第3章連續(xù)時間信號的處理ppt課件

1、 第三章 延續(xù)時間信號處置3.1 線性時不變延續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學模型 3.1.1 微分方程的建立 3.1.2 微分方程的求解 3.2 計算零形狀呼應的卷積積分法 3.2.1 零輸入呼應與零形狀呼應 3.2.2 沖激呼應 3.2.3 用卷積積分計算零形狀呼應 3.3 系統(tǒng)函數(shù) 3.3.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義 3.3.2 系統(tǒng)的三種描畫方式 3.3.3 用系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)的零形狀呼應 3.3.4 由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定時域特性 3.4 信號的頻域處置3.4 信號的頻域處置 3.4.1 系統(tǒng)的頻率呼應 3.4.2 信號的無失真?zhèn)鬏敆l件 3.4.3 理想低通濾波器 3.4.4 實踐模擬濾波器 信號處置方

2、法：時域、復頻域、頻域。線性時不變系統(tǒng)的呼應零輸入呼應零形狀呼應線性時不變系統(tǒng)分析的一個重要思想：將輸入信號表示為某個根本信號的線性組合，當系統(tǒng)對該根本信號的零形狀呼應知，根據(jù)疊加原理和時不變性，系統(tǒng)的零形狀呼應那么為根本信號呼應的組合，其組合規(guī)律與輸入信號的一樣。輸入為零，僅由初始形狀產(chǎn)生的呼應初始形狀為零，僅由輸入信號產(chǎn)生的呼應例如，假設知系統(tǒng)對根本信號 輸入時的零形狀呼應為 ，又知輸入 可以表示為那么輸入為 時的零形狀呼應為時域：單位沖激信號就是這樣一種根本信號，任一信號都可以用沖激信號的積分方式表示，即沖激信號的線性組合。卷積積分頻域：信號分解為 的線性組合。 頻率呼應復頻域：信號分解

3、為 的線性組合。 系統(tǒng)函數(shù)3.1 線性時不變延續(xù)系統(tǒng)的時域數(shù)學模型微分方程3.1.1 微分方程的建立基爾霍夫定律KCL、KVL元件的電壓電流約束關(guān)系VCR根據(jù)：例：圖示RLC串聯(lián)電路中，e(t)為鼓勵信號，輸出呼應為回路中的電流i(t) 。試求該電路中呼應與鼓勵的數(shù)學關(guān)系。 解：根據(jù)KVL，得由元件VCR，有二階線性常系數(shù)微分方程，對應于一個二階系統(tǒng) 對于一個n階系統(tǒng)，設鼓勵信號為x(t)，呼應為y(t)，可用一個n階常系數(shù)線性微分方程來描畫。 LTI系統(tǒng)的時域數(shù)學模型：LTI系統(tǒng)x(t)y(t)式中，an-1, ,a0和bm, ,b0均為常數(shù)，nm。3.1.2 微分方程的求解1、時域經(jīng)典解法

4、 齊次解為齊次微分方程的解，其函數(shù)方式由微分方程的特征根決議。齊次解的方式僅取決于系統(tǒng)本身的特性特征根，與鼓勵信號的函數(shù)方式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的自在呼應或固有呼應；特解的函數(shù)方式由鼓勵信號決議，稱為系統(tǒng)的強迫呼應。 全解：齊次解 特解 例：描畫某線性時不變延續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 試求系統(tǒng)的呼應。解：特征方程為 其特征根11，22。該方程的齊次解為 鼓勵，且a1與特征根1一樣，故該方程的特解為 將特解代入微分方程，比較方程兩邊系數(shù)可得C0=0 ，C1=1。所以特解 因此方程的完全解為 代入初始條件 解得 C1=1 ，C2=1。從而系統(tǒng)的呼應為 2、運用拉普拉斯變換法解微分方程 描畫n階系統(tǒng)的微分方程的

