2018版高中數(shù)學第三章.2平面的法向量與平面的向量表示學案新人教B版

1、32.2平面的法向量與平面的向量表示學習目標1.理解平面的法向量的概念，會求平面的法向量.2.會用平面的法向量證明平面與平面平行、垂直.3.理解并會應用三垂線定理及其逆定理，證明有關垂直問題知識點一平面的法向量思考平面的法向量有何作用？是否唯一？梳理平面的法向量已知平面，如果_，則向量n叫做平面的法向量或說向量n與平面正交知識點二平面的向量表示設A是空間任一點，n為空間內(nèi)任一非零向量，則適合條件_的點M的集合構成的圖形是過空間內(nèi)一點A并且與n垂直的平面這個式子稱為一個平面的向量表示式知識點三兩平面平行或垂直的判定及三垂線定理1兩平面平行或垂直的判定方法設n1，n2分別是平面，的法向量，則容易得

2、到或與重合_；_.2三垂線定理如果在平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則它也和這條斜線垂直類型一求平面的法向量例1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點ABAP1，AD3，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面ACE的一個法向量引申探究若本例條件不變，試求直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量(2)選向量：在平面內(nèi)選取兩個不共線向量AB，AC.反思與感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設向量：設平面的法向量為n(x，y，z)nAB0，(3)列方程組：由nAC0列出方程組nAB0，(4)解方程組：nAC0.(5)賦非零值：

3、取其中一個為非零值(常取1)(6)得結(jié)論：得到平面的一個法向量跟蹤訓練1如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形平面PAB平面ABCD，PAB是邊長為1的正三角形，ABCD是菱形ABC60，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面DEF的法向量類型二利用空間向量證明平行問題例2已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.反思與感悟利用向量證明平行問題，可以先建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后根據(jù)向量之間的關系證明平行問題跟蹤訓練2如圖，在四棱

4、錐PABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45，底面ABCD為直角梯形，ABCBAD90，PABCAD1，問在棱PD上是否存在一點E，12使CE平面PAB？若存在，求出E點的位置；若不存在，請說明理由類型三三垂線定理及應用例3在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1的中點求證：EO平面A1DB.反思與感悟利用三垂線定理及其逆定理證明線線垂直是一種常用方法，其基本環(huán)節(jié)有三個跟蹤訓練3如圖，已知PO平面ABC，且O為ABC的垂心，求證：ABPC.11若直線l，且l的方向向量為(2，m，1)，平面的法向量為1，2，則m為(A4B6C8D82)2若兩個不同平面

5、，的法向量分別為u(1，2，1)，v(3，6，3)，則()AC，相交但不垂直BD以上均不正確23)3若a(1，是平面的一個法向量，則下列向量中能作為平面的法向量的是()A(0，1，2)C(1，2，3)B(3，6，9)D(3，6，8)4已知平面的法向量是(2，3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，則的值是()3D.1010AC6B635在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1的一個法向量為_1用法向量來解決平面與平面的關系問題，思路清楚，不必考慮圖形的位置關系，只需通過向量運算，就可得到要證明的結(jié)果2利用三垂線定理證明線線垂直，需先找到平面的一條垂線，有了垂線，才能作出斜線的射影，同時

6、要注意定理中的“平面內(nèi)的一條直線”這一條件，忽視這一條件，就會產(chǎn)生錯誤結(jié)果提醒：完成作業(yè)第三章3.2.2AMn0所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，AB的方向為x軸的正方向，建立空間答案精析問題導學知識點一思考平面的法向量與空間一點可以確定一個平面，利用平面的法向量可以判斷直線與平面、平面與平面的位置關系平面的法向量不唯一，它們都是共線的梳理向量n的基線與平面垂直知識點二知識點三1n1n2n1n2n1n20題型探究例1解因為PA平面ABCD，底面ABCD為矩形，直角坐標系，則D(0，3，0)，E(0，3，)，B(1，0，0)，C(1，3，0)，31于是AE(0，)，AC(1，3，

7、0)12222設n(x，y，z)為平面ACE的法向量，x3y0，nAC0，則nAE0，即312y2z0，x3y，所以z3y，令y1，則xz3.所以平面ACE的一個法向量為n(3，1，3)引申探究解如圖所示，建立空間直角坐標系，所以PC(1，3，1)即為直線PC的一個方向向量因為D(0，3，0)，所以PD(0，3，1)則P(0，0，1)，C(1，3，0)，設平面PCD的法向量為n(x，y，z)nPC0，由nPD0，x3yz0，即3yz0，z3y，令y1，則z3.x0，所以所以平面PCD的一個法向量為n(0，1，3)跟蹤訓練1解因為PAPB，F(xiàn)為AB的中點，所以PFAB，又因為平面PAB平面ABC

8、D，平面PAB平面ABCDAB，PF平面PAB.所以PF平面ABCD，因為ABBC，ABC60，所以ABC是等邊三角形，所以CFAB.以F為坐標原點，建立空間直角坐標系(如圖所示)由題意得F(0，0，0)，P(0，0，32)，D(1，32，0)，0)，E(0，)C(0，333244333所以FE(0，)，F(xiàn)D(1，0)442設平面DEF的法向量為m(x，y，z)4x3y0.xy，mFE0，則mFD0，zy，所以323y3z0，4即2令y2，則x3，z2.所以平面DEF的一個法向量為m(3，2，2)例2證明(1)建立如圖所示空間直角坐標系Dxyz，所以FC1(0，2，1)，DA(2，0，0)，A

9、E(0，2，1)設n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1DA，n1AE，即x10，因為FC1n1220，所以FC1n1.(2)因為C1B1(2，0，0)，設n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，nDA2x0，11nAE2yz0，111得z12y1，令z12，則y11，所以n1(0，1，2)又因為FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.由n2FC1，n2C1B1，nFC2yz0，得2x20，122CBn2x0，2112得z22y2.令z

10、22，得y21，所以n2(0，1，2)，因為n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.跟蹤訓練2解分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設E(0，y，z)，則PE(0，y，z1)，PD(0，2，1)，PEPD，AD(0，2，0)是平面PAB的法向量，又CE(1，y1，z)，CE平面PAB，CEAD，(1，y1，z)(0，2，0)0.y1，代入得z，E是PD的中點，存在E點，當點E為PD中點時，CE平面P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，y(1)2(z1)0，12PAB.例3證明方法一取F、G分別為DD1和AD的中點，連接EF、FG、GO、AC.由正方體的性質(zhì)知FG為EO在平面ADD1A1內(nèi)的射影又A1DFG，A1DEO(三垂線定理)又ACBD，CO為EO在平面ABCD內(nèi)的射影，EOBD(三垂線定理)又A1DBDD，EO平面A1DB.方法二連接AC、A1O、A1E，A1C1，設正方體棱長為2，由方法一已證BDOE，又