2019版年高中數(shù)學(xué) 第一講 1.1.3 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式高效演練 新人教A版選修4(考試專(zhuān)用

1、1.1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1正實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足xyz2，則()Axyz的最大值是323Bxyz的最大值是32Cxyz的最小值是323Dxyz的最小值是3233解析：由三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式，得xyz3xyz32，當(dāng)且僅當(dāng)x33yz2時(shí)，xyz取得最小值32.答案：D1x2已知xR，有不等式：x214xx43xx4x2xx2，x222x232x23，.a啟發(fā)我們可能推廣結(jié)論為：xxnn1(nN*)，則a的值為()AnnB2nCn2D2n1b（ab）axxxa解析：xxnnnn,sup6(,n個(gè))xn，要使和式的積為定值，則必須nna.答案：A13若ab0

2、，則a的最小值為()A0C2B1D3b（ab）b（ab）解析：因?yàn)閍11(ab)bb（ab）b（ab）33（ab）b3，當(dāng)且僅當(dāng)a2，b1時(shí)取等號(hào)，所以a111的最小值為3.答案：D4設(shè)x，y，zR，且xyz6，則lgxlgylgz的取值范圍是()A(，lg6Clg6，)B(，3lg2D3lg2，)xyz3而xyz23，解析：因?yàn)閘gxlgylgzlg(xyz)，3所以lgxlgylgzlg233lg2，當(dāng)且僅當(dāng)xyz2時(shí)，取等號(hào)答案：B5已知x2y3z6，則2x4y8z的最小值為()3A36C12B223D125abc31解析：設(shè)這三個(gè)正數(shù)分別是a，b，c，則abc1，所以abc，當(dāng)且僅當(dāng)a

3、bc時(shí)，abc取得最大值.3解析：2x4y8z2x22y23z32612.當(dāng)且僅當(dāng)x2y3z2時(shí)等號(hào)成立答案：C二、填空題6將實(shí)數(shù)1分為三個(gè)正數(shù)之和，則這三個(gè)正數(shù)之積的最大值是_32711327答案：12757函數(shù)f(x)x(52x)20 x的最大值是_解析：f(x)4x(52x)(52x)21414x52x52x34325027，當(dāng)且僅當(dāng)4x52x，即x時(shí)，等號(hào)成立5250故函數(shù)f(x)x(52x)20 x的最大值為.56227227當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x1，y2時(shí)取等號(hào)1124解：y2sin2cos2cos22sin2(1sin2)(1sin2).250答案：8若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x，y0，且x2

4、y2，則xyx2的最小值是_2解析：由x2y2，得yx2，代入xyx2，得2211xyx2xx2x2xx2xxx23，1x答案：3三、解答題9為銳角，求ysincos2的最大值3223273當(dāng)且僅當(dāng)2sin21sin2，即sin3時(shí)取等號(hào)23所以ymax9.3(abc).2又3(abc)39(abc)22763，2當(dāng)且僅當(dāng)3(abc)39(abc)時(shí)，式等號(hào)成立111210已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c2abc63，并確定a，b，c為何值時(shí)，等號(hào)成立2證明：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式，得a2b2c23(abc)3，1111abc311122所以abc9(abc)3.

5、111222故a2b2c2abc3(abc)39(abc)3.23所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，式和式等號(hào)成立234即當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)，原式等號(hào)成立3B級(jí)能力提升1已知圓柱的軸截面周長(zhǎng)為6，體積為V，則下列總成立的是()CVDVAV18BV18解析：設(shè)圓柱半徑為r，則圓柱的高h(yuǎn)，所以圓柱的體積為Vr2hr2rr32r3.2若a2，b3，則ab的最小值為_(kāi)64r64r22r2(32r)3當(dāng)且僅當(dāng)r32r，即r1時(shí)取等號(hào)答案：B1（a2）（b3）解析：因?yàn)閍2，b3，所以a20，b30，（a2）（b3）（a2）（b3）則ab11(a2)(b3)（a2）（b3）58.5331（a2）（b3）當(dāng)且僅當(dāng)a2b3，即a3，b4時(shí)等號(hào)成立光源的距離r的平方成反比，即Eksin，這里k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)那么1（a2）（b3）答案：83.如圖，在一張半徑是2m的圓桌的正中央上空掛一盞電燈大家知道，燈掛得太高了，桌子邊緣處的亮度就??；掛得太低，桌子的邊緣處仍然是不亮的由物理學(xué)可知，桌子邊緣一點(diǎn)處的亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角的正弦成正比，而和這一點(diǎn)到r2應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？sincos2所以Ek0，2解：因?yàn)閞，cos424sin2cos4所以E2k2k21632(2sin2)cos2cos2323k2k22