5、普通方式為 系統(tǒng)的初始形狀為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思緒：用拉普拉斯變換微分特性s域的代數(shù)方程t域的微分方程零輸入呼應零形狀呼應y(t)假設 在t = 0時接入系統(tǒng)，那么例.某LTI系統(tǒng)由微分方程描畫求呼應解：對方程進展單邊拉氏變換：代入可得:其中，第一項為強迫呼應，其它為自然呼應。3.2 計算零形狀呼應的卷積方法3.2.1 零輸入呼應和零形狀呼應零輸入呼應 完全呼應：零形狀呼應 零輸入呼應是鼓勵為零時僅由系統(tǒng)的初始形狀所引起的呼應。由于鼓勵為零，故有零形狀呼應是系統(tǒng)的初始形狀為零時僅由鼓勵所引起的呼應 。在t=0-時辰鼓勵尚未接入，故應有 零輸入呼應中，初始

6、形狀是指系統(tǒng)沒加外部鼓勵時系統(tǒng)的固有形狀，反映的是系統(tǒng)以往的歷史信息。區(qū)別：零形狀呼應的求解有經(jīng)典法和卷積法。例：描畫某線性時不變延續(xù)系統(tǒng)的微分方程為，求系統(tǒng)的零輸入呼應、零形狀呼應和全呼應。由特征方程有1= -2，2= -3。那么齊次解 代入初始條件解得C1=10 ，C2=10。于是零輸入呼應為 解：1求零輸入呼應yzi(t)當鼓勵為零時，滿足齊次方程2求零形狀呼應yzs(t)那么方程的特解由于齊次解為那么 由于鼓勵為階躍函數(shù)，在t=0時不會使系統(tǒng)發(fā)生突變，因此，解得C1=3 ，C2=2。于是零形狀呼應為 3全呼應 由于鼓勵1. 定義：系統(tǒng)在單位沖激信號鼓勵下的零形狀呼應，簡稱沖激呼應，以h

7、(t)表示.2. 求解：用常系數(shù)微分方程描畫的系統(tǒng)，其沖激呼應滿足當那么：式中，待定系數(shù)采用沖激平衡法確定3.2.2 沖激呼應3. 特點：4. 沖激呼應在系統(tǒng)分析中的作用：1).沖激呼應由系統(tǒng)的特征根組成；2).沖激呼應的方式與齊次解的方式一樣；3).沖激呼應中的待定系數(shù)由沖激函數(shù)平衡法決議；4).沖激呼應中能夠含有沖激函數(shù)。1).用沖激呼應求解系統(tǒng)的零形狀呼應；2).h(t)可以表征系統(tǒng)本身的特性。例1：知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程為：試求系統(tǒng)的沖激呼應h(t)。解：由沖激呼應定義，當時，y(t)即為h(t),原動態(tài)方程為：特征根s1 =-3，且nm,那么沖激呼應h(t)為： 其中，A為待定

8、系數(shù)，將h(t)代入原方程式有： 挑選特性解得A2，那么系統(tǒng)的沖激呼應為：例2：知某線性時不變系統(tǒng)的動態(tài)方程為：試求系統(tǒng)的沖激呼應h(t)。解：由沖激呼應定義，當時，y(t)即為h(t),原動態(tài)方程為：特征根s1 =-6，且n=m,為堅持動態(tài)方程左右平衡，沖激呼應h(t)必含 那么沖激呼應h(t)為： 其中，A、B為待定系數(shù)，將h(t)代入原方程式有： 挑選特性解得A16，B3。系統(tǒng)的沖激呼應為：總結(jié)：沖激呼應h(t)中能否含沖激信號 及其高階導數(shù)，是過察看動態(tài)方程右邊的 的導數(shù)最高次與方程左邊h(t)的導數(shù)次來決議。對于h(t)中的 項，其方式由特征方程的特征根來定。方法二：拉普拉斯變換法

