網(wǎng)絡(luò)教育復(fù)變函數(shù)作業(yè)及答案

1、快,力葉A大中遠(yuǎn)程教肓學(xué)院復(fù)變函數(shù)一、判斷題1、若函數(shù)人2）在Zo解析，則共Z）在Z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。（J ）2、如果Z0是/的本性奇點(diǎn)，則lim/（z）一定不存在。（J ）3、若函數(shù)/（2）= （兀?。?+加（毛）在。內(nèi)連續(xù)，則丫,?。┡c16了）都在。內(nèi)連續(xù)。（J ）4、cosz與sinz在復(fù)平面內(nèi)有界。（X ）5、若Zo是/（Z）的m階零點(diǎn)，則Zo是1/（Z）的加階極點(diǎn)。（4 ）6、若y（z）在Zo處滿足柯西-黎曼條件，則人Z）在Zo解析。（X ）7、若lim/（z）存在且有限，則zo是函數(shù)f（z）的可去奇點(diǎn)。（V ） ZZo8、若/在單連通區(qū)域。內(nèi)解析，則對(duì)。內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線C都有1/

2、（z）dz = O。（ J ）9、若函數(shù)八。是單連通區(qū)域。內(nèi)的解析函數(shù)，則它在。內(nèi)有任意階場(chǎng)數(shù)。（J ）10、若函數(shù)/U）在區(qū)域。內(nèi)的解析，且在。內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)，則在區(qū)域。內(nèi)恒等于常 數(shù)。（J ）11、若函數(shù)/在zo解析，則y（z）在zo連續(xù)。（v ）12、有界整函數(shù)必為常數(shù)。（V ）13、若&7收斂，貝隆Rez“與Irnz“都收斂。（J ）14、若/在區(qū)域。內(nèi)解析，且r（z）三0，則/（Z）三。（常數(shù)）。（J ）15、若函數(shù)人z）在zo處解析，則它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開(kāi)為轅級(jí)數(shù)。（J ）16、若大。在zo解析，則/在Zo處滿足柯西-黎曼條件。（V ）17、若函數(shù)在Zo可導(dǎo)，則Az）在

3、Zo解析。（x ）18、若穴Z）在區(qū)域。內(nèi)解析，則|/（z）|也在也內(nèi)解析。（X ）19、若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑大于零，則其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。（J ）20、cos z與sin z的周期均為2攵萬(wàn)。（V ）21、若函數(shù)人z）在Zo解析，則z）在Zo處滿足 Cauchy-Riemann 條件。（J ）俠G計(jì)A火中遠(yuǎn)程教肓學(xué)院22、若函數(shù)/(z)在Zo處解析，則/U)在Zo連續(xù)。(J )23、函數(shù)sinz與cosz在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)有界。(X )24、存在整函數(shù)/(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。(X )1、若函數(shù)f(z)在Zo處滿足Cauchy-Riemann條件，則f(z)在Zo解析。(X )4、若

4、函數(shù)f(z)在是區(qū)域。內(nèi)的單葉函數(shù)，則/(Z)WO(VZ。)。( V )7、8、9、函數(shù)sinz與cosz在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)有界。(X )存在一個(gè)在零點(diǎn)解析的函數(shù)f(z)使/() = 0且/() = , = 1,2,。(X ) +12n 2/7如果函數(shù) f(z)在。=*底|1上解析，且 |/(z)區(qū) l(|z|=l)，則 |Z)|l(|zKl),二、填空題1、函數(shù)/的周期為-2加。X12、幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)為-7(1-以3、，則/(Z)的定義域?yàn)楫a(chǎn)4、ZZ的收斂半徑為 1=05、02 加(一 1)!77 ,。)=/? 00解：liin一KCn=0dz. = 2m-J 9-z24、求/(z) =在2v|

5、z|+s內(nèi)的羅朗展式。(z l)(z 2)5、求z，5z + l = 0,在|z|l內(nèi)根的個(gè)數(shù) 解：1個(gè)。6、 - d乙JW=1cosf dz = 0 解:陶=1 COSZ.iz7、求Res(1 + z28、求V2T)+1 + zY快力葉A大空遠(yuǎn)程教肓學(xué)院解:L + z Y ttJ +解：作）=等等叔=2硝切+ + 1）尸= 2%(6z + 7),7t . . 7tTC. . z TC、-cosn + zsuin fcos(-n ) +1sin(一 ) 4444= 2coscos/?-49、求z 2z6 + z28z 2 = 0在|z|vl 內(nèi)根的個(gè)數(shù)。解：1個(gè)。10、設(shè)/（z）=（ WldX

6、,其中 C = z：|z|=3,試求 r（l + i）./f(l + 0 = (26z-12.11、求 f +i sin zdz + - f -Jet2 加 J|z|=3 (z _ l)(z - 4)解:f /x sill zdz + - f -= 0+) -1) = -1; o加=12 力川=3(z l)(z 4)12、設(shè) z) = =g，求 Res(/(z),8). z -1解：Re5(/(z),oo) = 013、求函數(shù)在0v|z|v+s內(nèi)的羅朗展式。14、求復(fù)數(shù)卬=二二的實(shí)部與虛部。Z + 1他 z-l_(z-l)(z-l)/zF+1 Z + ZZ + l |z + l |z + l

7、|z + l由G計(jì)A八產(chǎn)遠(yuǎn)程教肓學(xué)院15、設(shè)/(z) =1(Z l)(z 2)求/（z）在。=眨：0|2卜1內(nèi)的洛朗展開(kāi)式。解:f (z)=(z 1)(2)1 1-11 1-Fz-2 z-12 l z/2 l z16、求函數(shù)sin（2z3）的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:siii(2z3) = 2爐- +. + (1)”(In +1)!+.-317、求函數(shù)當(dāng)，在Ov|z|+8內(nèi)的羅朗展式。3136/1-3解:方方-+潟而+;四、證明題1、若函數(shù)/U）在zo處可導(dǎo)，則y（z）在zo連續(xù)。證明：根據(jù)定義可得：若函數(shù);（Z）在Z0處可導(dǎo)，則穴Z）在Z0連續(xù)。2、若數(shù)列眨收斂，貝|J Re Zj與Im Z都收斂。

8、證明：利用不等式：以 一 X。U ） 一 汽區(qū) Jl x“-x。F +“ 一）o F3、設(shè)函數(shù)共。在區(qū)域。內(nèi)解析，試證：丸。在。內(nèi)為常數(shù)的充要條件是汨在。內(nèi)解析。證明（必要性）令（2）= . + ，則為實(shí)常數(shù)）.令女（若/二.“蒼F 則4 = =%=乜=。即叫滿足C-一見(jiàn)，且%尸,連續(xù)，故在_D內(nèi)解析.（充分性）令/（=+揄，則f=一巾，由,力/長(zhǎng)穴甲遠(yuǎn)程教肓學(xué)院因?yàn)榕c/(z)在口內(nèi)解析，所以ax = V %=_% x = (-v)F=-v +=-(彳)=一g, JzL比較等式兩邊得, =與=與=.從而在心內(nèi)珥”均為常數(shù)，故/(在心內(nèi)為常 數(shù).4、設(shè)8是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)且lim/(z) = AC,試證： Z-XRes(/(z)a) = -limz(/(z)-4)。Zf85、若整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部且/()二 ,則7(Z)三(Vze)。證明：由于整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部且/()二 ,則整函數(shù)f(z)是一個(gè)有界 整函數(shù)，由劉維爾定理知道，/(Z)三0(Vz e C)。