【創(chuàng)新方案】2015高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識(shí)回扣+熱點(diǎn)突破+能力提升)二次函數(shù)與冪函數(shù)-理-北師大版

1、PAGE PAGE - 14 -第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)【考綱下載】1了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，yeq f(1,x)，yxeq f(1,2)的圖象，了解它們的變化情況2理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題1冪函數(shù)的定義形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，為常數(shù)2五種冪函數(shù)的圖象3五種冪函數(shù)的性質(zhì)yxyx2yx3yxeq f(1,2)yx1定義域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x0，) 時(shí)，增增增x(0，) 時(shí)，減x(，0 時(shí)，減x(，0) 時(shí)，減4.二次函數(shù)的圖象

2、和性質(zhì)a0a0(a0)與ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)1已知點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，3)在冪函數(shù)f(x)的圖象上，則f(x)的表達(dá)式為()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)xeq f(1,2) Df(x)x解析：選B設(shè)f(x)x，則3eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，2.即f(x)x2.2(教材習(xí)題改編) 如圖中曲線是冪函數(shù)yxn在第一象限的圖象已知n取2，e

3、q f(1,2)四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的n值依次為()A2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2 B2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2Ceq f(1,2)，2,2，eq f(1,2) D2，eq f(1,2)，2，eq f(1,2)解析：選B由冪函數(shù)圖象及其單調(diào)性之間的關(guān)系可知，曲線C1，C2，C3，C4所對(duì)應(yīng)的n依次為2，eq f(1,2)，eq f(1,2)，2.3函數(shù)f(x)(m1)x22mx3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(5，3)上()A先減后增 B先增后減C單調(diào)遞減 D單調(diào)遞增解析：選D因?yàn)閒(x)(m1)x22mx3為偶函數(shù)，所以2m0，即m0.

4、所以f(x)x23.由二次函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)x23在(5，3)上為增函數(shù)4已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)4x2mx5的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc)(avs4alco1(f(m,8)，)，所以eq f(m,8)2，即m16.答案：(，165設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1，若f(x)0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：當(dāng)m0時(shí)，顯然成立；當(dāng)m0時(shí)，eq blcrc (avs4alco1(m0，,m24m0，)解得4m0.綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,0答案：(4,0考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) 例1(1)冪函數(shù)yf(x)的圖象

5、過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)yf(x)的圖象是()(2)當(dāng)0 x1時(shí)，f(x)x1.1，g(x)x0.9，h(x)x2的大小關(guān)系是_自主解答(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，冪函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，24，解得eq f(1,2).yeq r(x)，其定義域?yàn)?，)，且是增函數(shù)，當(dāng)0 x1時(shí)，其圖象在直線yx的上方，對(duì)照選項(xiàng)，故選C.(2)如圖所示為函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的圖象，由此可知h(x)g(x)f(x)答案(1)C(2)h(x)g(x)f(x)【方法規(guī)律】?jī)绾瘮?shù)的圖象特征(1)對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x1，y1，y

6、x分區(qū)域根據(jù)0,01，1，1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較冪函數(shù)yxm22m3(mZ)的圖象如圖所示，則m的值為()A1m3B0C1 D2解析：選C從圖象上看，由于圖象不過(guò)原點(diǎn)，且在第一象限下降，故m22m30，即1m0，y1y20Bx1x20，y1y20Cx1x20Dx1x20，y1y20自主解答(1)A項(xiàng)，a0，eq f(b,2a)0，b0.又abc0，c0，由圖知f(0)c0，故A錯(cuò)；B項(xiàng)，a0，eq f(b,2a)0，b0，又abc0，c0，而f(0)c0，故B錯(cuò)；C項(xiàng)，a0，eq f(b,2