9、由于對上式作拉氏逆變換，得系統(tǒng)的沖激呼應為方程兩邊取拉氏變換，得3.2.3 用卷積積分計算零形狀呼應 1、延續(xù)時間信號的沖激表示任一信號x(t)可用無限多個不同加權(quán)的沖激函數(shù)的“和表示： 2、求解LTI系統(tǒng)零形狀呼應的卷積方法原理：將信號分解為沖激信號的加權(quán)和，借助沖激呼應，求解系統(tǒng)對任一信號的零形狀呼應。卷積定義： 對于恣意兩個信號f1(t)和f2(t),兩者的卷積運算定義為恣意信號x(t)分解為單位沖激信號的線性組合系統(tǒng)的沖激呼應h(t)系統(tǒng)的時不變特性線性特性的均勻性卷積與零形狀呼應即：yzs(t)等于x(t)與h(t)的卷積積分線性特性的疊加性在輸入信號x(t)作用下，系統(tǒng)的零形狀呼應

10、為輸入信號與沖激呼應的卷積積分。 3、卷積運算的性質(zhì)卷積的代數(shù)性質(zhì)交換律交換律表示兩個函數(shù)卷積，其順序可以交換。有時可使卷積簡便。在系統(tǒng)分析中，這意味著一個沖激呼應為h(t)的LTI系統(tǒng)對輸入x(t)的呼應與一個沖激呼應為x(t)的LTI系統(tǒng)對輸入h(t)的呼應是一樣的。分配律用于系統(tǒng)分析，相當于并聯(lián)絡統(tǒng)的沖激呼應，等于組成并聯(lián)絡統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激呼應之和。x(t)h1(t)h2(t)分配律結(jié)合律結(jié)合律用于系統(tǒng)分析，相當于級聯(lián)絡統(tǒng)的沖激呼應，等于組成級聯(lián)絡統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激呼應的卷積。改動兩個系統(tǒng)的級聯(lián)順序，系統(tǒng)總的呼應堅持不變。 h1(t) h2(t)x(t)卷積的時移性質(zhì)h(t)x(t)y(t

11、)h(t)y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)時不變性質(zhì)與沖激函數(shù)的卷積卷積的微積分性質(zhì)1卷積的微分 與沖激偶信號的卷積 2卷積的積分特別地：特別地：與階躍信號的卷積與沖激信號 的卷積，等于x(t)本身；與沖激偶信號 的卷積，等于x(t)的導數(shù)；與階躍信號 的卷積，等于x(t)的積分。小結(jié)：x(t)與奇特信號的卷積例1： 求 解： 根據(jù)時移性質(zhì)和微積分性質(zhì)，有 例2: 知系統(tǒng)的沖激呼應求輸入 時的零形狀呼應yzs(t)。 解： 例3: 知系統(tǒng)的沖激呼應求輸入 時的零形狀呼應yzs(t)。 解： 3.3 系統(tǒng)函數(shù)3.3.

12、1 系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為 它只與系統(tǒng)的構(gòu)造、元件參數(shù)有關(guān)，而與鼓勵、初始形狀無關(guān)。系統(tǒng)零形狀呼應的拉氏變換與鼓勵的拉氏變換之比。系統(tǒng)函數(shù)的來源由描畫系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程(零形狀)產(chǎn)生由時域卷積產(chǎn)生由系統(tǒng)沖激呼應產(chǎn)生由s域電路模型產(chǎn)生初始條件為0I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+3.3.2 系統(tǒng)的三種描畫方式時域輸入輸出關(guān)系微分方程 經(jīng)典法時域的沖激呼應h(t) 卷積法s域的系統(tǒng)函數(shù)H(s) 拉氏變換在這三種描畫中，可以根據(jù)其中任一種方式推導出另外兩種方式。例: 知當輸入x (t)= e-t(t)時，某LTI因果系統(tǒng)的零形狀呼應 y(t) = (3e-t -4e-2

