIF10的最優(yōu)無偏估計量，試證SKIPIF10是SKIPIF10的最優(yōu)無偏估計量，其中SKIPIF10為常數(shù).解由于SKIPIF10與SKIPIF10分別為參數(shù)SKIPIF10的可估計函數(shù)SKIPIF10和SKIPIF10的最優(yōu)無偏估計量，故由定理7.2.1，對任意滿足SKIPIF10的SKIPIF10有SKIPIF10，SKIPIF10.于是SKIPIF10且SKIPIF10.再一次應(yīng)用定理7.2.1可知SKIPIF10是SKIPIF10的最優(yōu)無偏估計量.17、設(shè)總體SKIPI

14、F10服從正態(tài)SKIPIF10，總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10，SKIPIF10為總體SKIPIF10的樣本，SKIPIF10為總體SKIPIF10的樣本，且這兩個樣本相互獨立.（1）試建立SKIPIF10的置信水平為SKIPIF10的區(qū)間估計;(2)假定SKIPIF10，試建立SKIPIF10的置信水平為SKIPIF10的區(qū)間估計.解:(1)由抽樣分布定理知SKIPIF10,SKIPIF10.令SKIPIF10,則SKIPIF10.對于給定的置信度SKIPIF10,查表得SKIPIF10與SKIPIF10,使得SKIPIF10.從而得SKIPIF10的置信區(qū)間為SKIPIF10

15、.(2)假設(shè)SKIPIF10.由已知得SKIPIF10,SKIPIF10,故SKIPIF10,從而SKIPIF10,于是對于給定的置信度SKIPIF10,查正態(tài)分布表得SKIPIF10,從而得SKIPIF10的置信區(qū)間為SKIPIF10,SKIPIF10.18、設(shè)總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10，總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10，其中SKIPIF10未知，SKIPIF10及SKIPIF10分別為其樣本，且這兩個樣本相互獨立.求SKIPIF10的置信水平為SKIPIF10的區(qū)間估計.(這個題出得沒什么意義,略過).19、設(shè)總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10，已知

16、SKIPIF10，試分別求置信水平為SKIPIF10的SKIPIF10及SKIPIF10的區(qū)間估計.解由已知得SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10SKIPIF10從而SKIPIF10.根據(jù)SKIPIF10查分布表得SKIPIF10于是知SKIPIF10的置信區(qū)間為SKIPIF10即SKIPIF10.下求SKIPIF10的區(qū)間估計.查表得SKIPIF10.于是知置信區(qū)間為SKIPIF10即SKIPIF10.20、若從自動車床加工的一批零件中隨機抽取10個，測得其尺寸與規(guī)定尺寸的偏差（單位：微米）分別為：2、1、-2、3、2、4、-2、5、3、4.零件尺寸的偏差記作SKIPIF10，假設(shè)總體SKIPIF10服從正態(tài)SKIPIF10，試求SKIPIF10及SKIPIF10的無偏估計量，并求置信水平為SKIPIF10的區(qū)間估計.解：易知SKIP