第一章隨機事件與概率 知識點梳理匯總

1、第一章隨機事件與概率（1）事件的包含和相等包含：設A，B為二事件，若A發(fā)生必然導致B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或事A包含于事件B，記作，或性質：相等：若且，則稱事件A與事件B相等，記作AB。（2）和事件概念：稱事件“A與B至少有一個發(fā)生”為事件A與事件B的和事件，或稱為事件A與事件B的并，記作或AB。解釋：包括三種情況A發(fā)生，但B不發(fā)生，A不發(fā)生，但B發(fā)生，A與B都發(fā)生。性質：，；若；則（3）積事件概念：稱“事件A與事件B同時發(fā)生”為事件A與事件B的積事件，或稱為事件A與B的交，記作AB或AB。解釋：AB只表示一種情況，即A與B同時發(fā)生。性質：，； 若，則ABA。（4）差事件概念：稱“事件A

2、發(fā)生而事件B不發(fā)生”為事件A與事件B的差事件，記作AB.性質： A； 若，則AB（5）互不相容事件概念：若事件A與事件B不能同時發(fā)生，即AB，則稱事件A與事件B互不相容。推廣：n個事件A1，A2，An兩兩互不相容，即AiAj，ij，i，j1，2，n。（6）對立事件：概念：稱事件“A不發(fā)生”為事件A的對立事件，記做.解釋：事件A與B互為對立事件，滿足：AB；AB性質：；，；ABAABA與B相互對立A與B互不相容.小結：關系：包含，相等，互不相容，互為對立；運算：和，積，差，對立.（7）事件的運算性質（和、積）交換律ABBA，ABBA；（和、積）結合律（AB）CA（BC），（AB）CA（BC）；（

3、和、積）分配律A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）對偶律；.由頻率的性質推出概率的性質推出，推出P（）0，P（）1A，B互不相容，推出P（AB）=P（A）P（B），可推廣到有限多個和無限可列多個.2.古典概型概念：具有下面兩個特點的隨機試驗的概率模型，稱為古典概型：基本事件的總數是有限個，或樣本空間含有有限個樣本點；每個基本事件發(fā)生的可能性相同。計算公式：概率的定義與性質（1）定義：設是隨機試驗E的樣本空間，對于E的每一個事件A賦予一個實數，記為P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果它滿足下列條件：P（A）0；P（）1；設，是一列互不相容的事件，則有.（2）性質 ，；對于任

4、意事件A，B有；.條件概率與乘法公式定義：設A，B為兩個事件，在已知事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記做P（A|B）計算公式：設AB為兩個事件，且P（B）0，則。乘法公式：當P（A）0時，有P（AB）P（A）P（B|A）；當P（B）0時，有P（AB）P（B）P（A|B）推廣：設P（AB）0，則P（ABC）P（A）P（B|A）P（C|AB）設，則2.全概率公式與貝葉斯公式（1）劃分：設事件，滿足如下兩個條件：，互不相容，且，i1，2，n；，即，至少有一個發(fā)生，則稱，為樣本空間的一個劃分。當，為樣本空間的一個劃分時，每次試驗有且僅有其中一個發(fā)生。（2

5、）全概公式：設隨機試驗的樣本空間為，為樣本空間的一個劃分，B為任意一個事件，則.注意：當0P（A）0，則，i1，2，n.注意：在使用貝葉斯公式時，往往先利用全概公式計算P（B）；理解貝葉斯公式“后驗概率”的意義.事件的獨立性（1）概念：若P（AB）P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱A，B獨立。（2）性質： 設P（A）0，則A與B相互獨立的充分必要條件是。 若A與B相互獨立，則A與，與B，與都相互獨立。（3）推廣： 3個事件相互獨立：設A，B，C為3個事件，若滿足P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），P（ABC）P（A）P（B）P

6、（C）則稱A，B，C相互獨立，簡稱A，B，C獨立。 3個事件兩兩相互獨立：設A，B，C為3個事件，若滿足 P（AB）P（A）P（B）， P（AC）P（A）P（C）， P（BC）P（B）P（C），則稱A，B，C兩兩相互獨立。顯然，3事件相互獨立必有3事件兩兩相互獨立，反之未必。 n個事件相互獨立：設A1，A2，An為n個事件，若對于任意整數k（1kn）和任意k個整數1i1 i2ikn滿足則稱A1，A2，An相互獨立，簡稱A1，A2，An獨立n重貝努利試驗 概念：如果一次試驗只有兩個結果：事件A發(fā)生或不發(fā)生，且P（A）p（0p1）試驗獨立重復n次，稱為n重貝努利試驗。計算：在n重貝努利試驗中，設每