13、t + e-3t)(t)求該系統(tǒng)的沖激呼應和描畫該系統(tǒng)的微分方程。 解：h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t) s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s) 取逆變換 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2x (t)+ 8x (t) 3.3.3 用系統(tǒng)函數(shù)計算系統(tǒng)的零形狀呼應 y(t)= h(t)*x(t)H(s)= L h(t)Y(s)= H(s)X(s)X(s)= L x(t)零形狀根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，恣意鼓勵下，系統(tǒng)的零形狀呼應的象函數(shù)可以表示為系統(tǒng)函數(shù)與

14、鼓勵信號的象函數(shù)的乘積。 我們可以利用系統(tǒng)函數(shù)，在復頻域中求得系統(tǒng)零形狀呼應的象函數(shù)，然后對其作拉普拉斯逆變換，求得時域中零形狀呼應的原函數(shù)。 例:如下圖電路，鼓勵信號求電路的零形狀呼應u2(t)。 解:令1、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復變量s的有理分式，即 3.3.4由系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布確定時域特性D(s)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點；N(s)=0的根z1，z2，zm稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點。 例:將零極點畫在復平面上得零、極點分布圖。 由于多項式的系數(shù)為實數(shù)，因此系統(tǒng)函數(shù)的零極點為： 實數(shù)、共軛虛數(shù)、共軛復數(shù)零點：z = -2極點：p1 = -1,

15、p2,3 = j研討系統(tǒng)函數(shù)的零、極點有以下幾個方面的意義:1從系統(tǒng)函數(shù)的極點分布可以了解系統(tǒng)的固有頻率,進而了解系統(tǒng)沖激呼應的方式,也就是說可以知道系統(tǒng)的沖激呼應是指數(shù)型,衰減振蕩型,等幅振蕩型,還是幾者的組合,從而可以了解系統(tǒng)的呼應特性及系統(tǒng)能否穩(wěn)定。2從系統(tǒng)的零、極點分布可以求得系統(tǒng)的頻率呼應特性,從而可以分析系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)呼應特性。系統(tǒng)的時域、頻域特性都集中地以其系統(tǒng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。2、系統(tǒng)函數(shù)H(s)與時域呼應h(t) 沖激呼應的函數(shù)方式由H(s)的極點確定。 所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。主要討論單極點的情況。 H(s)按其極點在s平面上的位置可分為: 在左半開平面

16、、虛軸和右半開平面三類。 1在左半開平面：衰減 假設系統(tǒng)函數(shù)有負實單極點p= (0)，那么N(s)中有因子(s+)，其所對應的呼應函數(shù)為Ke-t(t) (b) 假設有一對共軛復極點p1,2=-j0，那么N(s)中有因子(s+)2+ 0 2 K e-tcos(0 t+)(t) 以上兩種情況：當t時，呼應均趨于0。2在虛軸上 ：等幅(a)單極點p=0，那么呼應為K(t) (b)共軛虛數(shù)極點p1,2=j 0 那么呼應為 Kcos(0 t+)(t)3在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。 正實單極點p= (0)，那么呼應為Ket(t) (b) 一對共軛復極點p1,2=j0 那么呼應為 K etcos(0 t+

17、)(t) 綜合結(jié)論：LTI延續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)方式由H(s)的極點確定。 H(s)在左半平面的極點所對應的呼應函數(shù)為衰減的。即當t時，呼應均趨于0。 H(s)在虛軸上的一階極點所對應的呼應函數(shù)不增不減。 H(s)在右半平面上的極點，其所對應的呼應函數(shù)都是遞增的。即當t時，呼應均趨于。 H(s)的極點的實部決議了沖激呼應隨時間的衰減或增長情況。極點間隔虛軸越遠，即極點的實部的絕對值越大，沖激呼應的衰減或增長越快，反之越慢。而極點的虛部決議了沖激呼應隨時間的正弦振蕩情況。當極點間隔實軸越遠，即極點的虛部的絕對值越大，沖激呼應正弦振蕩的角頻率越高，反之越低。 H(s)的零點分布影響沖激呼應的