7、a)0，b0，又abc0，c0，而f(0)c0，故C錯(cuò)；D項(xiàng)，a0，eq f(b,2a)0，b0，又abc0，c0，由圖知f(0)c0，故選D.(2)f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，即x22axa240，解得xa2或xa2.f(x)與g(x)的圖象如圖由圖及H1(x)的定義知H1(x)的最小值是f(a2)，H2(x)的最大值為g(a2)，ABf(a2)g(a2)(a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)(a2)a2816.(3)由題意知滿足條件的兩函數(shù)圖象如圖所示，作B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B(x2，y2)，所以x2x20，y2y20，由圖可知，x1x2，y1y2

8、，所以x1x20，y1y20，故B正確答案(1)D(2)C(3)B二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)圖象識(shí)別問(wèn)題辨析二次函數(shù)的圖象應(yīng)從開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與坐標(biāo)的交點(diǎn)等方面著手討論或逐項(xiàng)排除(2)最值問(wèn)題畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解(3)與其他圖象的公共點(diǎn)問(wèn)題解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確作出二次函數(shù)及題目所涉及的相應(yīng)函數(shù)的圖象，要注意其相對(duì)位置關(guān)系1函數(shù)yax2a與yeq f(a,x)(a0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()解析：選D當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)yax2a的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，故排除A，C；當(dāng)a0時(shí)，二次函數(shù)yax2a的圖象開(kāi)口向下

9、，且對(duì)稱軸為x0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，函數(shù)yeq f(a,x)的圖象在第二、四象限，故排除B，選D.2. 如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(3，0)，對(duì)稱軸為x1.給出下面四個(gè)結(jié)論：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正確的是()A B C D解析：選B因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b24ac0，即b24ac，正確；對(duì)稱軸為x1，即eq f(b,2a)1，2ab0，錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng)x1時(shí)，y0，即abc0，錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為x1知，b2a.又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正確課堂歸納通法領(lǐng)悟1個(gè)注意點(diǎn)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)在研究二次函數(shù)時(shí)，要注意

10、二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響，往往需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分大于零與小于零兩種情況討論2個(gè)條件一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac0.)(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,b24ac0.)2種方法二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸的判斷方法(1)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于xeq f(x1x2,2)對(duì)稱(2)對(duì)于二次函數(shù)yf(x)對(duì)定義域內(nèi)所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要條件是函數(shù)yf(x)的圖

11、象關(guān)于直線xa對(duì)稱(a為常數(shù))3種形式二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)頂點(diǎn)式：ya(xh)2k(其中a0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)(3)兩根式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1、x2是二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 數(shù)學(xué)思想(二)分類討論在求二次函數(shù)最值中的應(yīng)用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，一定要根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系確定最值，當(dāng)函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)參數(shù)的最值情況進(jìn)行分類討論典例(2014萍鄉(xiāng)模擬)已知x1,1時(shí)，f(x)x2axeq f(a,2)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(0,2) B(2，) C(0，) D(0,4) 解

12、題指導(dǎo)f(x)0恒成立f(x)min0.求函數(shù)f(x)x2axeq f(a,2)的最小值應(yīng)抓住問(wèn)題中的區(qū)間兩端點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，結(jié)合圖象和函數(shù)的單調(diào)性及恒成立條件建立關(guān)于a的不等式求解解析二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為xeq f(a,2)，又x1,1時(shí)，f(x)x2axeq f(a,2)0恒成立，即f(x)最小值0.當(dāng)eq f(a,2)1，即a2時(shí)，f(1)1aeq f(a,2)0，解得aeq f(2,3)，與a2矛盾；當(dāng)eq f(a,2)1，即a2時(shí)，f(1)1aeq f(a,2)0，解得a2，與a2矛盾；當(dāng)1eq f(a,2)1，即2a2時(shí)，(a)24eq f(a,2)0，