7、次試驗事件A發(fā)生的概率為p，則事件A恰好發(fā)生k次的概率n（k）為，k0，1，2，n。第二章隨機變量及其概率分布隨機變量的概念定義：設E是隨機試驗，樣本空間為，如果對于每一個樣本點，有一個實數X（）與之對應，則稱XX（）為隨機變量，記做X, Y, Z,。（4）解釋： 隨機變量不是普通變量，它的取值不是任意的，它是以一定的可能性（概率）取某一個值的，即具有隨機性，因此稱為“隨機變量”； 在一次隨機試驗中，可以根據不同的需要來定義不同的隨機變量。 引入隨機變量后，可用隨機變量來描述事件，如擲骰子，設出現的點數為隨機變量X，則“出現4點”可表示為X4，“不少于4點”可表示為X4,等等離散型隨機變量定義

8、：若隨機變量X只取有限多個或可列無限多個值，則稱X為離散型隨機變量。離散型隨機變量的分布律：設X為離散型隨機變量，可能取值為x1，x2，xk，且PXxk pk，k1，2，則稱 pk 為X的分布律（或分布列，概率分布）。分布律也可以用表格形式表示：（3）分布律pk的性質： pk0，k1，2，； .反之，若一個數列pk具有以上兩條性質，則它可以作為某隨機變量的分布律。 （4）用途：可用分布律求任意事件的概率三種常用的離散型隨機變量的分布（1）01分布（兩點分布）定義：若隨機變量X只取兩個可能值0，1，且PX1p，PX0q, 其中0p1，q1p, 則稱X服從01分布，其分布律為（2）二項分布定義：若

9、隨機變量X的可能取值為0，1，2，n，而X的分布律為，k0，1，2，n其中0p0是常數，n是任意正整數，且，則對于任意取定的非負整數k，有。泊松定理的應用：當n很大，p很小時，二項分布可以用泊松逼近來近似計算。在實際計算中，當n20，p0.05時計算效果頗佳（3）泊松分布定義：設隨機變量X的可能取值為0，1，2，n，而X的分布律為，k0，1，2，其中0，則稱X服從參數為的泊松分布，記做X P（）分布函數的概念定義：設X為隨機變量，稱函數F（x）=P（Xx），x（-,+） 為X的分布函數。離散型隨機變量X的分布函數為分布函數的性質（1）0F（x）1。（2）F（x）是不減函數，即對于任意的x1x2

10、，有F（x1）F（x2）。（3）F（-）=0，F（+）=1，即，。（4）F（x）右連續(xù)，即用分布函數表示事件的概率：設隨機變量X的分布函數為F（x）, 則（1）PXb=F（b）；（2）PaXb=F（b）-F（a），其中ab=1-F（b）連續(xù)型隨機變量及其概率密度（1）定義：設隨機變量X的分布函數為F（x），若存在非負函數f（x），使得對任意實數x，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，并稱f（x）為X的概率密度函數，簡稱概率密度（或密度函數）。解釋：連續(xù)型隨機變量的“連續(xù)”指的是其密度函數在某區(qū)間或整個實軸上是連續(xù)函數。（2）概率密度的性質： f（x）0； 設x為f（x）的連續(xù)點，則存在，且三種常用連續(xù)型

11、隨機變量的分布.均勻分布（1）定義：若隨機變量X的概率密度為， 則稱X服從區(qū)間a,b上的均勻分布，記做XU（a,b）（2）分布函數為.指數分布（1）定義：若隨機變量X的概率密度為，其中0為常數，則稱X服從參數為的指數分布，記做XE（）. （2）指數分布的分布函數為 ，.正態(tài)分布（1）定義：若隨機變量X的概率密度為，x， 其中,2為常數，0，則稱X服從參數為,2的正態(tài)分布，記做XN（,2）（2）概率密度函數的性質：曲線關于直線x=對稱，則對于任意h0，有P（-hx）=P（X+h）。當x=時取得最大值.在x=處曲線有拐點，曲線以x軸為漸近線.當給定，12時，對應的密度函數的圖象可沿x軸互相平移得到