18、幅度和相位，但不影響沖激呼應的變化規(guī)律。 3.4 信號的頻域處置3.4.1 系統(tǒng)的頻率呼應零形狀頻率呼應H()可定義為系統(tǒng)零形狀呼應的傅里葉變換Y()與鼓勵x(t)的傅里葉變換X()之比，即 傅里葉變換法H()稱為幅頻特性或幅頻呼應； 稱為相頻特性或相頻呼應。H()是的偶函數(shù)， 是的奇函數(shù)。 頻率呼應H()的求法1. H() = F h(t) 2. H() = Y()/X()由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換。由電路直接求出。 例：某系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 2y(t) = x(t)求1系統(tǒng)的頻率特性2x(t) = e-t(t)時的呼應y(t)。解：1微分方程兩邊取傅里葉變換jY(

19、) + 2Y() = X() 23.4.2 系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏敆l件系統(tǒng)對于信號的作用大體可分為兩類：一類是信號的傳輸，一類是濾波。傳輸要求信號盡量不失真，而濾波那么濾去或減弱不需求有的成分，必然伴隨著失真。 1、失真線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面的要素呵斥幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使呼應的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化。 信號經(jīng)系統(tǒng)傳輸，要遭到系統(tǒng)函數(shù) 的加權(quán)，輸出波形發(fā)生了變化，與輸入波形不同，那么產(chǎn)生失真。線性系統(tǒng)的失真幅度，相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分；非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真產(chǎn)生新的頻率成分。 對系統(tǒng)的不同用途有不同

20、的要求：1無失真?zhèn)鬏敚?利用失真波形變換。2、無失真?zhèn)鬏?1定義：信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只需幅度的大小和出現(xiàn)時間的先后不同，而沒有波形上的變化。 即： 輸入信號為x(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號應?y(t) = K x(tt0)幅度可以比例添加可以有時移波形外形不變2無失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)條件即幅頻特性H()=K , 各分量衰減一致相頻特性 ，各分量時延一致幾點認識：要求幅度為與頻率無關(guān)的常數(shù)K，系統(tǒng)的通頻帶為無限寬。相位特性與 成正比，是一條過原點的負斜率直線。不失真的線性系統(tǒng)其沖激呼應也是沖激函數(shù)。 只需相位與頻率成正比，方能保證各諧波有一樣的延遲時間，在延遲后各

21、次諧波疊加方能不失真。 延遲時間t0 是相位特性的斜率：群時延或稱群延時在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的情況下，系統(tǒng)的群時延特性應為常數(shù)。 相位特性為什么與頻率成正比關(guān)系？此系統(tǒng)不滿足信號失真3、利用失真波形構(gòu)成系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏敆l件總結(jié)時域頻域為常數(shù)理想濾波器可分為低通、高通、帶通、帶阻。 濾波器允許信號完全經(jīng)過的頻段稱為濾波器的通帶pass band ，完全不允許信號經(jīng)過的頻段稱為阻帶stop band。3.4.3 理想低通濾波器具有如下圖幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。 理想低通濾波器的頻率呼應可寫為： c稱為截止角頻率。信號中一切高于c的頻率分量將被完全阻止而不能經(jīng)過系統(tǒng)，而低于c的頻率分量會無失真地經(jīng)過系統(tǒng)。 理想低通濾波器的沖激呼應可見，理想低通濾波器的沖激呼應為一個延時的Sa函數(shù)，其峰值較鼓勵信號延遲了t0時辰。 該系統(tǒng)實踐上是物理不可實現(xiàn)的非因果系統(tǒng)。由傅里葉變換可得:1理想濾波器是非因果系統(tǒng)。因此是物理不可實現(xiàn)的；雖然從頻域濾波的角度看，理想濾波器的頻率特性是最正確的。但它們的時域特性并不是最正確的。 有起伏、旁瓣、主瓣，這闡明理想濾波器的時域特性與頻域特性并不兼容在工程運用中，當要設計一個濾波器時，必需對時域特性