工程統(tǒng)計(jì)學(xué)課件：第2章 參數(shù)估計(jì)

1、第 2 章 參數(shù)估計(jì)第 2 章 參數(shù)估計(jì)2.1 參數(shù)估計(jì)的一般問題 2.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2.4 樣本量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)估計(jì)量與估計(jì)值的概念點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別評(píng)價(jià)估計(jì)量?jī)?yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法樣本量的確定方法2.1 參數(shù)估計(jì)的一般問題2.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值2.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)2.1.3 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)-參數(shù)估計(jì)的一般問題估計(jì)量與估計(jì)值 (estimator & estimated value)估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量

2、參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計(jì)值-參數(shù)估計(jì)的一般問題點(diǎn)估計(jì) (point estimate)用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)；用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點(diǎn)估計(jì)的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無法給出估計(jì)的可靠性的度量 -參數(shù)估計(jì)的一般問題區(qū)間估計(jì) (i

3、nterval estimate)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95% 樣本統(tǒng)計(jì)量 (點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限-參數(shù)估計(jì)的一般問題區(qū)間估計(jì)的圖示x95% 的樣本 -1.96 x +1.96x99% 的樣本 - 2.58x +2.58x90%的樣本 -1.65 x +1.65x置信水平(confidence level) 將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為

4、 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.10-參數(shù)估計(jì)的一般問題置信區(qū)間 (confidence interval)由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯(cuò)誤的-參數(shù)估計(jì)的一般問題置

5、信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間)重復(fù)構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間點(diǎn)估計(jì)值評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性(unbiasedness)無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計(jì)的總體參數(shù)P( )BA無偏有偏-參數(shù)估計(jì)的一般問題有效性(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì) 量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效 AB 的抽樣分布 的抽樣分布P( )-參數(shù)估計(jì)的一般問題一致性(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計(jì)量的 值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)AB較小的樣本量較大的樣本量P( )-參數(shù)估計(jì)的一般問題2.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì)2.2.2 總體比例的區(qū)

6、間估計(jì)2.2.3 總體方差的區(qū)間估計(jì)-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本)-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【 例 】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均

7、重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： 。由于是正態(tài)總體，且方差已知?？傮w均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g109.28g總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)【例】一

8、家保險(xiǎn)公司收集到由36個(gè)投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間 36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.假定條件總體服從正態(tài)分

9、布,但方差() 未知小樣本 (n 30)2.使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、未知、小樣本)-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)t 分布 t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布 xt 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t 分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t (df = 13)t (df = 5)z-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位

10、：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)1.假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)

11、間為-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)體總比例的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35% -一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)1.估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4. 總體方差在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)(圖示) 2 21- 2 總體方差的1

12、- 的置信區(qū)間自由度為n-1的2總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間 25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解:已知n25，1-95%

13、 ,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 s2 =93.21 2置信度為95%的置信區(qū)間為 該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g13.43g-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(小結(jié))待估參數(shù)均值比例方差大樣本小樣本大樣本2分布2已知2已知Z分布2未知Z分布Z分布Z分布2未知t分布-一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)2.3.1 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)2.3.2 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)2.3.3 兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值差比例差方差比-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)

14、(獨(dú)立大樣本)1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知若不是正態(tài)分布, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個(gè)樣本是獨(dú)立的隨機(jī)樣本使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(大樣本)1.1， 2已知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為2. 1、 2未知時(shí)，兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析)【例】某地區(qū)教育管理部門想估計(jì)兩所中學(xué)的學(xué)生高考時(shí)的英語平均分?jǐn)?shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨(dú)立抽取兩個(gè)隨機(jī)樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表 。建立兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差95%的置信區(qū)間

15、 兩個(gè)樣本的有關(guān)數(shù)據(jù) 中學(xué)1中學(xué)2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析)解: 兩個(gè)總體均值之差在1-置信水平下的置信區(qū)間為 兩所中學(xué)高考英語平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為5.03分10.97分-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì) (獨(dú)立小樣本)1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知但相等：1=2兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230)2, 總體方差的合并估計(jì)量估計(jì)量x1-x2的抽樣標(biāo)準(zhǔn)差-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本:12=22 )1.兩個(gè)樣本均值之差的標(biāo)準(zhǔn)化兩個(gè)總體均值之差1-2在1-

16、 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.假定條件兩個(gè)總體都服從正態(tài)分布兩個(gè)總體方差未知且不相等：12兩個(gè)獨(dú)立的小樣本(n130和n230)2. 使用統(tǒng)計(jì)量?jī)蓚€(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本: 1222 )-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(小樣本: 1222 )兩個(gè)總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為自由度-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析)【例】沿用前例。假定第一種方法隨機(jī)安排12名工人，第二種方法隨機(jī)安排8名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時(shí)間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立兩

17、種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間差值的置信區(qū)間 兩個(gè)方法組裝產(chǎn)品所需的時(shí)間 方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.2-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(例題分析)解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得 自由度為兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時(shí)間之差的置信區(qū)為0.192min9.058mni-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)(匹配大樣本)假定條件兩個(gè)匹配的大樣本(n1 30和n2 30)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布兩個(gè)總體均值之差d =1-2在1- 置信水

18、平下的置信區(qū)間為對(duì)應(yīng)差值的均值對(duì)應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)(匹配小樣本)假定條件兩個(gè)匹配的小樣本(n1 30和n2 30)兩個(gè)總體各觀察值的配對(duì)差服從正態(tài)分布 兩個(gè)總體均值之差d=1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)【例】由10名學(xué)生組成一個(gè)隨機(jī)樣本，讓他們分別采用A和B兩套試卷進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果如下表 。試建立兩種試卷分?jǐn)?shù)之差d=1-2 95%的置信區(qū)間 10名學(xué)生兩套試卷的得分 學(xué)生編號(hào)試卷A試卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698

19、577810553916STATISTICS-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)解: 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得兩種試卷所產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間為6.33分15.67分-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體比例之差區(qū)間的估計(jì)1.假定條件兩個(gè)總體服從二項(xiàng)分布可以用正態(tài)分布來近似兩個(gè)樣本是獨(dú)立的2.兩個(gè)總體比例之差1- 2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)1.比較兩個(gè)總體的方差比用兩個(gè)樣本的方差比來判斷如果S12/ S22接近于1,說明兩個(gè)總體方差很接近如果S12/ S22遠(yuǎn)離1,說明兩個(gè)總體方差之間存在差異總體方差比在1-置信水平下的置信區(qū)間為-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體方差比的區(qū)間估計(jì)(圖示)FF1- F 總體方差比的1-的置信區(qū)間方差比置信區(qū)間示意圖-兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(小結(jié))待估參數(shù)均值差比例