12、.當給定，1u=，01，則稱點u為標準正態(tài)分布的上側分位數。（2）求法：反查標準正態(tài)分布表隨機變量函數的概念：設是已知連續(xù)函數，為隨機變量，則函數也是一個隨機變量，稱之為隨機變量的函數.設離散型隨機變量的分布律為則在隨機變量的取值,，不同的情況下，其分布律為但是，若 有相同的情況，則需要合并為一項.連續(xù)型隨機變量函數的概率密度定理：設為連續(xù)型隨機變量，其密度函數為 .設是嚴格單調的可導函數，其值域為，且.記的反函數，則 的概率密度為.兩個重要結論：當 時，,且隨機變量稱為X的標準化。另外，正態(tài)隨機變量的線性變換 仍是正態(tài)隨機變量，即aX+b，這兩個結論十分有用，必須記住第三章 多維隨機變量及概

13、率分布設（，）為一個二維隨機變量，記， 稱二元函數為二維隨機變量（，）的聯合分布函數，或稱為（，）的分布函數. 記函數 ， 則稱函數 和 為二維隨機變量（，）的兩個分量 和 的邊緣分布函數.二維隨機變量分布函數的性質：（1）是變量 （或）的不減函數；（2）01，對任意給定的，；對任意給定的，； ，；（3）關于和關于均右連續(xù)，即.（4）對任意給定的，有 二維離散型隨機變量設二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值為（），（ 1，2，），（X，Y）的各個可能取值的概率為，（ 1，2，），稱，（1，2，）為（X，Y）的分布律（X，Y）分布律的性質1 ，（ 1，2，）；2 二維連續(xù)型隨機變量的概率密度（1

14、）設二維隨機變量（X，Y）的分布函數為F（x,y），若存在非負可積函數，使得對任意實數x，y，有， 則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量；并稱為（X，Y）的概率密度或X與Y的聯合密度函數.（2）概率密度的性質： 非負； ； 若在 處連續(xù)，則有 ；兩種二維連續(xù)型隨機變量分布（1）均勻分布定義：設D為平面上的有界區(qū)域，其面積為S且S0，如果二維隨機變量（X,Y）的概率密度為則稱（X,Y）服從區(qū)域D上的均勻分布（或稱（X,Y）在D上服從均勻分布），記作（X,Y）UD。兩種特殊區(qū)域的情況：.D為矩形區(qū)域axb，cyd，此時.D為圓形區(qū)域，如（X,Y）在以原點為中心，R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則（

15、X,Y）概率密度為二維隨機變量的邊緣分布（1）定義：對于連續(xù)型隨機變量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度稱為（X,Y）關于X（或Y）的邊緣概率密度，簡稱邊緣密度，記為（2）求法：它們可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出， P71定義：設F（x,y），FX（x）和FY（y）分別是二維隨機變量（x,y）的分布函數和兩個邊緣分布函數，若對任意實數x，y，有F（x,y）= FX（x）FY（y），則稱X與Y相互獨立.（2）等價關系：PXx,Yy=PXxPYy設（X,Y）為二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f（x,y）及關于X和Y的邊緣概率密度為和 則X與Y相互獨立的充分必要條件是等式幾乎處處成立P8

16、1 兩個相互獨立且都服從泊松分布（參數分別為 和 ）的隨機變量之和仍服從泊松分布，且具有參數 （泊松分布可加性）求Z=X+Y的概率密度設（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f（x，y），關于X，Y的邊緣概率分別為fx（x），fY（y），又設X與Y相互獨立，求Z=X+Y的概率密度：這就是二維連續(xù)型獨立隨機變量和的卷積公式第四章 隨機變量的數字特征離散型隨機變量的期望定義：設離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk，k1，2，. 若級數絕對收斂（即級數收斂），則定義X的數學期望（簡稱均值或期望）為三種離散型隨機變量的數學期望 兩點分布設離散型隨機變量X的分布律為其中0p1，則E（X）=P

17、. 二項分布設XB（n,p），即（i0,1，2，n），q=1-p，則E（X）=np. 泊松分布設XP（）其分布律為，i0，1，2，則E（X）= .定理41 設離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk，k1，2，令Y=g（X），若級數絕對收斂，則隨機變量Y的數學期望為連續(xù)型隨機變量的期望（1）定義：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度f（x），若廣義積分絕對收斂，則稱該積分為隨機變量X的數學期望（簡稱期望或均值），記為E（X），即.（2）三種連續(xù)型隨機變量的期望 均勻分布設XU（a,b），其概率密度為，則. 指數分布設XE（），其概率密度為，則. 正態(tài)分布設XN（,2），其概率密度為，-x+，則E（X