13、解得0a2.綜上得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2)答案A題后悟道二次函數(shù)求最值問(wèn)題，一般先用配方法化為ya(xm)2n的形式，得頂點(diǎn)(m，n)和對(duì)稱軸方程xm，結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解常見(jiàn)有三種類型：(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定；(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn))，區(qū)間固定，這時(shí)要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時(shí)在區(qū)間之內(nèi)，何時(shí)在區(qū)間之外；(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng)，這時(shí)要討論區(qū)間中的參數(shù)討論的目的是確定對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)ax22ax1在區(qū)間1,2上有最大值4，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：f(x)a(x1)21a.(1)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的值為常數(shù)1，不

14、符合題意，舍去；(2)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，最大值為f(2)8a14，解得aeq f(3,8)；(3)當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，最大值為f(1)1a4，解得a3.綜上可知，a的值為eq f(3,8)或3.答案：eq f(3,8)或3全盤鞏固1二次函數(shù)yx24xt圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則t的值是()A4B4C2D2解析：選A二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，所以424(1)t0，解得t4.2下面給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)大致對(duì)應(yīng)的是()Ayxeq f(1,3)，yx2，yxeq f(1,2)，yx1Byx3，yx2，yxeq f(1,2)，yx1Cyx

15、2，yx3，yxeq f(1,2)，yx1Dyxeq f(1,3)，yxeq f(1,2)，yx2，yx1解析：選B函數(shù)yx2的定義域、值域分別為R和0，)，且其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故該函數(shù)應(yīng)與圖象對(duì)應(yīng)；函數(shù)yxeq f(1,2)eq r(x)的定義域、值域都是0，)，故該函數(shù)應(yīng)與圖象對(duì)應(yīng)；函數(shù)yx1eq f(1,x)，該函數(shù)應(yīng)與圖象對(duì)應(yīng)，故排除選項(xiàng)C，D.對(duì)于函數(shù)yxeq f(1,3)，隨著x的增大，函數(shù)圖象向x軸彎曲；而對(duì)于函數(shù)yx3，隨著x的增大，函數(shù)圖象向y軸彎曲，故圖象應(yīng)與函數(shù)yx3對(duì)應(yīng)3設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若ac，則函數(shù)f(x)的圖象不可能是() A B C

16、D解析：選D由A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)知，圖象與x軸均有交點(diǎn)，記兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則x1x2，由于ac，所以x1x2eq f(c,a)1，比較四個(gè)選項(xiàng)，可知選項(xiàng)D的x11，x21，所以D不滿足4已知函數(shù)f(x)x2bxc且f(1x)f(x)，則下列不等式中成立的是()Af(2)f(0)f(2) Bf(0)f(2)f(2)Cf(0)f(2)f(2) Df(2)f(0)f(2)解析：選Cf(1x)f(x)，(x1)2b(x1)cx2bxc.x2(2b)x1bcx2bxc.2bb，即b1.f(x)x2xc，其圖象的對(duì)稱軸為xeq f(1,2).f(0)f(2)0恒成立

17、即可結(jié)合f(x)ax2(3a)x1的圖象，當(dāng)a0時(shí)驗(yàn)證知符合條件；當(dāng)a0時(shí)必有a0，當(dāng)xeq f(3a,2a)0時(shí)，函數(shù)在(，0)上單調(diào)遞減，故要使原不等式恒成立，只需f(0)0即可，解得0a3；當(dāng)xeq f(3a,2a)0即可，解得3a9.綜上所述可得a的取值范圍是0a9.高頻滾動(dòng)1若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x1，x2R有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，則下列說(shuō)法一定正確的是()Af(x)為奇函數(shù) Bf(x)為偶函數(shù)Cf(x)1為奇函數(shù) Df(x)1為偶函數(shù)解析：選C法一：根據(jù)題意，令x1x20，則f(0)f(0)f(0)1，所以f(0)1.令x1x，x2x，則f(0)f(x)f(x)1，所以f(x)1f(x)10，即f(x)1f(x)1，故f(x)1為奇函數(shù)法二：(特殊函數(shù)法)由條件f(x1x2)f(x1)f(x2)1可取f(x)x