第九章二重積分的計(jì)算

1、*三、二重積分的換元法 第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二重積分的計(jì)算法 第九章 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則若D為Y 型區(qū)域則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , 為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域 , 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上

2、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1. 計(jì)算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例2. 計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例3. 計(jì)算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :先對(duì) x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例4. 交換下列積分順序解: 積分域由兩部分組成:視為Y型區(qū)域 , 則

3、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例5. 計(jì)算其中D 由所圍成.解: 令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)則特別, 對(duì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 若 f 1 則可求得D 的面積思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試答: 問 的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例6. 計(jì)算其中解: 在極坐標(biāo)系下

4、原式的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),利用例6的結(jié)果, 得故式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例7. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分換元法*三、二重積分換元法 滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3) 變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的 ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的 直線分割區(qū)域 任取其

5、中一個(gè)小矩形, 其頂點(diǎn)為通過變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理得當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例8. 計(jì)算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域. 解: 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例9. 計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S .解: 令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例10. 試計(jì)算橢球體解: 由

6、對(duì)稱性令則D 的原象為的體積V.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)閯t 若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則(2) 一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)1. 設(shè)且求提示:交換積分順序后, x , y互換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 交換積分順序提示: 積分域如圖機(jī)動(dòng)