18、）=.定理：設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f（x），又設隨機變量Y=g（X），若絕對收斂，則說明：也可以先求Y的概率密度fY（y），再根據定義求E（Y）二維隨機變量分量的期望定理43：（1）若（X,Y）為離散型隨機變量，其分布律為，邊緣分布律為，則，.（2）若（X,Y）為連續(xù)型隨機變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為f（x,y），fX（x），fY（y），則，.二維隨機變量函數的期望定理44： 設g（x,y）為二元連續(xù)函數，對于二維隨機變量（X,Y）的函數Z=g（X,Y）， （1） 若（X,Y）為離散型隨機變量，級數絕對收斂，則 ；（2）若（X，Y）為連續(xù)型隨機變量，且積分絕對收斂，則.期望

19、的性質（1）常數的期望等于該常數，即E（C）=C，C為常數；（2）常數與隨機變量X乘積的期望等于該常數與隨機變量期望的乘積，即E（CX）=CE（X）；（3）隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即E（X+Y）=E（X）+E（Y）；綜合性質（2）和（3），則有E（C1X+C2Y）=C1E（X）+C2E（Y），其中C1,C2為常數.一般地，其中Ci為常數.（4）兩個相互獨立的隨機變量的乘積的期望等于隨機變量期望的乘積，即若X,Y為相互獨立的隨機變量，則E（XY）=E（X）E（Y）4.2節(jié) 方差 定義：設隨機變量X，且（X-E（X）2的期望存在，則稱E（X-E（X）2為隨機變量X 的方差，記為D（X

20、），即D（X）=E（X-E（X）2；又稱為隨機變量X的標準差. 若離散型隨機變量X的分布律為P（X=xk）=pk，k1，2，則.若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），則.方差計算公式：D（X）=E（X2）-（E（X）2即X的方差等于X2的期望X的期望的平方 若離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk，k1，2，則.若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f（x），則.常用隨機變量的方差（1）01分布設離散型隨機變量X的分布律為其中0p1，則D（X）=p（1-p）（2）二項分布設XB（n,p），即（i1，2，n），q=1-p，則 D（X）=npq.（3）泊松分布設XP（），其分布律為，i0，1，2，則

21、 D（X）=.（4）均勻分布設XU（a,b），即概率密度為，則.（5）指數分布設XE（），即概率密度為，則.（6）正態(tài)分布設XN（，2），即概率密度為，-x0，D（Y）0，稱為X與Y的相關系數，記為，即.（2）性質 相關系數的絕對值=1的充分必要條件是存在常數a，b，使PY=aX+b=1且a0.（3）不相關定義：若相關系數XY=0，則稱X與Y不相關.（4）相關系數的意義：兩個隨機變量的相關系數是它們之間線性關系程度的度量：，表示它們之間存在完全線性關系，即一次函數關系；XY=0，表示它們之間無線性相關關系，但是，不表示它們之間不存在其他相關關系；，表示它們之間存在一定的線性相關關系.若XY0，

22、表示它們之間存在正線性相關關系，即上式中a0；若XY0，表示它們之間存在負線性相關關系，即上式中aF（m,n）= 的F（m,n）為自由度為m與n的F分布的分位點. F分布的分位點的性質：若FF（m,n），則1/FF（n,m）.從這個性質可以推出 求法：當較小時，分位點F（m,n）可直接從附表5中查得，而分位點F1-（m,n）可通過上式查得（3）t分布 定義：設X1，X2相互獨立，且X1N（0,1），則稱的分布為自由度為n的t分布，記為tt（n）t分布的分位點：當隨機變量tt（n）時，對給定的（0，1），稱滿足 Ptt（n）= 的t（n）為自由度為n的t分布的分位點. t分布分位點的性質：由于t

23、分布的密度函數關于0對稱，則有t1-（n）= -t （n）. 求法：同上（4）一些重要結論定理：設x1, x2，xn是來自正態(tài)總體N（，2）樣本，其樣本均值與方差分別為和，則有與s2相互獨立；.（推論61）推理62 設x1, x2，xm是來自的樣本，y1, y2，yn是來自的樣本，記，其中，則有；特別的，若，則推理63 在推理62的條件下，設，并記則第七章 參數估計點估計的兩種常用方法（1）替換原理和矩法估計 替換原理：替換原理常指如下兩句話：一是：用樣本矩替換總體矩；二是：用樣本矩的函數替換相應的總體矩的函數. 矩估計的方法：根據替換原理，用樣本矩或樣本矩的函數對總體的矩或矩的函數進行估計。

24、例如：用樣本均值估計總體均值E（X），即；用樣本二階中心矩估計總體方差，即；用事件A的頻率估計事件A的概率等極大似然估計設總體的概率函數為p（x,），其中是一個未知參數或未知參數向量，是參數的取值范圍，x1,x2,xn是該總體的樣本，將樣本聯合概率函數記為，簡記為，則稱為樣本的似然函數. 如果存在統(tǒng)計量使得，則稱為的極大似然估計計算方法： 構造似然函數； 求似然函數的對數. 由于似然函數是以乘積形式構成，對數函數是的單調增加函數，則似然函數的對數與其有相同的極值點，所以在求導數之前先求似然函數的對數； 用導數求似然函數對數的極值，得極大似然估計值分別給出離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的極大似然

25、估計求未知參數 的估計 的步驟（一）離散型隨機變量第一步，從總體X取出樣本x1,x2,xn第二步，構造似然函數L（x1,x2,xn，）P（Xx1）P（Xx2）P（Xxn）第三步，計算ln L（x1,x2,xn，）并化簡第四步，當時ln L（x1,x2,xn，）取最大值則取常用方法是微積分求最值的方法。（二）連續(xù)型隨機變量若Xf（x,）第一步從總體X取出樣本x1,x2,xn第二步構造似然函數L（x1,x2,xn，）f（x1，）f（x2，）f（xn，）第三步計算ln L（x1,x2,xn，）并化簡第四步當時ln L（x1,x2,xn，）取最大值則取常用方法是微積分求最值的方法二項分布：設總體XB（

26、1，P）即設P（A），從總體X中抽樣x1,x2,xn，問最大似然法求 是最大點取例抽樣n次A發(fā)生m次，則在x1，x2xn中有m個1，其余為0，設總體X服從泊松分布p（），求的極大似然估計；p（X=k）=解得的極大似然估計易知的矩估計亦為設總體X服從指數分布E（），求的極大似然估計XE（） 設，即從中取樣x1 ，x2xn，試用最大似然法求若,從中抽樣x1，x2xn，試用最大似然估計法求：，駐點，的極大似然估計為，給出的極大似然估計極大似然估計的一個簡單而有用的性質：若是的極大似然估計，則對任一的函數g（）, 它的極大似然估計為，這就是極大似然估計的不變性。相合性定義：設為未知參數，是的一個估計量

27、，n是樣本容量，若對任何0，有 ，則稱為參數的相合估計是的相合估計；是2的相合估計；也是2的相合估計。相合性判定定理：設是的一個估計量，若 ， 則稱為參數的相合估計.無偏性定義：設是的一個估計，的參數空間為，若對任意，有，則稱為的無偏估計；否則稱為有偏估計.解釋：無偏估計表示估計值與被估計量之間沒有系統(tǒng)偏差.幾個有用的結論是的無偏估計即是2的漸進無偏估計；s2是2的無偏估計； 若為的無偏估計，一般地，除g是的線性函數外，不是g的無偏估計.所以，無偏性沒有不變性。有效性定義：設，是的兩個無偏估計，如果對任意的有，且至少有一個使上式的不等號嚴格成立，則稱比有效.解釋：這是在無偏估計中選擇更好的估計的評價標準。7. 3 參數的區(qū)間估計點估價的兩點不足： 很難準確； 沒有用數量表示的可信度。為此，引入區(qū)間估計置信區(qū)間的定義：設為總體的未知參數，是由樣本x1，x2，xn給出的兩個統(tǒng)計量，若對于給定的概率1（01），有，則隨機區(qū)間稱為參數的置信度為1的置信區(qū)間，稱為置信下限，稱為置信上限.（3）解釋：參數落入區(qū)間的概率為1（4）置信度與精度的關系 在樣本容量固定的條件下，置信度增大，將引起置信區(qū)間長度增大，使區(qū)間估計的精度降低；置信度減小，將引起置信區(qū)間長度減小，使區(qū)間估計的精度提高； 在置信度固定不變的條件下，樣本容量增大，將引起置信區(qū)間長度減小，區(qū)